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 elim 
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  单位积不等式:$\;\forall x_j >0:\underset{\,}{\;}(\prod_1^n x_j =1)\implies (\sum_1^n x_j \ge n)$YN\
$\qquad$(等号当且仅当$\;x_j=1\,(\forall j)\;$时成立).&Ks
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证:$\,n=1\,$时论断真. 若论断对某$\,n\in\mathbb{N}^+\,$成立,设$\,x_1\le x_2\le \cdots\le x_{n+1}$,K:5
${\small{\displaystyle{\qquad \prod_1^{n+1}}}}x_j =1.\;$则$\;{\small{\displaystyle{\sum_1^{n+1}}}}x_j=(x_1+x_{n+1}-x_1x_{n+1})+(x_1x_{n+1}+\sum_2^n x_i)$5MZ&#
$\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad \ge ((1-x_1)(x_{n+1}-1)+1)+n\ge 1+n.\underset{\,}{\,}\quad\square$G+;wvb
$\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad$等号当且仅当$\,x_j=1\,(\forall j)$时成立.wB%
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$[A\ge G]\,$定理:$\displaystyle{\;\forall n\in\mathbb{N}^+\forall a_j > 0:\quad{\small{\frac{1}{n}\sum_{k=1}^n}}a_k \ge \bigg({\small{\prod_{k=1}^n}}a_k}\bigg)^{1/n}\qquad(^*)$X=sU>
$\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad$等号当且仅当$\,a_i= a_j\,(\forall i,j)\;$时成立.Z
证:取$\;\;x_j = {\small{\dfrac{a_j}{(\prod_1^n a_k)^{1/n}}}},\;\;$则$\;\prod_1^n x_j=1\;$于是$\;\sum_1^n x_j \ge n\,$等号当且仅当y
©Elinkage数学论坛 -- Elinkage极酷超级论坛  {
$\qquad x_j=1\,(\forall j).\;$这等价于$\,(^*).\quad\square$[_nM
©Elinkage数学论坛 -- Elinkage极酷超级论坛  27u>z
©Elinkage数学论坛 -- Elinkage极酷超级论坛  >5Y(Z*
Bernoulli不等式:设$\;x\ge -1,\;$则0h&e2I
©Elinkage数学论坛 -- Elinkage极酷超级论坛  L<L
$\qquad(1)\quad (1+x)^a \le 1+ax\quad (a\in (0,1))$M!
$\qquad(2)\quad (1+x)^a \ge 1+ax \quad (a\in\mathbb{R}-[0,1])$Vcwl
$\qquad\qquad$等号当且仅当$\,x= 0\;$时成立.7]\Zfv
©Elinkage数学论坛 -- Elinkage极酷超级论坛  :
证:对$\;m,n\in\mathbb{N}^+,m< n,\;x\ge -1,\;$由[A≥G]定理,D
$\qquad (1+x)^{\frac{m}{n}} = ((1+x)^m 1^{n-m})^{1/n}\le \frac{1}{n}(n+mx)=1+\frac{m}{n}x$%c7n
$\qquad$等式成立当且仅当$\,x=0.\;$故(1)对有理数$\;a = \frac{m}{n}\in (0,1)\cap\mathbb{Q}\,$成立.w
©Elinkage数学论坛 -- Elinkage极酷超级论坛  a:\QNe
$\qquad$对$\,x\ge -1,\;$有理数$\,a > 1,\,$易见$\,1+ax < 0\,$时(2)成立。否则$\,y=ax\ge -1$,>
$\qquad b = \frac{1}{a}\in(0,1)\cap\mathbb{Q},\;(1+x)^a=(1+by)^a\ge ((1+y)^b)^a=(1+y)^{ba}=1+ax$w='lPG
$\qquad$即此时$\,(1+x)^a\ge 1+ax,\;$等式成立当且仅当$\;(y=0\iff) x=0.\,$0
©Elinkage数学论坛 -- Elinkage极酷超级论坛  Gg`O_R
$\qquad$对$\,x\ge -1,\;$有理数$\,a< 0,\,$易见$\,1+ax < 0\,$时(2)成立。否则取$\,n\in\mathbb{N}^+$使xd8!
$\qquad\frac{-a}{n}=\frac{|a|}{n}\in(0,1),\;$则$\;(1+x)^{-a/n}\le 1-\frac{a}{n}x\implies (1+x)^{a/n}\ge \frac{1}{1-\frac{a}{n}x}\ge 1+\frac{a}{n}x$QN`rC0
$\qquad$对此两边乘$\,n\,$次方,由上节结果$,\;(1+x)^a\ge (1+\frac{a}{n}x)^n\ge 1+n\frac{a}{n}x=1+ax$~rKJH
©Elinkage数学论坛 -- Elinkage极酷超级论坛  Zg"
$\qquad$综上,Bernoulli不等式对有理数$\,a\,$成立. 但指数函数$\,b^v\,(b >0)\,$是单调的,ZFfHH
$\qquad$在$\,\mathbb{Q}\,$上其值是稠密的($b^v =\sup\{b^r\mid r\le v,\,r\in\mathbb{Q}\}\,(b >1)$)。故 Bernoulli8NG
$\qquad$不等式对实数$\,a\not\in\{0,1\}\,$真, 等号当且仅当$\,x=0\,$时成立$.\quad\square$H|+s |


发贴时间2015/11/22 00:18pm IP: 已设置保密[本文共2530字节]  

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