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 elim 
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  集合 最本原的数学对象, 对象化,外延化的数学概念.r<E
映射 集合间的单值对应关系.?9!MF
$\qquad$ 记$\;B^A = \{f\mid f:A\to B\}\,$为$\,A\,$到$\,B\,$的映射全体(以映射为其元素的集合).?MUg2?
$\qquad$ 单射,满射,双射(1-1对应)Y_![]
©Elinkage数学论坛 -- Elinkage极酷超级论坛  ]-
选择公理 设集$\,C\,$的元素皆为非空集合,则$\;\exists f\in(\bigcup_{E\in C} E)^C\;\big(\forall E\in C\,(f(E)\in E)\big)$D
良序原理 任意集合都可被良序化.(NK3
©Elinkage数学论坛 -- Elinkage极酷超级论坛  H6CqQF
由良序原理推出r`G=o\
可比定理 对任意集合$\;A,\,B,\;A^B\cup B^A\,$中必有单射./_@gd
©Elinkage数学论坛 -- Elinkage极酷超级论坛  U
集合的等势,基数o<*
©Elinkage数学论坛 -- Elinkage极酷超级论坛  y1*}
Bernstein 定理 若存在单射$\;\varphi\in B^A,\,\psi\in A^B$,则$\,A\sim B\,$即$\,A\,$与$\,B\,$可1-1对应。T
©Elinkage数学论坛 -- Elinkage极酷超级论坛  TlyXu
证:令$\,A_0=\psi(B),\,B_0= \varphi(A),\,A_1=A-A_0,\,B_1=\varphi(A_1),\,A_2=\psi(B_1),\,B_2=\varphi(A_2).$Jo(
©Elinkage数学论坛 -- Elinkage极酷超级论坛  @=
$\quad\because\; A_1\cap A_2\subset A_1\cap A_0\subset (A-A_0)\cap A_0=\varnothing,\quad\therefore\;B_1\cap B_2=\psi(A_1)\cap\psi(B_2)=\varnothing.$z
©Elinkage数学论坛 -- Elinkage极酷超级论坛  9l
$\quad$设$\,A_1,\ldots,A_n\,$互不相交,$\; B_1,\ldots,B_n$亦然,$A_{i+1}=\psi(B_i),\;B_i=\varphi(A_i),\,i=\overline{1,n-1}$}7]nj#
©Elinkage数学论坛 -- Elinkage极酷超级论坛  >NhF
$\quad$取$\;A_{n+1}=\psi(B_n),\;B_{n+1}=\varphi(A_{n+1}).\;$由$\,\psi\,$单及$\,B_1,\ldots,B_n\,$两两不交知$A_2,\ldots,A_{n+1}$3
©Elinkage数学论坛 -- Elinkage极酷超级论坛  [P[VL
$\quad$两两不交, 由$\,A_{n+1}\subset A_0\,$知$\,A_{n+1}\cap A_1=\varnothing\,$于是$\;A_1,\ldots,A_{n+1}\,$两两不交, 进而由<4
©Elinkage数学论坛 -- Elinkage极酷超级论坛  C
$\quad\varphi\,$为单射得$\,B_1,\ldots,B_{n+1}\,$两两不交。不难看出$\;(A_0 = A -A_1)$ 于是c"J8`1
$\quad(\star)\quad\displaystyle{\varphi\big(\bigcup_{n=1}^{\infty}A_n\big) =\bigcup_{n=1}^{\infty}B_n,\quad \psi\big(B-\bigcup_{k=1}^{\infty}B_k\big)= A_0-\bigcup_{n=2}^{\infty}A_n = A-\bigcup_{n=1}^{\infty}A_n}.$oa|}a
$\quad$令$\,\displaystyle{\;A^* =\bigcup_{n=1}^{\infty}A_n,\;B^* = \bigcup_{n=1}^{\infty}B_n},\;$令$\;\psi^{-1}:A_0\to B\,$为$\,\psi:B\to\psi(B)=A_0\,$的逆.L)~h$t
$\quad$则由$\,(\star)\,$得$\quad\displaystyle{A\sim\big(\varphi(A^*)}\cup\psi^{-1}(A-A^*)\big) = B^*\cup(B-B^*) = B.\quad\square$YsH
©Elinkage数学论坛 -- Elinkage极酷超级论坛  Adg
又证: 设 $\varphi:A\to B,\; \psi: B\to A$ 均为单射。先证明存在$\;A_1,\,A_2,\,B_1,\,B_2\underset{\,}{\;}$使得{,J
$\quad A= A_1\cup A_2,\;B = B_1\cup B_2$ 均为不交并,且满足$\;(\varphi(A_1) = B_1)\wedge (\psi(B_2)\underset{\,}{=} A_2).$RVHf
$\quad$令$\;E^* = A - \psi(B - \varphi(E))\,(E\subset A),\;\;$则$\;^*\;$单调增:$\,\;(E\subset F\subset A)\implies (E^*\subset F^*)\underset{\,}{\,}$F
$\quad$记$\;\mathscr{M} = \{E\subset A \mid E^* \subset E\} \subset \mathscr{P}(A)$, 则$\;A\in\mathscr{M},\;\mathscr{M}\ne\varnothing.\,\;$取$\;A_1 = \bigcap_{E\in \mathscr{M}} E\underset{\,}{,}$ s
$\quad$则 $\forall E\in\mathscr{M}\;(A_1\subset E)\wedge(A_1^* \subset E^* \subset E)\;\,$故$\;A_1^* \subset A_1$ 进而知 $(A_1^*)^* \subset A_1^*,\underset{\,}{\,}$Ff m
$\quad A_1^* \in \mathscr{M},\; A_1^*\supset \cap \mathscr{M} = A_1.\;$可见$\;A_1 = A_1^*\underset{\,}{.}\;\,$今取$\;B_1 = \varphi(A_1),\,\;B_2 = B - B_1,\underset{\,}{\,}$4&3tP
$\quad A_2 = \psi(B_2),\;$则$\;A_1 = A_1^* = A-\psi(B-\varphi(A_1)) = A -A_2.\;\,$终得$\,A,\,B\,$之所论分割.Dw
©Elinkage数学论坛 -- Elinkage极酷超级论坛  #
$\quad$易见 $h(x) = \begin{cases}(\varphi|_{A_1})(x) & x\in A_1 \\ (\psi|_{B_2})^{-1}(x) & x\in A_2 \end{cases}$ 定义了双射 $h:A\to B.\quad\square$wPoN



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  关于选择公理,良序原理见百度百科_06
©Elinkage数学论坛 -- Elinkage极酷超级论坛  dIS-
可比定理说白了就是任何二集合的基数是可以比较的。`bST[O
©Elinkage数学论坛 -- Elinkage极酷超级论坛  /PyUB@
Bernstein定理是说集合的基数大小关系满足三歧性。O6ud
©Elinkage数学论坛 -- Elinkage极酷超级论坛  x
定理 连续统不可数Lw
©Elinkage数学论坛 -- Elinkage极酷超级论坛  P*I/%
证:若不然,由Bernstein 定理,必有$\;[0,1]\sim\mathbb{N}^+\;$故$\,[0,1]\,$的元可无遗漏地列出6
©Elinkage数学论坛 -- Elinkage极酷超级论坛  4
$\quad c_1,c_2,\ldots,c_n,\ldots$. 记$\;I_1\,$为$\,[0,\frac{1}{3}],[\frac{2}{3},1]\,$之不含$\,c_1\,$者. 假定$\,I_1,\ldots,I_n\,$已取定,满足^
©Elinkage数学论坛 -- Elinkage极酷超级论坛  BdozR\
$\quad c_i\not\in I_i\subset I_{i-1}\;(I_0=[0,1]),\quad\;I_i =[a_i,b_i]\; (b_i-a_i = 3^{-i},\;i=\overline{1,n}),\quad$令$\,I_{n+1}\,$为m[(
©Elinkage数学论坛 -- Elinkage极酷超级论坛  ^\{T
$\quad[a_n,a_n+3^{-n-1}],\,[b_n-3^{-n-1},b_n]\,$之不含$\,c_{n+1}\,$者. 由此得区间套$\;\{I_n\}$`v*'
©Elinkage数学论坛 -- Elinkage极酷超级论坛  0
$\quad$由区间套定理及$\,I_n\,$的取法得矛盾$\,\displaystyle{\varnothing\neq \bigcap_{n=1}^{\infty}I_n \subset \bigcap_{x\in [0,1]}([0,1]-\{x\})= \varnothing.}\quad\square$]3y



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  定理$\;\;\mathbb{Q}^+\sim \mathbb{N}^+$xq,\
证:定义 $\varphi:\mathbb{N}^+\to\mathbb{Q}^+,\;\; \varphi(n) = \dfrac{p_n}{q_n}  \begin{cases}(p_1,q_1)=(1,1),& n=1,\\ (p_n,q_n)=(p_{\lfloor\frac{n}{2}\rfloor}+q_{\lfloor\frac{n}{2}\rfloor},\;q_{\lfloor\frac{n}{2}\rfloor}),& 2\nmid n> 1,\\ (p_n,q_n)=(p_{\lfloor\frac{n}{2}\rfloor},\;p_{\lfloor\frac{n}{2}\rfloor}+q_{\lfloor\frac{n}{2}\rfloor}),& 2\mid n > 1.  \end{cases}$wZ
$\quad$若$\,\varphi\,$非单射,有最小$\,n\,$使对某$\,m>n\,$有$\,\varphi(n)=\varphi(m).\;$易见$\;\varphi(k)=1\implies k=1$-dd
$\quad$故$\,n> 1.\,$又由$\,\varphi(n)\begin{cases}> 1,& 2\nmid n\\ < 1,& 2\mid n \end{cases}\;(n > 1)$ 知$\;n\equiv m\pmod{2}$. 于是有83
$\quad \varphi(\lfloor\frac{n}{2}\rfloor) =\varphi(\lfloor\frac{m}{2}\rfloor),\;\lfloor\frac{n}{2}\rfloor < \lfloor\frac{m}{2}\rfloor.\;$这与$\,n\,$的最小性矛盾.&>??mi
©Elinkage数学论坛 -- Elinkage极酷超级论坛  #GCW
$\quad$若$\;\varphi\,$非满射,取$\;\;{\small{\dfrac{p}{q}}}\not\in\varphi(\mathbb{N}^+)\;$使$\;\gcd(p,q) =1,\,p+q\,$为最小。显然$\;p\neq  q$, 于是&(
$\quad ((p>q)\implies \frac{p-q}{q}\not\in\varphi(\mathbb{N}^+))\wedge ((p<q)\implies \frac{p}{q-p}\not\in\varphi(\mathbb{N}^+))\wedge(\max(p,q)< p+q).\;$%T7
$\quad$这与$\;p+q\,$的最小性矛盾.Q'8
©Elinkage数学论坛 -- Elinkage极酷超级论坛  VSm)Gq
$\quad$综上$,\;\varphi\,$是双射.$\quad\square$%



发贴时间2016/06/15 06:03pm IP: 已设置保密[本文共1313字节]  
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  定义 对任意集合$\,A\,$, 记$\;\mathscr{P}(A) = \{S\mid S\subset A\},\;$称其为$\,A\,$的幂集.@l
©Elinkage数学论坛 -- Elinkage极酷超级论坛  X_;
定理 $|\mathscr{P}(A)|> |A|$GL~
©Elinkage数学论坛 -- Elinkage极酷超级论坛  ~"G
证:若不然,$|\mathscr{P}(A)|\le |A|,\;$则由Bernstein定理,$\;\exists\varphi:\;A\overset{\varphi}{\sim}\mathscr{P}(A).$A
©Elinkage数学论坛 -- Elinkage极酷超级论坛  D#
$\qquad$令$\;B = \{x\in A\mid x\not\in\varphi(x)\}(\in\mathscr{P}(A)),\;$则有$\,b\in A\,$使$\;\varphi(b) = B$.1Es8XU
©Elinkage数学论坛 -- Elinkage极酷超级论坛  b
$\qquad$由$\,B\,$的定义$,\;\;(b\in B=\varphi(b))\implies (b\not\in B=\varphi(b))\implies (b\in B).\;$o$z
©Elinkage数学论坛 -- Elinkage极酷超级论坛  7x?a\
$\qquad$这个矛盾$\,\small{\big((b\in B)\iff (b\not\in B)\big)}\,$证明$\;B\not\in\varphi(A).\;$即$\;\varphi\,$非满射.$\;\square$p



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  定理 $\mathbb{R}\sim \mathscr{P}(\mathbb{N}^+)$p
©Elinkage数学论坛 -- Elinkage极酷超级论坛  e>YQ'-
证:易见$\;\mathbb{R}\sim [0,1),\;\;\mathscr{P}(\mathbb{N}^+)\sim \{0,1\}^{\mathbb{N}^+}\;$($S\,$的子集与其在$\,S\,$上的特征函数1-1对应)A!
©Elinkage数学论坛 -- Elinkage极酷超级论坛  <7]uSP
$\qquad$下证$\;[0,1)\sim\{0,1\}^{\mathbb{N}^+}.\,b\in I=[0,1)\,$可唯一地表为二进小数$\,b= 0.b_1b_2b_3\ldots$mx|
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$\qquad$并避免从某位起以$\,1\,$为循环节.故$\;f:I\to \{0,1\}^{\mathbb{N}^+},\;0.b_1b_2\ldots\mapsto \phi_b\,(k\overset{\phi_b}{\mapsto}b_k)$MJ.
©Elinkage数学论坛 -- Elinkage极酷超级论坛  H]
$\qquad$是单射. 反之,对$\;\phi\in\{0,1\}^{\mathbb{N}^+},\;$定义$\displaystyle{\;g(\phi)=\small{\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\phi(n)}{10^n}}},\;$则$\;g:\{0,1\}^{\mathbb{N}^+}\to [0,1)$_!jt0
$\qquad$也是单射. 故Bernstein定理蕴含本定理.mYY
©Elinkage数学论坛 -- Elinkage极酷超级论坛  }|
引入记号 $\aleph_0 = |\mathbb{N}^+|,\quad\aleph = |\mathbb{R}|$. 则上二定理表明$\;\aleph_0 <\aleph$. 这再次证明$\,\mathbb{R}\,$不可数.W{a
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连续统假设: 没有集合$\,S\,$能使$\;\aleph_0 < |S| < \aleph$.C2Wn?
©Elinkage数学论坛 -- Elinkage极酷超级论坛  aU
现已证明,连续统假设独立于ZFC公理集合论._<82



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