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 elim 
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  单位积不等式:$\;\forall x_j >0:\underset{\,}{\;}(\prod_1^n x_j =1)\implies (\sum_1^n x_j \ge n)$ooM_
$\qquad$(等号当且仅当$\;x_j=1\,(\forall j)\;$时成立).(
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证:$\,n=1\,$时论断真. 若论断对某$\,n\in\mathbb{N}^+\,$成立,设$\,x_1\le x_2\le \cdots\le x_{n+1}$,1;M
${\small{\displaystyle{\qquad \prod_1^{n+1}}}}x_j =1.\;$则$\;{\small{\displaystyle{\sum_1^{n+1}}}}x_j=(x_1+x_{n+1}-x_1x_{n+1})+(x_1x_{n+1}+\sum_2^n x_i)$Mr`+C
$\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad \ge ((1-x_1)(x_{n+1}-1)+1)+n\ge 1+n.\underset{\,}{\,}\quad\square$B@<-[3
$\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad$等号当且仅当$\,x_j=1\,(\forall j)$时成立.@fxV?
©Elinkage数学论坛 -- Elinkage极酷超级论坛  eZ6b
$[A\ge G]\,$定理:$\displaystyle{\;\forall n\in\mathbb{N}^+\forall a_j > 0:\quad{\small{\frac{1}{n}\sum_{k=1}^n}}a_k \ge \bigg({\small{\prod_{k=1}^n}}a_k}\bigg)^{1/n}\qquad(^*)$G@0s
$\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad$等号当且仅当$\,a_i= a_j\,(\forall i,j)\;$时成立.Ap(-0
证:取$\;\;x_j = {\small{\dfrac{a_j}{(\prod_1^n a_k)^{1/n}}}},\;\;$则$\;\prod_1^n x_j=1\;$于是$\;\sum_1^n x_j \ge n\,$等号当且仅当+zS
©Elinkage数学论坛 -- Elinkage极酷超级论坛  E'@
$\qquad x_j=1\,(\forall j).\;$这等价于$\,(^*).\quad\square$Sc7
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Bernoulli不等式:设$\;x\ge -1,\;$则5H
©Elinkage数学论坛 -- Elinkage极酷超级论坛  8
$\qquad(1)\quad (1+x)^a \le 1+ax\quad (a\in (0,1))$v(5e
$\qquad(2)\quad (1+x)^a \ge 1+ax \quad (a\in\mathbb{R}-[0,1])$@o
$\qquad\qquad$等号当且仅当$\,x= 0\;$时成立.E(4
©Elinkage数学论坛 -- Elinkage极酷超级论坛  `+2CF
证:对$\;m,n\in\mathbb{N}^+,m< n,\;x\ge -1,\;$由[A≥G]定理,C'$z.J
$\qquad (1+x)^{\frac{m}{n}} = ((1+x)^m 1^{n-m})^{1/n}\le \frac{1}{n}(n+mx)=1+\frac{m}{n}x$,Q#&
$\qquad$等式成立当且仅当$\,x=0.\;$故(1)对有理数$\;a = \frac{m}{n}\in (0,1)\cap\mathbb{Q}\,$成立.tG'xg|
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$\qquad$对$\,x\ge -1,\;$有理数$\,a > 1,\,$易见$\,1+ax < 0\,$时(2)成立。否则$\,y=ax\ge -1$,+Yj
$\qquad b = \frac{1}{a}\in(0,1)\cap\mathbb{Q},\;(1+x)^a=(1+by)^a\ge ((1+y)^b)^a=(1+y)^{ba}=1+ax$.n+_:
$\qquad$即此时$\,(1+x)^a\ge 1+ax,\;$等式成立当且仅当$\;(y=0\iff) x=0.\,$,L,*
©Elinkage数学论坛 -- Elinkage极酷超级论坛  4;Dj,
$\qquad$对$\,x\ge -1,\;$有理数$\,a< 0,\,$易见$\,1+ax < 0\,$时(2)成立。否则取$\,n\in\mathbb{N}^+$使.
$\qquad\frac{-a}{n}=\frac{|a|}{n}\in(0,1),\;$则$\;(1+x)^{-a/n}\le 1-\frac{a}{n}x\implies (1+x)^{a/n}\ge \frac{1}{1-\frac{a}{n}x}\ge 1+\frac{a}{n}x$].
$\qquad$对此两边乘$\,n\,$次方,由上节结果$,\;(1+x)^a\ge (1+\frac{a}{n}x)^n\ge 1+n\frac{a}{n}x=1+ax$Sy;e.
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$\qquad$综上,Bernoulli不等式对有理数$\,a\,$成立. 但指数函数$\,b^v\,(b >0)\,$是单调的,z
$\qquad$在$\,\mathbb{Q}\,$上其值是稠密的($b^v =\sup\{b^r\mid r\le v,\,r\in\mathbb{Q}\}\,(b >1)$)。故 BernoullixrD
$\qquad$不等式对实数$\,a\not\in\{0,1\}\,$真, 等号当且仅当$\,x=0\,$时成立$.\quad\square$('isra


发贴时间2015/11/22 00:18pm IP: 已设置保密[本文共2530字节]  

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