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Elinkage数学论坛基础数学 [返回] → 浏览:求以 $(\sqrt{3}+\sqrt{5}+\cdots +\sqrt{2n+1})^2/n^3$ 为通项的序列的极限 标记论坛所有内容为已读 

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  试求 $\displaystyle{\lim_{n\to\infty}\frac{(\sqrt{3}+\sqrt{5}+\cdots +\sqrt{2n+1})^2}{n^3}}\quad$ (src)=EX



发贴时间2016/06/28 01:36am IP: 已设置保密[本文共223字节]  
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  应用Stolz定理$:RQ
©Elinkage数学论坛 -- Elinkage极酷超级论坛  TxDl%
$\displaystyle{\lim_{n\to\infty}\frac{(\sqrt{3}+\sqrt{5}+\cdots +\sqrt{2n+1})^2}{n^3} = \lim_{n\to\infty}\frac{2(\sqrt{3}+\cdots+\sqrt{2n-1})\sqrt{2n+1}+2n+1}{3n^2-3n+1}}$a| N&M
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$\displaystyle{\qquad=\lim_{n\to\infty}\frac{2\sqrt{2n}(\sqrt{3}+\cdots+\sqrt{2n-1})}{3n^2} = \lim_{n\to\infty}\frac{2\sqrt{2}(\sqrt{3}+\cdots+\sqrt{2n-1})}{3n^{3/2}}}$n8uy)
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$\displaystyle{\qquad=\lim_{n\to\infty}\frac{2\sqrt{2}\sqrt{2n-1}}{3(n^{3/2}-(n-1)^{3/2})} = \lim_{n\to\infty}\frac{2\sqrt{2}\sqrt{2n-1}}{3(\sqrt{n}+\sqrt{n-1})(n+\sqrt{n}\sqrt{n-1}+n-1)}}$A{
©Elinkage数学论坛 -- Elinkage极酷超级论坛  u
$\displaystyle{\qquad=\lim_{n\to\infty}\frac{2\sqrt{2}\sqrt{2n-1}(\sqrt{n}+\sqrt{n-1})}{3(2n+\sqrt{n}\sqrt{n-1}-1)} = \frac{2\sqrt{2}\sqrt{2-0}(1+1)}{3(2+1\times 1-0)}= \frac{8}{9}}$M<



发贴时间2016/06/29 02:37pm IP: 已设置保密[本文共759字节]  
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  $\displaystyle{\because \quad\lim_{n\to\infty}\frac{\sqrt{3}+\sqrt{5}+\cdots+\sqrt{2n+1}}{\sqrt{n^3}} = \lim_{n\to\infty}\frac{\color{red}{\sqrt{2n+1}-1}+\sum_{k=1}^n\sqrt{2k-1}}{n\sqrt{n}}}$Y^WX]F
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$\displaystyle{\qquad\qquad = \color{red}{0}+\lim_{n\to\infty}{\small{\frac{1}{2}\sum_{k=1}^n{\sqrt{\frac{2k-1}{n}}}{\frac{2}{n}}}} = \frac{1}{2}\int_0^2\sqrt{x}dx = \frac{\sqrt{8}}{3}}$w:TJ
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$\displaystyle{\therefore\quad\lim_{n\to\infty}\frac{(\sqrt{3}+\sqrt{5}+\cdots+\sqrt{2n+1})^2}{n^3} = \frac{8}{9}}$ooRDM0



发贴时间2016/06/30 03:34am IP: 已设置保密[本文共522字节]  
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  $\displaystyle{\quad\lim_{n\to\infty}\frac{\sqrt{3}+\sqrt{5}+\cdots+\sqrt{2n+1}}{\sqrt{n^3}} = \lim_{n\to\infty}\frac{\sqrt{2n+1}}{(\sqrt{n})^3-(\sqrt{n-1})^3}}$RgfIzO
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$\displaystyle{\qquad = \lim_{n\to\infty}{\small{\frac{\sqrt{2n+1}(\sqrt{n}+\sqrt{n-1})}{2n+\sqrt{n}\sqrt{n-1}-1}}}= \lim_{n\to\infty}\small{\frac{\sqrt{2+\frac{1}{n}}(1+\sqrt{1-\frac{1}{n}})}{2+\sqrt{1-\frac{1}{n}}-\frac{1}{n}}} = \frac{2\sqrt{2}}{3}}$<BsR_D



发贴时间2016/06/30 11:26am IP: 已设置保密[本文共441字节]  
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  类似的极限,相同的技巧:N
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求 $\displaystyle{\lim_{n\to\infty}\frac{\big(\sqrt{\frac{1}{3}}+\sqrt{\frac{1}{5}}+\cdots+\sqrt{\frac{1}{2n+1}}\big)^2}{n}}$KHad[
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解:设所论极限值为$\,A.\;$则由Stolz定理,$\underset{\,}{\;}$'8{%
$\displaystyle{\qquad \sqrt{A} = \lim_{n\to\infty}{\small{\frac{\sqrt{\frac{1}{3}}+\sqrt{\frac{1}{5}}+\cdots+\sqrt{\frac{1}{2n+1}}}{\sqrt{n}}}} = \lim_{n\to\infty}\frac{\sqrt{\frac{1}{2n+1}}}{\sqrt{n}-\sqrt{n-1}}}$'QZUy
$\displaystyle{\qquad\qquad =\lim_{n\to\infty}{\small{\frac{\sqrt{n}+\sqrt{n-1}}{\sqrt{2n+1}}}} = \sqrt{2}}$_^c5pL



发贴时间2016/07/02 02:18pm IP: 已设置保密[本文共575字节]  

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