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 elim 
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  求极限 $\displaystyle{\lim_{n\to\infty}\frac{1+\frac{n}{1!}+\frac{n^2}{2!}+\cdots+\frac{n^n}{n!}}{e^n}}\quad$src#=


发贴时间2016/01/06 01:51am IP: 已设置保密[本文共226字节]  
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  由Taylor定理, $\displaystyle{f(x) = \sum_{k=0}^n \frac{f^{(k)}(a)}{k!}(x-a)^k +\int_a^x\frac{f^{(n+1)}(t)}{n!}(x-t)^n dx}$[1)">O
故有 $\displaystyle{e^n =1+\frac{n}{1!}+\frac{n^2}{2!}+\cdots+\underset{\,}{\frac{n^n}{n!}}+\int_0^n \frac{e^x}{n!}(n-x)^n dx}.\quad$进而得b(q
$(1)\qquad\displaystyle{1 = \frac{1+\frac{n}{1!}+\frac{n^2}{2!}+\cdots+\frac{n^n}{n!}}{e^n}+\int_0^n\frac{e^{-x}}{n!}x^n dx}.$^(
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作积分变量代换$\;\;x = n -u\sqrt{n}\quad$得e
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$(2)\qquad\displaystyle{\int_0^n\frac{e^{-x}}{n!}x^n dx = \frac{(n/e)^n\sqrt{n}}{n!}\int_0^{\sqrt{n}}\bigg(1-\frac{u}{\sqrt{n}}\bigg)^n e^{u\sqrt{n}}du}.$J
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令$\displaystyle{\quad g_n(u) = \bigg(1-\frac{u}{\sqrt{n}}\bigg)^n e^{u\sqrt{n}}\cdot\chi_{[0,\sqrt{n}]}(u),\quad g(u) = e^{-\frac{u^2}{2}}}$S
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($\,\chi_I\,$是$\,I\,$上的特征函数).$\,$故对$\;0< u< \sqrt{n},\;$由Taylor定理,有$\;0< \theta <1\underset{\,}{\;}$使GWka
$(3)\qquad\ln g_n(u) = u\sqrt{n}+n\ln\small{\displaystyle{(1-\frac{u}{\sqrt{n}})= -\frac{u^2}{2}-\underset{\,}{\frac{u^3}{3(1-\frac{\theta u}{\sqrt{n}})^n\sqrt{n}}} < -\frac{u^2}{2}}}$AGC>]
即$\;\;0\le g_n\le g,\;\;\lim\,g_n = g\;\;(\forall u\in [0,\infty)).\underset{\,}{\;}$由Lebesgue控制收敛定理,8HoG,
$(4)\qquad\displaystyle{\lim_{n\to\infty}\int_0^{\sqrt{n}}\bigg(1-\frac{u}{\sqrt{n}}\bigg)^n e^{u\sqrt{n}}du = \lim_{n\to\infty}\int_0^{\infty}g_n =\int_0^{\infty} e^{-\frac{u^2}{2}}du = \sqrt{\frac{\pi}{2}}}$3X
综合$\;(1\sim 4)\,$及 Stirling 公式$\displaystyle{\;\;\lim_{n\to\infty}\frac{(n/e)^n\sqrt{n}}{n!} = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}}\;$即得DQUA
$\qquad\qquad\boxed{\;\displaystyle{\lim_{n\to\infty}\frac{1+\frac{n}{1!}+\frac{n^2}{2!}+\cdots+\frac{n^n}{n!}}{e^n} = \lim_{n\to\infty}\int_0^n\frac{e^{-x}}{n!}x^n dx = \frac{1}{2}}}$CKf-|Q


发贴时间2016/01/07 05:36am IP: 已设置保密[本文共1726字节]  
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  这是数学中国陆老师的概率解法:SRTc\v
按此在新窗口浏览图片K"\U


发贴时间2016/01/08 02:36am IP: 已设置保密[本文共89字节]  

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