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 elim 
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  (1)$\small{\displaystyle{\;\;\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n}\sqrt{(n+1)\sqrt{(n+2)\sqrt{\cdots\sqrt{2n}}}}}}$ src:=<w
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(2)$\small{{\displaystyle{\;\;\lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^n\frac{1}{1+x_k}\;}}(x_1=\frac{1}{3},\,x_{n+1}=x_n(1+x_n))}$6


发贴时间2016/01/06 02:33am IP: 已设置保密[本文共346字节]  
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  (1)$\small{\displaystyle{\;\;\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n}\sqrt{(n+1)\sqrt{(n+2)\sqrt{\cdots\sqrt{2n}}}}}}$RE&=-
解:$\small{\displaystyle{\because\quad 1 = \frac{1}{2^n}+\sum_{k=1}^n \frac{1}{2^k},}}$gD
$\small{\displaystyle{\qquad\therefore\quad \frac{1}{n}\sqrt{(n+1)\sqrt{(n+2)\sqrt{\cdots\sqrt{2n}}}}=\frac{1}{\sqrt[2^n]{n}}\prod_{k=1}^n\big(1+\frac{k}{n}\big)^{\frac{1}{2^k}} =: \frac{1}{\sqrt[2^n]{n}}A_n}}$"/{Nv
$\qquad\small{\displaystyle{\because\quad 1< A_n = \exp\big(\sum_{k=1}^n \frac{1}{2^k}\ln\big(1+\frac{k}{n}\big)\big) < \exp\big(\frac{1}{n}\sum_{k=1}^n \frac{k}{2^k}\big)< \exp\big(\frac{2}{n}\big)}}$X/rhm
$\qquad\small{\displaystyle{\therefore\;\;\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n}\sqrt{(n+1)\sqrt{(n+2)\sqrt{\cdots\sqrt{2n}}}} = 1}}$]3:ix


发贴时间2016/01/08 04:11am IP: 已设置保密[本文共775字节]  
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  (2)$\small{{\displaystyle{\;\;\lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^n\frac{1}{1+x_k}\;}}(x_1=\frac{1}{3},\,x_{n+1}=x_n(1+x_n))}$m%Ij
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解:$\small{\displaystyle{\frac{1}{x_{n+1}}=\frac{1}{x_n(x_n+1)}=\frac{1}{x_n}-\frac{1}{x_n+1}\implies \frac{1}{1+x_n} = \frac{1}{x_n}-\frac{1}{x_{n+1}}}}$3YD6D
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$\qquad$又, 易见$\;x_{n+1}\ge x_n(1+x_1)\ge\cdots\ge x_1(1+x_1)^{n}\to\infty\;(x_1>0)$<
©Elinkage数学论坛 -- Elinkage极酷超级论坛  *CWsz
$\qquad\therefore\;\small{\displaystyle{\lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^n\frac{1}{1+x_k}=\lim_{n\to\infty}\big(\frac{1}{x_1}-\frac{1}{x_{n+1}}\big) = \frac{1}{x_1}\;(= 3)}}.\quad\square$4B


发贴时间2016/01/08 07:46am IP: 已设置保密[本文共581字节]  

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