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  $\S 1$ 作为$\,\mathbb{Q}\,$的 Cauchy 列扩张的阿基米德有序域$\,\mathbb{R}$ST;
©Elinkage数学论坛 -- Elinkage极酷超级论坛  T
1.1 定义 $\,B^A=\{f\mid f:A\to B\}.\;\therefore \mathbb{Q}^{\mathbb{N}^+}\,$是有理数列全体. 而有理柯西列全体是M,Z
$\qquad\;\mathscr{C}_{\mathbb{Q}} = \{\{a_n\}\in \mathbb{Q}^{\mathbb{N}^+}:\forall k\in\mathbb{N}^+\exists N\in\mathbb{N}^+\,((m,n > N)\implies |a_m - a_n| < \frac{1}{k})\}$。*|
©Elinkage数学论坛 -- Elinkage极酷超级论坛  ^|
1.2 命题 关系$\,\{a_n\}\sim\{b_n\}\;(\iff a_n-b_n\to 0)\,$是$\;\mathscr{C}_{\mathbb{Q}}\,$上的等价关系.$\quad\square$U/
©Elinkage数学论坛 -- Elinkage极酷超级论坛  rB
1.3 定义令$\;\mathbb{R}:=\mathscr{C}_{\mathbb{Q}}/\sim,\;$称其元为实数。$\bar{r}:=[\{r\}^{\mathbb{N}^+}]\,(\forall r\in\mathbb{Q})$>3x
©Elinkage数学论坛 -- Elinkage极酷超级论坛  '0qi
1.4 注记 $\mathbb{R}\,$的元是等价类$\,a=[\{a_n\}].\,\{a_n\}$是$\,a\,$的任一元.$\;\small[\{a_n\}]=[\{a_{m+n}\}]\,(\forall m)$P
©Elinkage数学论坛 -- Elinkage极酷超级论坛  .v3nK
1.5 命题$\;\forall a\in\mathbb{R}{\small{-\{\bar{0}\}}}\,\exists r\in\mathbb{Q}^+\exists! s\in\{-1,1\}\,\forall \{a_n\}\in a\,\exists N\in\mathbb{N}\,(sa_n > r\underset{\,}{\;}{\small{(\forall n>N)}})$w_y
证:任取$\,\{a_n\}\in a,\;\underset{\,}{\because} a_n\not\rightarrow 0,\;\exists r_0\in\mathbb{Q}^+\,\forall n\in\mathbb{N}\,\exists m > n\;(|a_m| \ge r_0).\,$取$\,r\in\mathbb{Q}^+$使Q
$\qquad\;\frac{r_0}{2}< r< r_0.\;\; \because\,\{a_n\}\in\mathscr{C}_{\mathbb{Q}},\quad\exists N\in\mathbb{N}\;(|a_m -a_n| < \frac{r_0-r}{2}\underset{\,}{\;}(m,n > N)).$@!=^
$\qquad\; $取$\,m > N\,$使$\,|a_m|\ge r_0,\;\;$则$\;|a_n| \ge |a_m|-|a_n -a_m|> r+\frac{r_0-r}{2}\;(n> N).$^u1$Y5
$\qquad\;$令$\,s_n=\frac{|a_n|}{a_n}\;(n> N),\;\; s= s_m.\;$若有$\,n> N\,$使$\,s_n\ne s,\,$则$\,s_n = -s$,2xf9.
$\qquad\;\frac{r_0}{2}>|a_m -a_n| = |sa_m -sa_n|=|a_m|+|a_n| \ge r_0.$ 矛盾! 故$\,s_n = s\underset{\,}{\,}(n>N)$Pxzq
$\qquad\;$对任意$\{a'_n\}\in a,\;$由$\;a_n -a'_n\to 0\;$易见有某$\,N\in\mathbb{N}\underset{\,}{\,}$使n.
$\qquad\;sa'_n = sa_n-s(a_n-a'_n)> r+\frac{r_0-r}{2}-s(a_n-a'_n)> r\;(n > N).\quad\square$
GMBf
©Elinkage数学论坛 -- Elinkage极酷超级论坛  P9
1.6 命题 设$\{a_n\},\{a'_n\}\in a\in\mathbb{R},\underset{\,}{\;}\{b_n\},\{b'_n\}\in b\in\mathbb{R}$ 则nc
$\qquad\quad \{a_n+b_n\}\sim \{a'_n+b'_n\},\;\{a_n b_n\}\sim\{a'_n b'_n\}.\quad\square$bo>
©Elinkage数学论坛 -- Elinkage极酷超级论坛  lT8
1.7 定义$\;[\{a_n\}]+[\{b_n\}]:=[\{a_n+b_n\}],\;[\{a_n\}]\cdot[\{b_n\}]:=[\{a_nb_n\}]\;\small([\{a_n\}],[\{b_n\}]\in\mathbb{R})$\!xs
©Elinkage数学论坛 -- Elinkage极酷超级论坛  n
1.8 定义 对$\;a,b\in\mathbb{R},\,$称$\,a> b\,$如果$\underset{\,}{\,}a-b\ne 0\,$且命题1.5中相应于$\;a-b\,$的$\,s = 1.$i|2T:
$\qquad\;$称$\;a < b\,$如果$\;b > a.\;$用$\,a\le b\,$表示$\,(a< b)\vee (a = b).\;$对称地定义关系$\,\ge.$pjL
©Elinkage数学论坛 -- Elinkage极酷超级论坛  'X'JR:
1.9 命题$\;(\mathbb{R},\le)\,$是全序集$\,$(即$\mathbb{R}\,$满足三分律.这是命题1.5的直接推论)$.\;\square$/wkGJ;
©Elinkage数学论坛 -- Elinkage极酷超级论坛  8y}$
1.10 命题$\;\forall a,b,c\in\mathbb{R}\;((a > b)\implies (a+c > b+c)\wedge (c > 0\implies ac > bc))\;\square$i"S6
©Elinkage数学论坛 -- Elinkage极酷超级论坛  "qTE
1.11 命题$\;\forall a,b\in\mathbb{R}\underset{\,}{\;}(a > 0\implies (\exists n\in\mathbb{N}\,(na > b))).\quad(\mathbb{R}\,$的阿基米德性)jv
证:不妨设$\,b>0.\,$由命题1.5,$\exists r\in\mathbb{Q}^+\underset{\,}{\,}(b^{-1}> \bar{r})\,$即$\;\bar{r}^{-1}-b = \bar{r}^{-1}b(b^{-1} -\bar{r})>0$|G+U,
$\qquad$同理$\;\exists\sigma\in\mathbb{Q}^+\,(a > \bar{\sigma}).\underset{\,}{\,}$由$\mathbb{Q}$的阿基米德性,$n\sigma>M:=r^{-1}\,$对某$\,n\in\mathbb{N}\,$Q\_
$\qquad$成立. 于是$\;na \ge n\bar{\sigma}=\overline{n\sigma}\ge\bar{M}> b.\quad\square$
O$
©Elinkage数学论坛 -- Elinkage极酷超级论坛  i
1.12 定理$\;\mathbb{R}\,$如上成阿基米德有序域.$\underset{\,}{\,}\bar{0},\;\bar{1}\;$(为加,乘幺元. 简记为$0,1).\;\square$tgV
$\qquad$由命题1.5,$\big([\{b_n\}]\ne\bar{0}\big)\implies \exists N\in\mathbb{N}\;(|b_n|\ge r>0\,(n>N)).$z|-P
$\qquad$令$\;c_n = {\small{\begin{cases}1,& n\le N,\\b_n^{-1},& n>N.\end{cases}}}\;\;$则$\;\{c_n\}\in\mathscr{C}_{\mathbb{Q}},\;[\{c_n\}][\{b_n\}]=\bar{1}$
c6d6



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  $\S 2\quad\mathbb{R}\,$作为度量空间的完备性no<!8k
©Elinkage数学论坛 -- Elinkage极酷超级论坛  [[W'E
2.1 注记 $\tau:\mathbb{Q}\to\mathbb{R}\;( r\mapsto \tau(r)=\bar{r})\,$是单射,且$\,r < s\iff \tau(r)<\tau(s),$s
$\qquad\,\tau(r+s)=\tau(r)+\tau(s),\;\tau(rs)=\tau(r)\tau(s)$,故将$\mathbb{Q}\,$嵌入$\,\mathbb{R}$使之成为有序子域.r
©Elinkage数学论坛 -- Elinkage极酷超级论坛  6x2
2.2 定义$\;|a|:=\max\{a,-a\}\;(a\in\mathbb{R}).\;\;(\max,\min\,$自然延拓到$\,\mathbb{R})$0
$\qquad$称$\,\{t_n\}\in\mathbb{R}^{\mathbb{N}^+}\,$为柯西列,如果$\;\forall\varepsilon>0\,\exists N\in\mathbb{N}\forall m,n> N\;(|t_m-t_n|<\varepsilon)$iB;$
©Elinkage数学论坛 -- Elinkage极酷超级论坛  pVw<J{
2.3 命题$\underset{\,}{\,}(1)\;|[\{a_n\}]|=[\{|a_n|\}]\;(\forall \{a_n\}\in\mathscr{C}_{\mathbb{Q}})$|%P#
$\qquad\qquad\;\,(2)\underset{\,}{\;}(\mathbb{R},d)\,$是度量空间,$(\mathbb{Q},d)\,$是其子空间.$\,(d(a,b)=|a-b|)$*%
证:由命题1.5,有$m\in\mathbb{N}\underset{\,}{\,}$使$\,[\{|a_n|\}]\ni\{|a_{m+n}|\}\in |[\{a_n\}]|\underset{\,}{\,}$这就证明了(1).进而1)qkr+
$\underset{\,}{\qquad}[\{|a_n+b_n|\}]\le[\{|a_n|+|b_n|\}]=[\{|a_n|\}]+[\{|b_n|\}]\implies |a+b|\le |a|+|b|$y|!}^r
$\qquad(a,b\in\mathbb{R}).\;$由此不难证明(2).
iX
©Elinkage数学论坛 -- Elinkage极酷超级论坛  Nx
2.4 定理$\;\forall t\in\mathbb{R}\,\forall \varepsilon > 0\,\exists r,s\in\mathbb{Q}:\bar{0}< t-\bar{r} < \bar{s}-\bar{r}<\varepsilon$ ($\mathbb{Q}\,$在$\,\mathbb{R}\,$中稠密).H=
©Elinkage数学论坛 -- Elinkage极酷超级论坛  'CG
证:取$\,r_0\in\mathbb{Q}^+\,$使$\;0<\bar{r}_0 \le\varepsilon/2.\;$据命题1.11,$\exists n\in\mathbb{Z}\,$使$\,(n-2)\bar{r}_0< t< n\bar{r}_0.\;\square$:_RIq
©Elinkage数学论坛 -- Elinkage极酷超级论坛  +gRWUa
2.5 定理$\;\{t_n\}\in\mathbb{R}^{\mathbb{N}^+}$在$\,\mathbb{R}\,$中收敛当且仅当$\,\{t_n\}\,$是柯西列.($\mathbb{R}\underset{\,}{\,}$是完备度量空间)R+
证:设$\{t_n\}\,$是$\,\mathbb{R}\,$中的Cauchy列,据定理2.4,有$\,r_n\in\mathbb{Q}\underset{\,}{\,}$使$\underset{\,}{\,}|t_n-\bar{r}_n|<\frac{1}{n}\,(\forall n\in\mathbb{N}^+)$|xn
$\quad\because\;|r_m-r_n|=|\bar{r}_m-\bar{r}_n|\le|\bar{r}_m-t_m|+|t_m-t_n|+|t_n-\bar{r}_n|<\frac{1}{m}+\frac{1}{n}+|t_m-t_n|$5g\\r
$\quad\therefore\;\{r_n\}\in\mathscr{C}_{\mathbb{Q}},\;t:=[\{r_n\}]\in\mathbb{R}.\underset{\,}{\quad}$下证$\;t_n\to t\,(n\to\infty)$73s
$\qquad$任给$\,\varepsilon>0,\,$有$\,N\in\mathbb{N}\,$使$\,m> N\,$时$\,\frac{1}{m}<\frac{\varepsilon}{2}\,$且$\,|r_{m+n}-r_m|< \frac{\varepsilon}{2}.\quad$于是有Yu<Y
$\qquad|t_m-t|\le |tm-\bar{r}_m|+|\bar{r}_m-t|< \frac{1}{m}+[\{|r_n-r_m|\}]=\frac{1}{m}+[\{|r_{m+n}-r_m|\}]< \varepsilon\underset{\,}{\,}$e16C
$\quad\therefore\;\displaystyle{\lim_{m\to\infty} t_m = t}.$ 由 $|t_m-t_n|\le |t_m-t|+|t_n-t|$ 得必要性.$\quad\square$
Gk`u?(



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  $\$ 3\;\mathbb{R}\,$的连续性 v
©Elinkage数学论坛 -- Elinkage极酷超级论坛  zU
构造实数系其实就是对以直觉出发的实数概念一个模型。并由此证明实数的@\H
连续统性质,给微积分奠定理论基础。KT7D
©Elinkage数学论坛 -- Elinkage极酷超级论坛  `QV
实数的连续性有下述著名表述方式:4>NMW
©Elinkage数学论坛 -- Elinkage极酷超级论坛  lQURa
3.0 定理 Cauchy 收敛准则 (即定理 2.5)]#&
©Elinkage数学论坛 -- Elinkage极酷超级论坛  1tc
3.1 定理 (确界原理)$\;\varnothing\ne E\subset\mathbb{R}\,$有上(下)界$\implies \sup E(\inf E)\,$存在。`Y_O`
©Elinkage数学论坛 -- Elinkage极酷超级论坛  q6W
3.2 定理 (单调有界原理) 单调有界序列皆收敛.:Gt]k
©Elinkage数学论坛 -- Elinkage极酷超级论坛  .$jl6
3.3 定理 (Cantor 区间套定理)$\underset{\,}{\,}$Z)~
$\qquad$区间套$\{[a_n,b_n]\}\,\small([a_{n+1},b_{n+1}]\subset [a_n,b_n],\,b_n-a_n\to 0)\;$有唯一的公共元.FY/Jt`
©Elinkage数学论坛 -- Elinkage极酷超级论坛  \pI
3.4 定理 (Heine-Borel有限覆盖定理)有界闭集的开覆盖必含有限子覆盖..{gzL
©Elinkage数学论坛 -- Elinkage极酷超级论坛  ^=m8
3.5 定理 (Weierstrass 聚点原理)$\mathbb{R}\,$的有界无穷点集必有聚点.{??
©Elinkage数学论坛 -- Elinkage极酷超级论坛  H
3.6 定理 (Bolzano 致密性定理) 有界无穷数列必有收敛子列.l*a
©Elinkage数学论坛 -- Elinkage极酷超级论坛  RZc
3.7 定理 (Dedekind准则)若$(A,B)\,$是$\underset{\,}{\,}\mathbb{R}\,$的分割,则$(\sup A\in A)\vee (\inf B\in B)$q
$\qquad\quad\text{分割是满足}\,A\ne\varnothing\ne B,\,A\cup B=\mathbb{R},\,\,a < b{\small(\;\forall a\in A, b\in B)}\,\text{的集对}(A,B).$HY'V|
证:$(0\implies 1)$XO7Z+
$\qquad$不妨设$\,\varnothing\ne E\subset\mathbb{R}\,$上有界但没有最大元$.\,x< b\,(\forall x\in E),\, a\in E,\,L = b-a$J4!=jY
$\qquad$令$\,a_1 = a,\,b_1 = b.\;$设$\,a_1,\ldots,a_n,\;b_1,\ldots,b_n\,$已取定$,\,b_j-a_j\le \frac{L}{2^{j-1}},\;a_j\in E,$?$Pwj(
$\qquad b_j\,$是$\,E\,$的上界$\,(j=\overline{1,n}),\,$令$\,m_n=\frac{a_n+b_n}{2}.\,$若$\,m_n\,$是$\,E\,$的上界$,\,$令$\,a_{n+1}=a_n,$%ewU
$\qquad b_{n+1}=m_n.\,$否则有$\,a_{n+1}\in E\,$使$m_n< a_{n+1},\,$取$\,b_{n+1}=b_n.\;$仍有$\underset{\,}{\,}a_{n+1}\in E$y
$\qquad b_{n+1}-a_{n+1}\le \frac{L}{2^n},\,b_{n+1}\,$是$\,E\,$的上界.由归纳法原理得二序列$\,\{a_n\},\{b_n\}$.8D.{$
$\qquad$令$\,c_n\,$为$\,(a_n,b_n)\cap\{a_{n+1},b_{n+1}\}\underset{\,}{\,}$的唯一元.易见$\,|c_m -c_n| \le 2^{-k}L\,(m,n > k)$L
$\qquad\displaystyle{\therefore\;\exists c\in\mathbb{R}:\,\lim_{n\to\infty}c_n = c}.\;$由$\,a -c_n\le b_{n+1}-c_n\to 0,\,b-c_n\ge a_{n+1}-c_n\to 0$bO]QB
$\qquad$知$\;a\le c\le b\,$对$\,E\,$的每元$\,a\,$及每个上界$\,b\,$成立.$\;\therefore\;c= \sup E.\;\square$\/H,#
©Elinkage数学论坛 -- Elinkage极酷超级论坛  (+
$\qquad(1\implies 2)$=>]720
$\qquad$不妨设$\,\{a_n\}\,$有界单调增.令$\,E=\{a\mid a = n,\,n\in\mathbb{N}^+\},\;$则$\;A = \sup E\,$存在。g4
$\qquad$对$\,\varepsilon >0,\,$有某$\;N\in\mathbb{N}\,$使$\,a_N = a\in E\,$且$\,A-\varepsilon < a \le A.\;$因序列单调增及$\,A\,$j
$\qquad$的取法$,\;A-\varepsilon < a_n\le A\,(\forall n > N).\;\therefore\displaystyle{\;\lim_{n\to\infty}a_n = A.\quad\square}$P[
©Elinkage数学论坛 -- Elinkage极酷超级论坛  (BwF
$\qquad(2\implies 3)\;\;$任给区间套$\,\{[a_n,b_n]\},\;\{a_n\},\{b_n\}\,$依次是有界单调增,减序列.'y]&K#
$\qquad$故均有极限。由$b_n-a_n\to 0\,$易见二极限相等$.\quad\square$rZ'
©Elinkage数学论坛 -- Elinkage极酷超级论坛  F
$\qquad(3\implies 4)\;\;$设$\;\mathscr{C}\,$是有界闭集$\;F\subset I=[a,b]\subset\mathbb{R}\;$的开覆盖. 若此覆盖无有0}
$\qquad$限子覆盖, 将$\,I\,$对分成$\frac{1}{2}|I|\,$长的闭区间, 取其一$\,I_1\,$使$\;I_1\cap F\,$不能被$\,\mathscr{C}\,$有0*2
$\qquad$限覆盖. 继此对分得一区间套$\,\{I_n\}\,$使得$\,|I_n| = 2^{-n}|I|,\;I_n\cap F\,$不能被$\,\mathscr{C}\,$有etB,eK
$\qquad$限覆盖. 易见单点$\,\xi\in\bigcap_{n=1}^{\infty}I_n\,$是$\,F\,$的聚点$,\;\xi\in F,\;\exists U\in\mathscr{C}\,(\xi\in U).\;\;$因$\,U\,$.~,
$\qquad$是开集, 对充分大的$\,n\,$有$\,\xi\in I_n\cap F\subset I_n\subset U.\,$这与$\,I_n\cap F\,$不能被$\,\mathscr{C}\,$有限)vjK
$\qquad$覆盖矛盾$.\quad\square$h?N>
©Elinkage数学论坛 -- Elinkage极酷超级论坛  L3|^<
$\qquad(4\implies 5)\;$若$\,E\subset\mathbb{R}\,$有界,无穷但没有聚点,则$\,E\,$是有界闭集.其点皆孤立,2lkau
$\qquad$对$\,x\in E,\,$存在开区间$\,U_x\,$使$\,U_x\cap E=\{x\}.\;$于是$\,\mathscr{C}=\{U_x\mid x\in E\}\,$是$\,E\,$的]3Q!\
$\qquad$开覆盖, 没有有限子覆盖. 这于有限覆盖定理矛盾.$\quad\square$u2n[
©Elinkage数学论坛 -- Elinkage极酷超级论坛  )
$\qquad(5\implies 6)\;$若$\,\{a_n\}\,$有常值子列,则该子列收敛. 否则$\,\{a\mid a=a_n,\,n\in\mathbb{N}^+\}\,$Jg oqk
$\qquad$是有界无穷集,故有聚点$\,\xi\in E'.\,$从而有$\,E\,$的序列收敛到$\,\xi.\;$该序列只能是H)OzT
$\qquad\{a_n\}\,$的子序列$.\quad\square$d?k=.
©Elinkage数学论坛 -- Elinkage极酷超级论坛  ]JA#
$\qquad(6\implies 7)\;$任给$\,\mathbb{R}\,$的分割$\,(A,B),\,$有${\scriptsize{(仿(0\Rightarrow 1))}}\,A\,$中增列$\,\{a_n\},\;B\,$中降列$\{b_n\}$g{>
$\qquad$使$\,b_{n+1}-a_{n+1}\le \frac{1}{2}(b_n-a_n)\,(\forall n).$ 故二单调列均有收敛子列因而收敛.因Hn
$\qquad b_n-a_n\to 0,\;$它们趋于共同的极限$\,\xi= {\small\sup A = \inf B}\in A\cup B=A\oplus B=\mathbb{R}.$F
©Elinkage数学论坛 -- Elinkage极酷超级论坛  >qi
$\qquad(7\implies 0)\;$设$\,\{a_n\}\,$是Cauchy列.则$\,A=\{t\mid\,{\small{\text{对无穷多}}}\,n\in\mathbb{N}\,{\small 有}\,t< a_n\}\ne\varnothing.$Z}
$\qquad(A,\mathbb{R}-A)\,$是$\,\mathbb{R}\,$的分割.$\,\therefore\;a=\sup A\in\mathbb{R}.\;$故对$\,\varepsilon > 0\,$有无穷多$\,m\in\mathbb{N}^+$使,;
$\qquad (*)\;\;a-\frac{\varepsilon}{2}< a_m < a+\frac{\varepsilon}{2}.\;$取$\,N\,$使$\,|a_m-a_n|<\frac{\varepsilon}{2}\,(m,n > N),\;\,$又取$\,m> N\,$Fhr
$\qquad$使$\small(*)$成立,则$\;|a_n - a| \le |a_n -a_m|+|a_m -a| < \varepsilon\,\small(\forall n> N)\,$即$\displaystyle{\,\lim_{n\to\infty}a_n = a}.\;\square$o,



发贴时间2016/08/25 11:35am IP: 已设置保密[本文共4860字节]  
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  楼上的表达式 $A\dot{\cup} B\,$表示$\,A\,$与$\,B\,$的不交并.8w7Ef



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