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 elim 
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  题:对正整数$\,n,\;\;$解方程$\;\cos^n x-\sin^n x=1\;(x\in\mathbb{R}).$#K
©Elinkage数学论坛 -- Elinkage极酷超级论坛   sh!p8
解:易见$\;(1)\;\;\cos^n x-\sin^n x=1\implies (2)\;\;|\cos x|^n+|\sin x|^n =1$!qO:
©Elinkage数学论坛 -- Elinkage极酷超级论坛  {+`
$\qquad \implies (3)\;\; t^{\frac{n}{2}}+(1-t)^{\frac{n}{2}} =1\,(t = \cos^2 x\in [0,1])$.BR
©Elinkage数学论坛 -- Elinkage极酷超级论坛  ?
$\qquad\;\because f(t) = t^{\alpha}+(1-t)^{\alpha}\;(\alpha > 1)\,$严格凸$,\;\;\therefore\; f(t)=1\iff t\in\{0,1\}$O
©Elinkage数学论坛 -- Elinkage极酷超级论坛  (Q8[
$\qquad n > 2\,$时(1)的解必使$\;|\cos x|=1\,$或$\,|\sin x|=1.\;$&Y;
©Elinkage数学论坛 -- Elinkage极酷超级论坛  n%
$\qquad$综合$\;n = 1,\,2\,$的简单情况即知N|88!
©Elinkage数学论坛 -- Elinkage极酷超级论坛  h_
$\qquad\cos^n x -\sin^n x = 1\;$的解是xCetH
$\qquad\qquad x = 2k\pi,\;(2k -\frac{1}{2})\pi\;(2\nmid n,\;k\in\mathbb{Z});$?
$\qquad\qquad x = k\pi,\qquad\qquad\quad(2\mid n,\;k\in\mathbb{Z}).\;\;\square$)H=i>V


发贴时间2015/12/12 06:23am IP: 已设置保密[本文共716字节]  
 elim 
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  $f(x)\;$凸, 则$\;(1-t)f(u)+tf(v)\ge f((1-t)u+tv)\;(0\le t\le 1).\;$:&4
©Elinkage数学论坛 -- Elinkage极酷超级论坛  HNY&V|
故 $(1-t)f(c-u)+tf(c-v)\ge f((1-t)(c-u)+t(c-v))$-Wa#
$\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\;\;\; = f(c -((1-t)u+tv))\;(0\le t\le 1)$I-D
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(1)$\quad f(x)\;$凸$\implies\;f(c-x),\;f(x)+f(c-x)\,$凸。}HW
©Elinkage数学论坛 -- Elinkage极酷超级论坛  KZ
(2)$\quad f(x)\;$严格凸,$\,f(a)=f(b)=c\implies c> f(t)\,(a< t< b)$5


发贴时间2015/12/14 03:06am IP: 已设置保密[本文共357字节]  

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