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Elinkage数学论坛基础数学 [返回] → 浏览:若 $m,n\in\mathbb{N}^+,\;f(m,m)=m,\;f(m,n)=f(n,m),\;f(m,m+n)=\frac{m+n}{n}f(m,n)$,求 $f(14,52)$ 标记论坛所有内容为已读 

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 * 贴子主题: 若 $m,n\in\mathbb{N}^+,\;f(m,m)=m,\;f(m,n)=f(n,m),\;f(m,m+n)=\frac{m+n}{n}f(m,n)$,求 $f(14,52)$ 不分页显示此帖  保存该页为文件  本贴有问题,发送短消息报告给版主  加入个人收藏&关注本贴  显示可打印的版本  把本贴打包邮递  把本贴加入收藏夹  发送本页面给朋友   
 elim 
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  题:设$\quad f:\mathbb{N}^+\times\mathbb{N}^+\to\mathbb{Q}$ 满足O\U
$\qquad f(m,m)=m,\;f(m,n)=f(n,m),\;f(m,m+n)=\frac{m+n}{n}f(m,n)$.mXK
$\qquad$求 $f(14,52).$z



发贴时间2016/04/21 05:21pm IP: 已设置保密[本文共288字节]  
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  题:设$\quad f:\mathbb{N}^+\times\mathbb{N}^+\to\mathbb{Q}$ 满足kn
$\qquad f(m,m)=m,\;f(m,n)=f(n,m),\;f(m,m+n)=\frac{m+n}{n}f(m,n)$.cu
$\qquad$求 $f(14,52).$8rK ![
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解:易见$\;f(k,k)=k,\;\;f(k,km) =\frac{m}{m-1}f(k,k(m-1))\;(m >1)$$orf)m
©Elinkage数学论坛 -- Elinkage极酷超级论坛  WRij
$\qquad$知$\;f(k,km)=km$ 即 $f(m,n)=n\;(m\mid n)$._
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$\qquad$假定$\;r,k,m\in\mathbb{N}^+,\;r< k,\;n =km+r.\;$则T
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$\qquad f(k,n) = \frac{n}{k(m-1)+r}f(k,k(m-1)+r)=\cdots =\frac{n}{r}f(r,k)$z2z<`
©Elinkage数学论坛 -- Elinkage极酷超级论坛  ?q.FF/
$\qquad$设$\;r_0=k,\;n=r_0m_1+r_1,\;r_0=r_1m_2+r_2,\ldots,r_{d-2}=r_{d-1}m_d+r_d\mid r_{d-1}$.c>W3L]
©Elinkage数学论坛 -- Elinkage极酷超级论坛  =bj\h
$\qquad$则$\;f(k,n)=\frac{n}{r_1}f(r_1,r_0)=\cdots =\frac{n}{r_1}\frac{r_0}{r_2}\cdots\frac{r_{d-2}}{r_d}f(r_d,r_{d-1}) = \frac{nr_0}{r_d}=\frac{kn}{\gcd(k,n)}$<CV?X
©Elinkage数学论坛 -- Elinkage极酷超级论坛  ,KOAA
$\qquad$反之,易见如此定义的函数$\;f\,$满足$f(m,m)=m,\;f(m,n)=f(n,m),$=LkV
©Elinkage数学论坛 -- Elinkage极酷超级论坛  <aztL
$\qquad$以及$\;f(m,m+n) = \frac{m(m+n)}{\gcd(m,m+n)} =\frac{m+n}{n}\frac{mn}{\gcd(m,n)}=\frac{m+n}{n}f(m,n).$Ez9
©Elinkage数学论坛 -- Elinkage极酷超级论坛  S1W
$\qquad$故题设函数存在且唯一. 于是$\;f(14,52) = \frac{14\times 52}{2} = 364.\quad\square$)l#L



发贴时间2016/04/21 06:17pm IP: 已设置保密[本文共994字节]  
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  楼上分析表明 $\;\; f(m,m)=m,\;f(m,n)=f(n,m),\;f(m,m+n)=\frac{m+n}{n}f(m,n)$.t\{pMZ
是最小公倍数的公理.V9GV}^



发贴时间2016/04/22 01:32am IP: 已设置保密[本文共123字节]  
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  易见$\underset{\,}{\;}g(m,m)=m,\,g(m,n)=g(n,m),\;g(m,m+n)=g(m,n)$[dGq"
是$\underset{\,}{\,}\gcd(m,n)\,$的公理: $g(m,n)=\frac{mn}{f(m,n)}$:gv
$g(m,m+n)=\frac{m(m+n)}{f(m,m+n)}=\frac{m(m+n)}{\frac{m+n}{n}f(m,n)}=\frac{mn}{f(m,n)}=g(m,n).\quad\square$--



发贴时间2017/12/17 01:42pm IP: 已设置保密[本文共271字节]  

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