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  题:求$\;a^2+b^2=2c^2\,$的整数解.'66
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解:$|a|=|b|=|c|\in\mathbb{Z}\,$显然是方程的平凡解。考虑$\;|a|,|b|,|c|\,$两两不等w%?j7
$\quad$的情况。以下涉及的量一概为整数,不再赘述.B\Zmc;
$\quad$设$\,(a,b,c)\,$是方程的非平凡解,则$\quad\;\;(1)\;(a+c)(a-c)=(c+b)(c-b).$=
$\quad$易见$\;a\equiv b\equiv c\text{(mod 2)}$,有$\,s,u,v\;$使$\;(2)\;a-c =2su,\; c-b=2sv,$\
$\quad \gcd(u,v)=1,\,suv\ne 0.\quad$由(1)得$\quad\,(3)\;(a+c)u = (c+b)v.$,
$\quad(4)\;a+c =2tv,\;c+b =2tu\;(t\ne 0).\;$由(2)(4)及$\,\gcd(u,v)=1\,$得+;
$\quad(5)\;c = tv-su = sv+tu\implies (t-s)v = (t+s)u = kuv\,(k\ne 0)$ 进而0.+T
$\quad(6)\;(s,t)=\frac{k}{2}(v-u,v+u).\;$最后由(2)(4)(6)得fT_
$\quad(7)\;\small(a,b,c)=(su+tv,tu-sv,sv+tu)=\frac{k}{2}(2uv-u^2+v^2,2uv+u^2-v^2,u^2+v^2)${|:q^
$\qquad\qquad\quad\;=\frac{k}{2}((u+v)^2-2u^2,(u+v)^2-2v^2,(u+v)^2-2uv)$@f
$\quad$易见(7)也包含了方程的平凡解(允许$\,k\,$为使右边为整点的一切整数).a



发贴时间2016/07/24 09:23am IP: 已设置保密[本文共952字节]  
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  通解有以下参数化:zvYC
$(a,b,c)=\begin{cases}\lambda(2+t-t^{-1},2-t+t^{-1},t+t^{-1}),& a+b\ne 0,\\ \sigma(n,-n,|n|),& a+b = 0.\end{cases}$*<6
$\quad (u,v\in\mathbb{Z}-\{0\},\,\gcd(u,v)=1,\;t = \frac{v}{u},\;\frac{\lambda}{uv}\in\mathbb{Z},\;\sigma=\pm 1,\; n\in\mathbb{Z})$;I9v
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这个参数化的优点是某种意义上的单值性:令=$X>V
$\mathbf{F}(\lambda,t)=\lambda(2+t-t^{-1},2-t+t^{-1},t+t^{-1}),\;$则i+
©Elinkage数学论坛 -- Elinkage极酷超级论坛  Br9"@o
$\mathbf{F}(1,t)\times\mathbf{F}(1,s)=\frac{2(s-t)}{st}(s+t+st-1,s+t-st+1,-2(1+st))\ne\mathbf{0}\;\small(s\ne t)$tDl[3y



发贴时间2016/07/25 05:26am IP: 已设置保密[本文共535字节]  
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  对$\;a,b,c\in\mathbb{N},\quad a^2+b^2 = 2c^2 \iff \big(\frac{a+b}{2}\big)^2+ \big(\frac{a-b}{2}\big)^2 = c^2$TrngZS
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$\quad \iff \big(\{\frac{|a+b|}{2},\frac{|a-b|}{2}\} = \{|u^2-v^2|,2uv\}\big)\wedge (c=u^2+v^2)$f
©Elinkage数学论坛 -- Elinkage极酷超级论坛  I}
$\quad \iff (a,b = |2uv\pm (u^2-v^2)|)\wedge (c = u^2+v^2)$<?/}_



发贴时间2016/07/26 05:19am IP: 已设置保密[本文共294字节]  

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