>> 欢迎您,客人登录 按这里注册 忘记密码 在线 搜索 论坛风格  帮助  插件   


>>> 数学分析,奇异积分,几何,代数,微分方程,群与环,数论
Elinkage数学论坛基础数学 [返回] → 浏览:$n\,$个$\,1\,$参与四则运算的最大值及有关猜想 标记论坛所有内容为已读 

 目前论坛总在线 3 人,本主题共有 1 人浏览。其中注册用户 0 人,访客 1 人。  [关闭详细列表]
发表一个新主题 回复贴子 开启一个新投票 ◆此帖被阅读 400 次◆  浏览上一篇主题  刷新本主题  树形显示贴子 浏览下一篇主题
 * 贴子主题: $n\,$个$\,1\,$参与四则运算的最大值及有关猜想 不分页显示此帖  保存该页为文件  本贴有问题,发送短消息报告给版主  加入个人收藏&关注本贴  显示可打印的版本  把本贴打包邮递  把本贴加入收藏夹  发送本页面给朋友   
 elim 
 头衔: 论坛版主

 

等级: 新手上路
信息: 该用户目前不在线 此人为版主
威望: 0 积分: 0
现金: 122574 雷傲元
存款: 没开户
贷款: 没贷款
来自: 保密 blank
发帖: 1875
精华: 0
资料:  
在线: 867 时 32 分 13 秒
注册: 2010/12/07 06:27am
造访: 2018/08/16 03:46pm
消息 查看 搜索 好友 引用 回复贴子回复 只看我 [楼 主]
  【数学中国www.mathchina.com】【基础数学】论坛的网友裴进兵在其帖子upD
【我自己琢磨的,恳请大家一起来论证】 中提出了以下问题和猜想,颇为有趣:6
©Elinkage数学论坛 -- Elinkage极酷超级论坛  D,kcu
©Elinkage数学论坛 -- Elinkage极酷超级论坛  C
  任意一个正整数n,数量n个1,通过加减乘除和括号优先计算,得到的最大的正整数j,7h(pn9
把正整数j称为正整数n的极值(或极数),也就是说 ,数量n个1,通过加减乘除和括号优Sk_.zX
先计算,得到的最大的正整数是j (加减乘除其实只用到乘法和加法)WA6Ev
-----------------------------------------------------------------------------wL}`%
 猜想、  (n>=5)"1
©Elinkage数学论坛 -- Elinkage极酷超级论坛  d#
在1到j之间,任意选数量n个正整数,通过加减乘除和括号优先计算,可以得到正整数ji-ZbT=
-----------------------------------------------------------------------------z;>hD\
求正整数n的j值tp
将正整数n除以3,得到商a和余数bLK/ngj
------------------------------------------------------------+i=h5d
一、若b=0,则j=3^a (就是3的a次方)0L-ns5
-----------------------------------------------------------:dmZ=
二、若b=1,则j=[3^(a-1)]*4[就是3的(a-1)次方再去乘以4]^KS
-----------------------------------------------------------`lGp_U
三、若b=2,则j=[3^a]*2(就是3的a次方再去乘以2)E
------------------------------------------------------------------------------U9q
------------------------------------------------------------------------------
 以上名词都是我自己命名的,希望不要给大家带来误解]k
©Elinkage数学论坛 -- Elinkage极酷超级论坛  <qd!
 我的邮箱是peijinbing@sina.com, QQ:2756772317  le`\
peijinbing@163.com,  QQ:416478682  ,非常诚恳的邀请大家联系我.V}?\z
 )
 我举个例子^
比如数字11,可以求得11的j值是54,就是说,数量11个1,通过加减乘除和括号优先计算,B*j"
可以得到最大的正整数是54,从1到54任意选取数量11个数字9、20、24、25、26、32、[^X?}C
16、18、33、37、41  %
如下计算Xx!JV3
 9*(24-18)+(20-16)-(41-37)+(26-25)-(33-32)=54*|?z"K



发贴时间2016/04/17 03:19pm IP: 已设置保密[本文共1838字节]  
 elim 
 头衔: 论坛版主

 

等级: 新手上路
信息: 该用户目前不在线 此人为版主
威望: 0 积分: 0
现金: 122574 雷傲元
存款: 没开户
贷款: 没贷款
来自: 保密 blank
发帖: 1875
精华: 0
资料:  
在线: 867 时 32 分 13 秒
注册: 2010/12/07 06:27am
造访: 2018/08/16 03:46pm
消息 查看 搜索 好友 引用 回复贴子回复 只看我 [第 2 楼]
  设$\,n\,$为正整数,$\;M_n\,$为$\,n\,$个$\,1\,$参与四则运算所得之最大值,则有下结果:4#\
©Elinkage数学论坛 -- Elinkage极酷超级论坛  kN
定理$(\star)\quad$对$\;1< n\in\mathbb{N},\;$存在唯一的$\;p,q\in\mathbb{N}\;$使$\;M_n = 2^p 3^q,\;2p +3q= n,\;p\le 2.$)g!
©Elinkage数学论坛 -- Elinkage极酷超级论坛  Q=
证:易见$\;\;(2p+3q=2)\iff (p=1,\,q=0)\implies (M_2 =2)$zEOt!*
$\qquad\qquad\;\,(2p+3q =3)\iff (p=0,\,q=1)\implies (M_3 =3)$/!Eub'
©Elinkage数学论坛 -- Elinkage极酷超级论坛  }
$\qquad$故$\,(\star)\,$对$\,2\le n\le 3\,$成立. 设$\,n> 3\;$且$(\star)$对$\,(1,\;n)\,$中的正整数成立.#KsU
©Elinkage数学论坛 -- Elinkage极酷超级论坛  L
$\qquad$取非负整数$\,s,\,t\,$使$\,M_{n-1} = 2^s 3^t,\; 2s+3t =n-1,\;s\le 2.$2T9S
©Elinkage数学论坛 -- Elinkage极酷超级论坛  iq4iL
$\qquad$若$\; s> 0,\;$则$\; 2^{s-1}3^{t+1} =2^s3^t+ 2^{s-1}s^t > M_{n-1}+1.$J
$\qquad$由$\; 2(s-1)+3(t+1)=n\;$知$\;2^{s-1}3^{t+1}\,$是$\,n\,$个$\,1\,$参与四则运算的一个值.p7Fit
$\qquad$所以上面的计算表明$\,M_n\ge 2^{s-1}3^{t+1}>M_{n-1}+1.$Q^jby,
©Elinkage数学论坛 -- Elinkage极酷超级论坛  YXDBt
$\qquad$同理, 对$\,s =0\,$有$\;4+3(t-1)=n,\;M_n\ge 2^2 3^{t-1}=3^t+3^{t-1}>M_{n-1}+1.$0ZQTB/
©Elinkage数学论坛 -- Elinkage极酷超级论坛   e~&+
$\qquad$所以对$\,n>3\,$恒有$\;M_n > M_{n-1}+1 = M_{n-1}+M_1.$X
©Elinkage数学论坛 -- Elinkage极酷超级论坛  Q
$\qquad$注意$\,1< i\le j\,$时必有$\;M_i,\,M_j>1,\;\;M_i+M_j< M_iM_j.\;$可见34:
©Elinkage数学论坛 -- Elinkage极酷超级论坛  \x4[XT
$\displaystyle{\qquad M_n =\max_{1\le i\le \lfloor\frac{n}{2}\rfloor}\max\{M_i+M_{n-i},\,M_iM_{n-i}\} = \max_{1\le k\le \lfloor\frac{n}{2}\rfloor}M_k M_{n-k}}\quad(n>3)${+
©Elinkage数学论坛 -- Elinkage极酷超级论坛  l\
$\qquad$重复此分解可知$\;n>3\,$时$\,M_n\,$是若干$\,M_2,\,M_3\,$的积, 即$\;M_n =2^p3^q$D
©Elinkage数学论坛 -- Elinkage极酷超级论坛  +c/
$\qquad$对某$\;p,q\in\mathbb{N},\;2p+3q=n\,$成立.Ri|-
©Elinkage数学论坛 -- Elinkage极酷超级论坛  G@
$\qquad$若$\;p> 2,\;$则$\;2(p-3)+3(q+2) =n,\;$得矛盾$\;M_n\ge 2^{p-3}3^{q+2}> 2^p3^q =M_n.$9)
©Elinkage数学论坛 -- Elinkage极酷超级论坛  !,nB,G
$\qquad$故必有$\;2p+3q =n> 3,\;p\le 2.\quad$由$\;2,\,3\,$互素知数对$\,(p,q)\,$唯一.[
©Elinkage数学论坛 -- Elinkage极酷超级论坛  Tv>
$\qquad$据归纳法原理,$\,(\star)\,$对一切$\;1< n\in\mathbb{N}\,$成立.$\quad\square$)
©Elinkage数学论坛 -- Elinkage极酷超级论坛  y:)JHV
$\qquad$由$\,(\star)\,$不难求得3
$\qquad\qquad M_n = 2^p3^q,\quad (p,q)=\begin{cases}(0,n/3),& n\equiv 0\pmod{3},\\(2,\lfloor\frac{n}{3}\rfloor -1),& n\equiv 1\pmod{3},\\(1,\lfloor\frac{n}{3}\rfloor),& n\equiv 2\pmod{3}.\end{cases}\quad(n >1)$U3,qI0
©Elinkage数学论坛 -- Elinkage极酷超级论坛  G~j4av
$\qquad$由此即知$\,p\,$的周期性及$\,q\,$的增长模式.elimP



发贴时间2016/04/17 04:15pm IP: 已设置保密[本文共1917字节]  
 elim 
 头衔: 论坛版主

 

等级: 新手上路
信息: 该用户目前不在线 此人为版主
威望: 0 积分: 0
现金: 122574 雷傲元
存款: 没开户
贷款: 没贷款
来自: 保密 blank
发帖: 1875
精华: 0
资料:  
在线: 867 时 32 分 13 秒
注册: 2010/12/07 06:27am
造访: 2018/08/16 03:46pm
消息 查看 搜索 好友 引用 回复贴子回复 只看我 [第 3 楼]
  沿用楼上的记号,定义余数函数$\;R_k(n) = R(n,k) =n -\lfloor n/k\rfloor$,则定理$(\star)$等价于J1rw
©Elinkage数学论坛 -- Elinkage极酷超级论坛  AjiP
定理$(\dagger)\quad M_n= 2^p 3^q,\;\;p = R_3(-n),\;\; q= \lfloor n/3\rfloor -R_2(R_3(n))\;\;(n >1).\quad\square$&_



发贴时间2016/04/19 05:26am IP: 已设置保密[本文共244字节]  

 该主题只有一页

快速回复主题: $n\,$个$\,1\,$参与四则运算的最大值及有关猜想
您目前的身份是: 客人 ,要使用其他用户身份,请输入用户名和密码。未注册客人请输入网名,密码留空。
输入用户名和密码: 用户名: 没有注册? 密码: 忘记密码?
上传附件或图片 (最大容量 10000KB)
目前附件:(如不需要某个附件,只需删除内容中的相应 [UploadFile ...] 标签即可) [删除]
选项

使用 LeoBBS 标签?
显示您的签名?
有回复时使用邮件通知您?

使用字体转换?

    快速引用第 楼层的回复
 顶端 加到"个人收藏夹" 主题管理总固顶 取消总固顶 区固顶 取消区固顶 固顶 取消固顶 提升 沉底
加重 取消加重 精华 取消精华 锁定 解锁 删除 删除回复 移动


© 中文版权所有: 雷傲科技
程序版权所有: 雷傲超级论坛  版本: LeoBBS X Build051231
 

本论坛言论纯属发表者个人意见,与 Elinkage数学论坛 立场无关