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Elinkage数学论坛基础数学 [返回] → 浏览:求极限 $\displaystyle{\lim_{n\to\infty}e^{-n}\sum_{k=0}^n\frac{n^k}{k!}=\lim_{n\to\infty}\frac{1+\frac{n}{1!}+\cdots+\frac{n^n}{n!}}{e^n}}$ 标记论坛所有内容为已读 

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 * 贴子主题: 求极限 $\displaystyle{\lim_{n\to\infty}e^{-n}\sum_{k=0}^n\frac{n^k}{k!}=\lim_{n\to\infty}\frac{1+\frac{n}{1!}+\cdots+\frac{n^n}{n!}}{e^n}}$ 不分页显示此帖  保存该页为文件  本贴有问题,发送短消息报告给版主  加入个人收藏&关注本贴  显示可打印的版本  把本贴打包邮递  把本贴加入收藏夹  发送本页面给朋友   
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  题:求极限 $\displaystyle{\lim_{n\to\infty}{\small\frac{1}{e^n}\sum_{k=0}^n\frac{n^k}{k!}}=\lim_{n\to\infty}\frac{1+\frac{n}{1!}+\cdots+\frac{n^n}{n!}}{e^n}}\quad$src[L


发贴时间2016/01/06 01:51am IP: 已设置保密[本文共287字节]  
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  据Taylor$:\;\displaystyle{f(x)={\small\sum_{k=0}^n \frac{f^{(k)}(a)}{k!}}(x-a)^k+{\small\int_a^x\frac{f^{(n+1)}(t)}{n!}}(x-t)^n dx}$eaA
故有 $\displaystyle{e^n =1+{\small\frac{n}{1!}+\frac{n^2}{2!}+\cdots+\underset{\,}{\frac{n^n}{n!}}+\int_0^n \frac{e^x}{n!}}(n-x)^n dx}.\quad$进而得K|
$(1)\qquad\displaystyle{1 = \frac{1+\frac{n}{1!}+\frac{n^2}{2!}+\cdots+\frac{n^n}{n!}}{e^n}+{\small\int_0^n\frac{e^{-x}}{n!}}x^n dx}.$m:xI&[
$\quad$作积分变量代换$\;\;x = n -u\sqrt{n}\underset{\,}{\;}$得5.!
$(2)\qquad\displaystyle{{\small\int_0^n\frac{e^{-x}}{n!}}x^n dx = {\small\frac{(n/e)^n\sqrt{n}}{n!}\int_0^{\sqrt{n}}\bigg(1-\frac{u}{\sqrt{n}}\bigg)^n} e^{u\sqrt{n}}du}.$ qs
$\quad$令$\displaystyle{\quad g_n(u)={\small\bigg(1-\frac{u}{\sqrt{n}}\bigg)^n}e^{u\sqrt{n}}\cdot\chi_{\small[0,\sqrt{n}]}(u),\quad g(u)=e^{-\frac{u^2}{2}}}$~.&
$\quad$($\,\chi_{\small I}\,$是$\,I\,$上的特征函数).$\,$故对$\;0< u< \sqrt{n},\;$有$\;0< \theta <1\underset{\,}{\;}$使/
$(3)\quad\ln g_n(u)=u\sqrt{n}+n\ln\small{\displaystyle{(1-\frac{u}{\sqrt{n}})= -\frac{u^2}{2}-\frac{u^3/\sqrt{n}}{3(1-{\large\frac{u\theta}{\sqrt{n}}})^n}<-\frac{u^2}{2}}}$9^i^
$\quad$即$\;0\le g_n\le g,\;\lim\,g_n = g\;({\small\forall u\ge 0}).\underset{\,}{\;}$由Lebesgue控制收敛定理,Aqxy
$(4)\quad\displaystyle{\lim_{n\to\infty}{\small\int_0^{\sqrt{n}}\big(1-\frac{u}{\sqrt{n}}\big)^n}e^{u\sqrt{n}}du{\small=}\lim_{n\to\infty}{\small\int_0^{\infty}}g_n{\small=\int_0^{\infty}}e^{-\frac{u^2}{2}}du\small=\sqrt{\frac{\pi}{2}}}$,!J]v
$\quad$综合$\;(1\sim 4)\,$及 Stirling 公式$\displaystyle{\;\;\underset{\,}{\lim_{n\to\infty}}\small\frac{\overset{\,}{(n/e)^n\sqrt{n}}}{n!} = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}}\;$即得s
$\qquad\boxed{\;{\lim_{n\to\infty}\frac{1+\frac{n}{1!}+\frac{n^2}{2!}+\cdots+\frac{n^n}{n!}}{e^n} = \lim_{n\to\infty}{\small\int_0^n\frac{e^{-x}}{n!}}x^n dx\small = \frac{1}{2}}}$Lii?T+


发贴时间2016/01/07 05:36am IP: 已设置保密[本文共1859字节]  
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  这是数学中国陆老师的概率解法:rB
按此在新窗口浏览图片/Xb


发贴时间2016/01/08 02:36am IP: 已设置保密[本文共89字节]  
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  这个问题的很多解法值得收藏....W


发贴时间2020/06/02 03:36am IP: 已设置保密[本文共54字节]  

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快速回复主题: 求极限 $\displaystyle{\lim_{n\to\infty}e^{-n}\sum_{k=0}^n\frac{n^k}{k!}=\lim_{n\to\infty}\frac{1+\frac{n}{1!}+\cdots+\frac{n^n}{n!}}{e^n}}$
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