>> 欢迎您,客人登录 按这里注册 忘记密码 在线 搜索 论坛风格  帮助  插件   


>>> 数学分析,奇异积分,几何,代数,微分方程,群与环,数论
Elinkage数学论坛基础数学 [返回] → 浏览:一组基本不等式的初等推导 标记论坛所有内容为已读 

 目前论坛总在线 42 人,本主题共有 1 人浏览。其中注册用户 0 人,访客 1 人。  [关闭详细列表]
发表一个新主题 回复贴子 开启一个新投票 ◆此帖被阅读 1235 次◆  浏览上一篇主题  刷新本主题  树形显示贴子 浏览下一篇主题
 * 贴子主题: 一组基本不等式的初等推导 不分页显示此帖  保存该页为文件  本贴有问题,发送短消息报告给版主  加入个人收藏&关注本贴  显示可打印的版本  把本贴打包邮递  把本贴加入收藏夹  发送本页面给朋友   
 elim 
 头衔: 论坛版主

 

等级: 新手上路
信息: 该用户目前不在线 此人为版主
威望: 0 积分: 0
现金: 159046 雷傲元
存款: 没开户
贷款: 没贷款
来自: 保密 blank
发帖: 2284
精华: 0
资料:  
在线: 48天3时55分25秒
注册: 2010/12/07 06:27am
造访: 2020/08/06 11:57pm
消息 查看 搜索 好友 引用 回复贴子回复 只看我 [楼 主]
  单位积不等式:$\forall x_j >0:\underset{\,}{\,}(\prod_1^n x_j =1)\implies(\sum_1^n x_j\ge n)$<e
$\qquad$(等号当且仅当$\;x_j=1\,(\forall j)\;$时成立).{C*
证:$\,n=1\,$时论断真. 若论断对某$\,n\in\mathbb{N}^+\,$成立,设6oTnG
$\qquad x_1\le x_2\le \cdots\le x_{n+1},\;\;\small\displaystyle\prod_1^{n+1}x_j =1,\;$则aE+;o
$\qquad{\small{\displaystyle{\sum_1^{n+1}}}}x_j=(x_1+x_{n+1}-x_1x_{n+1})+(x_1x_{n+1}+\sum_2^n x_i)$FA
$\qquad\qquad\;\ge ((1-x_1)(x_{n+1}-1)+1)+n\ge 1+n.\underset{\,}{\,}\quad\square$#
$\qquad\qquad\qquad$等号当且仅当$\,x_j=1\,(\forall j)$时成立.%k 0V
©Elinkage数学论坛 -- Elinkage极酷超级论坛  A
定理$[AM-GM]$:$\displaystyle{\forall n\in\mathbb{N}^+\forall a_j>0:\,{\small{\frac{1}{n}\sum_{k=1}^n}}a_k \ge \bigg({\small{\prod_{k=1}^n}}a_k}\bigg)^{\frac{1}{n}}\;(^*)$2
$\qquad\qquad\qquad$等号当且仅当$\,a_i= a_j\,(\forall i,j)\;$时成立.ZM|{o
证:取$\;\;x_j = {\small{\dfrac{a_j}{(\prod_1^n a_k)^{1/n}}}},\;\;$则$\;\prod_1^n x_j=1\;$于是$\;\sum_1^n x_j \ge n\,$7]=
$\qquad\qquad\qquad$等号当且仅当$\; x_j=1\,(\forall j).\;$这等价于$\,(^*).\quad\square$S
©Elinkage数学论坛 -- Elinkage极酷超级论坛  <T
Bernoulli不等式:设$\;x\ge -1,\;$则:\
$\qquad(1)\quad (1+x)^a \le 1+ax\quad (a\in (0,1))$6q
$\qquad(2)\quad (1+x)^a \ge 1+ax \quad (a\in\mathbb{R}-[0,1])$~Zv0
$\qquad\qquad$等号当且仅当$\,x= 0\;$时成立.]!O!
证:对$\;m,n\in\mathbb{N}^+,m< n,\;x\ge -1,\;$由[A≥G]定理,cE fn
$\qquad (1+x)^{\frac{m}{n}} = ((1+x)^m 1^{n-m})^{1/n}\le \frac{1}{n}(n+mx)=1+\frac{m}{n}x$drk
$\qquad$等式成立当且仅当$\,x=0.\;$故(1)对$\;a = \frac{m}{n}\in (0,1)\cap\mathbb{Q}\,$成立.*ibQt
$\qquad$对$\,x\ge -1,\;$有理数$\,a > 1,\,$易见$\,1+ax < 0\,$时(2)成立。否则jG~>70
$\qquad y=ax\ge -1,\;\; b = \frac{1}{a}\in(0,1)\cap\mathbb{Q},$u*5
$\qquad(1+x)^a=(1+by)^a\ge ((1+y)^b)^a=(1+y)^{ba}=1+ax\,$C
$\qquad$等式成立当且仅当$\;x=0.\underset{\,}{\,}$siSs?y
$\qquad$对$\,x\ge -1,\;$有理数$\,a< 0,\,$易见$\,1+ax < 0\,$时(2)成立。否则zqz>
$\qquad$取$\,n\in\mathbb{N}^+$使$\;\frac{-a}{n}=\frac{|a|}{n}\in(0,1),\;$则有$\;(1+x)^{-a/n}\le 1-\frac{a}{n}x$&6#
$\qquad$即$(1+x)^{a/n}\ge \frac{1}{1-\frac{a}{n}x}\ge 1+\frac{a}{n}x.\;$对此式取$\,n\,$次方,由上节结果,\Y;-
$\qquad(1+x)^a\ge (1+\frac{a}{n}x)^n\ge 1+n\frac{a}{n}x=1+ax$K|:
©Elinkage数学论坛 -- Elinkage极酷超级论坛  Y0q#
$\qquad$综上,Bernoulli不等式对有理数$\,a\,$成立. 但函数$\,b^s\small\,(1\ne b>0)$3Y'e[Y
$\qquad$是单调的,在$\,\mathbb{Q}\,$上其值是稠密的($b^v =\sup\{b^r\mid r\le v,\,r\in\mathbb{Q}\}$+R9i
$\qquad(b >1)$)。故 Bernoulli不等式对实数$\,a\not\in\{0,1\}\,$真,等号当Ps*ma5
$\qquad$且仅当$\,x=0\,$时成立$.\quad\square$'A


发贴时间2015/11/22 00:18pm IP: 已设置保密[本文共2475字节]  
 elim 
 头衔: 论坛版主

 

等级: 新手上路
信息: 该用户目前不在线 此人为版主
威望: 0 积分: 0
现金: 159046 雷傲元
存款: 没开户
贷款: 没贷款
来自: 保密 blank
发帖: 2284
精华: 0
资料:  
在线: 48天3时55分25秒
注册: 2010/12/07 06:27am
造访: 2020/08/06 11:57pm
消息 查看 搜索 好友 引用 回复贴子回复 只看我 [第 2 楼]
  [AM-GM]$\;{\small\dfrac{\small a_1+\cdots+a_n}{n}}\ge\sqrt[n]{a_1\cdots a_n}\,$等号成立$\iff a_i\overset{\forall i\forall j}{=}a_j$4Y
证:命题对$\,n=1\,$显然成立.假定命题对$\,n\ge 1\,$c%T
$\qquad$成立,则$\;{\small\dfrac{a_1+\cdots+a_{2n}}{\scriptsize 2n}}=\frac{1}{2}\big(\frac{a_1+\cdots+a_n}{n}+\frac{a_{n+1}+\cdots+a_{2n}}{n}\big)$h#<Dfg
$\qquad\overset{\,}{\ge}\sqrt{\sqrt[n]{a_1\cdots a_n}\sqrt[n]{a_{n+1}\cdots a_{2n}}}=\sqrt[2n]{a_1\cdots a_{2n}}$4F
$\qquad$且若命题对$\small\,n=m>1\,$成立,则对$\small\,a_m=\sqrt[m-1]{a_1\cdots a_{m-1}}$jt@[?
$\qquad$有$\;{\small\dfrac{a_1+\cdots+a_{m-1}}{\scriptsize m-1}=\dfrac{a_1+\cdots+a_{m-1}+\frac{a_1+\cdots+a_{m-1}}{m-1}}{m}}$$}So
$\qquad\ge{\small\dfrac{a_1+\cdots+a_m}{m}}\ge\sqrt[m]{a_1\cdots a_m}=\sqrt[m-1]{a_1\cdots a_{m-1}}\;\;\square$)ZR


发贴时间2019/11/27 06:13am IP: 已设置保密[本文共823字节]  

 该主题只有一页

快速回复主题: 一组基本不等式的初等推导
您目前的身份是: 客人 ,要使用其他用户身份,请输入用户名和密码。未注册客人请输入网名,密码留空。
输入用户名和密码: 用户名: 没有注册? 密码: 忘记密码?
上传附件或图片 (最大容量 10000KB)
目前附件:(如不需要某个附件,只需删除内容中的相应 [UploadFile ...] 标签即可) [删除]
选项

使用 LeoBBS 标签?
显示您的签名?
有回复时使用邮件通知您?

使用字体转换?

    快速引用第 楼层的回复
 顶端 加到"个人收藏夹" 主题管理总固顶 取消总固顶 区固顶 取消区固顶 固顶 取消固顶 提升 沉底
加重 取消加重 精华 取消精华 锁定 解锁 删除 删除回复 移动


© 中文版权所有: 雷傲科技
程序版权所有: 雷傲超级论坛  版本: LeoBBS X Build051231
 

本论坛言论纯属发表者个人意见,与 Elinkage数学论坛 立场无关