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 * 贴子主题: 证明 $(1+x+x^2+\cdots+x^9)(1+x^{10}+\cdots+x^{90})(1+x^{100}+\cdots+x^{900})\cdots=\frac{1}{1-x}$ 不分页显示此帖  保存该页为文件  本贴有问题,发送短消息报告给版主  加入个人收藏&关注本贴  显示可打印的版本  把本贴打包邮递  把本贴加入收藏夹  发送本页面给朋友   
 elim 
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  证明 $(1+x+x^2+\cdots+x^9)(1+x^{10}+x^{20}+\cdots+x^{90})\underset{\,}{\,}$I}:&U
$\qquad\times(1+x^{100}+\cdots+x^{900})\cdots=\dfrac{1}{1-x}$a'P


发贴时间2015/12/14 10:20am IP: 已设置保密[本文共164字节]  
 elim 
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  先证以下漂亮的关系式:~Id^
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$(^*)\quad\displaystyle{\prod_{0\le m< n}\bigg(\sum_{0\le k< p} x^{k\cdot p^m}\bigg) = \sum_{0\,\le\,j< p^n-1} x^j}\quad (1< p\in\mathbb{N})$]/e
©Elinkage数学论坛 -- Elinkage极酷超级论坛  S'c&k1
$\qquad$上式对$\,n = 1\,$显然成立. 假定$\,(^*)\,$对某正整数$\,n\,$成立,则有lOx2qO
©Elinkage数学论坛 -- Elinkage极酷超级论坛  Cc
$\qquad\displaystyle{\prod_{0\le m< n+1}\bigg(\sum_{0\le k< p} x^{k\cdot p^m}\bigg) = \big(\sum_{0\,\le\,j< p^n-1} x^j}\big)(1+x^{p^n}+x^{2\cdot p^n }+\cdots+x^{p^n(p-1)})$0r`R
©Elinkage数学论坛 -- Elinkage极酷超级论坛  pEBOq
$\qquad\displaystyle{= \sum_{k=0}^{p^n-1}x^k +\sum_{k=p^n}^{2\cdot p^n-1}x^k+\cdots +\sum_{k=(p-1)p^n}^{p^{n+1}-1}x^k = \sum_{k=0}^{p^{n+1}-1}x^k = \sum_{0\,\le k< p^{n+1}-1}x^k}$%4%
©Elinkage数学论坛 -- Elinkage极酷超级论坛  /N7
由$\;(^*)\,$即知$\displaystyle{\quad \lim_{n\to\infty}\prod_{0\le m< n}\bigg(\sum_{0\le k< p} x^{k\cdot p^m}\bigg) = \sum_{k=0}^{\infty}x^k = \frac{1}{1-x}\;(|x|< 1)}.\;\;\square$#|q
©Elinkage数学论坛 -- Elinkage极酷超级论坛  O{*
$\qquad$(原题是$\;p=10\,$的情形)[d;=mq


发贴时间2015/12/14 11:25am IP: 已设置保密[本文共843字节]  

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快速回复主题: 证明 $(1+x+x^2+\cdots+x^9)(1+x^{10}+\cdots+x^{90})(1+x^{100}+\cdots+x^{900})\cdots=\frac{1}{1-x}$
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