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 elim 
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  定理1: $\pi$ 不是有理数.v$*JX
证1:设$\;\omega\in\mathbb{R}^+\underset{\,}{\;}$则由0<qc/
$\qquad{\small\dfrac{d(x(1-x^2)^{n-1})}{dx}} = (2n-1)(1-x^2)^{n-1}-2(n-1)(1-x^2)^{n-2}\underset{\,}{\,}$ybC
$\qquad$及分部积分得:d_=
$\qquad I_n :=\small{\displaystyle{\int_{-1}^1 (1-x^2)^n \cos(\omega x)dx = \omega^{-1}\int_{-1}^1 (1-x^2)^n d\sin(\omega x)}}$"x~LZ)
$\qquad\quad =\small{\displaystyle{\omega^{-1}\int_{-1}^1 2nx(1-x^2)^{n-1}\sin(\omega x)dx}}$d"$
$\qquad\quad =\small{\displaystyle{-\omega^{-2}\int_{-1}^1 2nx(1-x^2)^{n-1}d\cos(\omega x)}}$bF
$\qquad\quad = 2n\omega^{-2}((2n-1)I_{n-1} -2(n-1)I_{n-2})\underset{\,}{\,}$J
$\qquad$故$\quad\boxed{\omega^2 I_n = 2n(2n-1)I_{n-1} -4n(n-1)I_{n-2}\;(n\ge 2)}\underset{\,}{\,}$W>
$\qquad$但$\quad I_0 = 2\omega^{-1}\sin\omega,\;\;I_1 = 4\omega^{-2}(\omega^{-1}\sin\omega -\cos\omega)\underset{\,}{,\;}$-FD]
$\qquad$记$\;(P_0,\,Q_0,\,P_1,\,Q_1) = (2,0,4,-4\omega)\underset{\,}{\;}$便有Z
$\qquad\, \omega^{2k-1}I_{k-1} = (k-1)!(P_{k-1}\sin\omega + Q_{k-1}\cos\omega)\quad(1\le k\le 2)\underset{\,}{\,}$Bw
$\qquad$故对$\;(P_n,\,Q_n) = (4n-2)(P_{n-1},Q_{n-1}) -4\omega^2(P_{n-2},Q_{n-2})\underset{\,}{\,}$rj
$\qquad$有$\quad\omega^{2n+1}I_n =\omega^{2n-1}(2n(2n-1)I_{n-1} -4n(n-1)I_{n-2})\underset{\,}{\,}$8,z
$\qquad\qquad\qquad\quad =\;\;2n!(2n-1)(P_{n-1}\sin\omega +Q_{n-1}\cos\omega)$*S
$\qquad\qquad\qquad\quad \quad -4 n!\omega^2(P_{n-2}\sin\omega +Q_{n-2}\cos\omega)\underset{\,}{\,}$Kp;&)
$\qquad\qquad\qquad\quad =\;\;\,n!((4n-2)P_{n-1} -4\omega^2 P_{n-2})\sin\omega$3n
$\qquad\qquad\qquad\qquad +n!((4n-2)Q_{n-1} -4\omega^2 Q_{n-2})\cos\omega.\underset{\,}{\,}$1+RCve
$\qquad$即$\quad\boxed{\; \omega^{2n+1}I_n = n!(P_n\sin\omega +Q_n\cos\omega)\;\;(^*)}$ehz
$\qquad$其中$\quad\small{P_n,\underset{\,}{\;}Q_n\in\mathbb{Z}[\omega],\quad\deg P_n = n,\;\;\deg Q_n = n-1\;\;(n\ge 2)}$r4|zZ8
$\qquad$取$\;\omega = \small{\dfrac{\pi}{2}}.\quad$假定$\;\pi = {\small{\dfrac{a}{b}}}\;\;(a,b\in\mathbb{Z}^+)\underset{\,}{,}\;$则由$(^*),$>ds@P
$\qquad J_n := {\small{\dfrac{a^{2n+1}I_n}{n!}}} = (2b)^{2n+1}(P_n\sin\omega +Q_n\cos\omega)\in\mathbb{Z}$ XPV
$\qquad$因$\;I_n\;$有界,$\;J_n\to 0\,(n\to\infty).\quad\therefore \exists N\in\mathbb{N}:\;I_n = 0\;(\forall n> N)$v cfI
$\qquad$但由$\;\omega = \pi/2\;$及$\;I_n\;$的定义,恒有$\;I_n >0.\;$故$\;\pi\not\in\mathbb{Q}.\quad\square$@\4M{


发贴时间2015/10/21 09:14am IP: 已设置保密[本文共2354字节]  
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  证2:设$\;\pi^2 = \frac{a}{b},\;\;a,b\in\mathbb{Z}^+$x<P
$\qquad$定义$\quad f_n(x) = {\small{\dfrac{x^n(1-x)^n}{n!}}},\quad G_n(x) = b^n{\small{\displaystyle{\sum_{k=0}^n}}}(-1)^k\pi^{2(n-k)}f^{(2k)}(x)$a{7uND
$\qquad$则$\;f_n^{(k)}(\{0,1\})\subset\mathbb{Z}\;(\forall k\in\mathbb{N}),\;G_n(\{0,1\})\subset\mathbb{Z},\;f_n^{(m)}= 0\;(m > 2n).$z`
$\qquad {\small{\dfrac{d}{dx}}}(G_n'(x)\sin(\pi x)-\pi G_n(x)\cos(\pi x))=(G_n''(x)+\pi^2G_n(x))\sin(\pi x)\underset{\,}{\,}$|O5
$\qquad\qquad\qquad =b^n \pi^{2n+2}f_n(x)\sin(\pi x) = \pi^2 a^n \sin(\pi x)f_n(x)$yb)R#\
$\qquad\therefore\;\;\pi{\small{\displaystyle{\int_0^1}}}a^n\sin(\pi x)f_n(x)dx = \left[ {\small{\dfrac{G_n'(x)\sin(\pi x)}{\pi}}} -G_n(x)\cos(\pi x)\right ]_0^1$6QC
$\qquad\qquad\qquad = 0 + G_n(0)+G_n(1)\in\mathbb{Z}.\;$但左边显然趋于$\;0\;(n\to\infty)$9:JJ3
$\qquad$故对某$\;n\,$左边为零. 但这与$\;f_n\;$的定义不合. 故$\;\pi^2\not\in\mathbb{Q}\;$进而$\; \pi\not\in\mathbb{Q}.$V*


发贴时间2015/10/22 07:28am IP: 已设置保密[本文共988字节]  
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  定理2:(Lindemann)$\;\pi\,$是超越数i(qbG
证:假定$\,\pi\,$是代数数,则$\,i\pi\,$亦然+sXAA5


发贴时间2015/11/11 10:23am IP: 已设置保密[本文共119字节]  

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