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Elinkage数学论坛基础数学 [返回] → 浏览:[求助]求数列和的极限?? 标记论坛所有内容为已读 

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 qingjiao 




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发贴时间2016/03/05 11:55pm IP: 已设置保密[本文共64字节]  
 elim 
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  ©Elinkage数学论坛 -- Elinkage极酷超级论坛  E<N
©Elinkage数学论坛 -- Elinkage极酷超级论坛  6x"1
题:设 $\displaystyle{S_m = \ln 2 -\sum_{k=1}^{2^m}\frac{(-1)^k}{k}}$, 则 $\displaystyle{\sum_{m=1}^{\infty} S_m = 1-\gamma\;\big(\gamma = \lim_{n\to\infty}\big(\sum_{k=1}^n \frac{1}{k}-\ln n\big)\big)}.$;s;|B
©Elinkage数学论坛 -- Elinkage极酷超级论坛  ^bw:<+
证:令 $\displaystyle{\gamma_m = \sum_{k=1}^{2^m} \frac{1}{k}-\ln 2^m},$ 则 $\displaystyle{\lim_{m\to\infty}\gamma_m = \gamma =  0.57721566490153286061\ldots}$IR
$\qquad$且$\displaystyle{\;\;\gamma_{m-1}-\gamma_m = \ln 2 -\big(\sum_{k=1}^{2^m}\frac{1}{k}-\sum_{k=1}^{2^{m-1}}\frac{1}{k}\big) =\ln 2 -\sum_{k=1}^{2^m}\frac{(-1)^k}{k}= S_m}.$1DP
$\qquad$于是$\displaystyle{\;\;\sum_{m=1}^{\infty}S_m = \lim_{n\to\infty}\sum_{m=1}^n (\gamma_{m-1}-\gamma_m) = \lim_{n\to\infty}(1-\gamma_n) = 1-\gamma}.\quad\square$M4



发贴时间2016/03/09 10:39am IP: 已设置保密[本文共770字节]  
 qingjiao 




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  非常感谢elim解答,我本以为证明会很复杂,想不到这么简单。y
不过如果没有[这里]的解释,理解起来还是很费劲。uLu
©Elinkage数学论坛 -- Elinkage极酷超级论坛  ReQ)S
顺问:上述证明中应存在$\;\gamma_0\;$项,而且$\;\gamma_0 =1\;?$J-



发贴时间2016/03/10 11:30am IP: 已设置保密[本文共282字节]  
 elim 
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  数学中漂亮的东西总是在某种意义上具有简单性。~Y@k(!
©Elinkage数学论坛 -- Elinkage极酷超级论坛  ~IT$0
在第2楼$\;\gamma_m\,$的定义中今$\,m=0\,$即得$\,\gamma_0 = 1$.P



发贴时间2016/03/11 08:19am IP: 已设置保密[本文共132字节]  

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