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©Elinkage数学论坛 -- Elinkage极酷超级论坛  @V'z`<
$\; (\alpha,\beta,\gamma)=(\angle A,\angle B,\angle C),\;\alpha+\beta+\gamma =\pi$M
©Elinkage数学论坛 -- Elinkage极酷超级论坛  ~dk<
$\;$余弦定理$\;c^2 = a^2+b^2 -2ab\cos\angle C\underset{\,}{\,}$g9q
$\;\small{\text{勾股定理是其特殊情况}}$0x$yl:
$\;$正弦定理$\;{\small{\dfrac{a}{\sin \alpha} = \dfrac{b}{\sin\beta} = \dfrac{c}{\cos\gamma}}} = 2R$q
©Elinkage数学论坛 -- Elinkage极酷超级论坛  {5
$\;$半周长$\;s := \small{\dfrac{a + b + c}{2}}\;$7m[
©Elinkage数学论坛 -- Elinkage极酷超级论坛  Tr^&!c
面积 $|\triangle| = |\triangle ABC| =\frac{1}{2}ab\sin C=\small{\dfrac{c^2}{2}\dfrac{\sin\alpha\,\sin\beta}{\sin(\alpha+\beta)}=\dfrac{c^2}{2}\dfrac{\tan\alpha\,\tan\beta}{\tan(\alpha+\beta)}}{\quad(a=\frac{c\sin\alpha}{sin(\alpha+\beta)})}$0L
$\sin C = \small{\dfrac{2|\triangle|}{ab}},\;\; a\,$上的高$\;h_a = b\sin C = \frac{2|\triangle|}{a}$g\]+3n
$\sin C = \sqrt{1-\cos^2 C} =\small{\dfrac{\sqrt{(2ab)^2-(a^2+b^2 -c^2)^2}}{2ab}=\dfrac{2\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}}{ab}= \dfrac{c}{2R}}$RdH.u
$1 + \cos C = {\small{\dfrac{(a+b+c)(a+b -c)}{2ab}}},\quad 1 -\cos C = {\small{\dfrac{(-a+b+c)(a-b +c)}{2ab}}}\underset{\,}{\,}$m
$\therefore\;|\triangle| =\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}= rs ={\small{\dfrac{abc}{4R}}},\qquad abc = 4R|\triangle|.$|
$R = {\small{\dfrac{abc}{4|\triangle|} = \dfrac{c}{2\sin\gamma}}}$O a$/=
$r = {\small{\dfrac{|\triangle|}{s}}} = (s-c)\tan\frac{C}{2}\;\;(s -c\;$是顶点$\,C\,$到邻边与内圆切点的距离$)$<:4SH
$\small{\cos\frac{C}{2} = \sqrt{\dfrac{1+\cos C}{2}}=\sqrt{\dfrac{(a+b)^2 -c^2}{4ab}} = \dfrac{\sqrt{s(s-c)}}{\sqrt{ab}},\quad \sin\frac{C}{2} = \dfrac{\sin C}{2\cos\frac{C}{2}} = \dfrac{\sqrt{(s-a)(s-b)}}{\sqrt{ab}}}$&fzk\3
$\tan\frac{C}{2}= \small{\sqrt{\dfrac{(s-a)(s -b)}{s(s -c)}} = \dfrac{r}{s -c}}$j2
©Elinkage数学论坛 -- Elinkage极酷超级论坛  tT:%
$\cos\frac{A}{2}\cos\frac{B}{2}\cos\frac{C}{2}=\small{\dfrac{s|\triangle|}{abc} = \dfrac{s}{4R}}$,
©Elinkage数学论坛 -- Elinkage极酷超级论坛  mk#kZ
$\sin A+\sin B+\sin C={\small{\dfrac{s}{R}}} = 4\cos\frac{A}{2}\cos\frac{B}{2}\cos\frac{C}{2}$"W.&s


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  $r_A = \small{\dfrac{r}{\sin\frac{\alpha}{2}} = \dfrac{r\sqrt{bc}}{\sqrt{(s-b)(s -c)}}}\;(A\;$到内心的距离)c
$h_c = {\small{\dfrac{2|\triangle|}{c} = \dfrac{ab}{c}}}\sin\angle C = {\small{\dfrac{ab}{2R}}}\;(\overline{AB}\;$上的高$)$Q
©Elinkage数学论坛 -- Elinkage极酷超级论坛  W
$m_c = \sqrt{a^2 +(c/2)^2 -ac\cos B} = \frac{1}{2}\sqrt{2(a^2+b^2) -c^2}\;(\overline{AB}\;$上的中线长$)$T69rl
©Elinkage数学论坛 -- Elinkage极酷超级论坛  G+myc)
$\beta_c = {\small{\dfrac{2|\triangle|}{(a+b)\sin\frac{C}{2}} = \dfrac{2\sqrt{ab}\sqrt{s(s-c)}}{a+b} = \sqrt{\dfrac{ab(a+b+c)}{a+b}}}}\quad(\angle C\;$平分线长$)$'GB\u"
©Elinkage数学论坛 -- Elinkage极酷超级论坛  mZZ_w
$\triangle ABC\;$的重心(三中线交点)$\;\small{\dfrac{A+B+C}{3}}$C(i4o
©Elinkage数学论坛 -- Elinkage极酷超级论坛  ]OG
$\triangle ABC\;$的内心(三角平分线交点)$\;\small{\dfrac{aA +bB +cC}{a +b +c}}$T
©Elinkage数学论坛 -- Elinkage极酷超级论坛  f:
$\triangle ABC\;$的外心(三中垂线交点)$\;\small{\dfrac{(a\cos \alpha)A +(b\cos\beta)B +(c\cos\gamma)C}{a\cos\alpha +b\cos\beta +c\cos\gamma}}$I3Ud>W
©Elinkage数学论坛 -- Elinkage极酷超级论坛  ,,f
$\triangle ABC\;$的垂心(各边过顶点的垂线之交)$\;\small{\dfrac{(a\cos\beta \cos\gamma)A +(b\cos\gamma \cos\alpha)B +(c\cos\alpha \cos\beta)C}{abc/(4R^2)}}$Q`U+[j
$a\cos\beta \cos\gamma +b\cos\gamma \cos\alpha + c\cos\alpha \cos\beta =\small{\dfrac{4|\triangle|}{abc} = \dfrac{abc}{4R^2}}$|
$a\cos\alpha +b\cos\beta +c\cos\gamma = \small{\dfrac{8|\triangle|^2}{abc}}$%i
$\sin\alpha +\sin\beta +\sin\gamma = {\small{\dfrac{s}{R}}}\le 3\sin\frac{\pi}{3} = \small{\dfrac{3\sqrt{3}}{2}}\;$(Jenson 不等式用于上凸函数 $\sin$){|2
©Elinkage数学论坛 -- Elinkage极酷超级论坛  ?BmR
$\tan\alpha +\tan\beta +\tan\gamma = \tan\alpha\tan\beta\tan\gamma$Y=D$
©Elinkage数学论坛 -- Elinkage极酷超级论坛  "*Mn
$\cot\alpha\cot\beta\cot\gamma\le\small{\dfrac{1}{3\sqrt{3}}}\;$(若某角$\,>\frac{\pi}{2},\;$余切积为负. 否则由$\tan\,$下凸知上式右边$\,\ge 3\tan\frac{\pi}{3}$)U


发贴时间2015/09/14 09:20am IP: 已设置保密[本文共1573字节]  
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  外接圆半径为$\,R\,$的三角形周长的取值范围$\;(0,\;3\sqrt{3}R],\;\;$最大值对应正三角形.);cF/
©Elinkage数学论坛 -- Elinkage极酷超级论坛  (+@VA
内切圆半径为$\;r\;$的三角形周长的取值范围$\;[6\sqrt{3}r,\infty),\,\;\;$最小值对应正三角形.jSc,


发贴时间2015/09/17 03:51pm IP: 已设置保密[本文共202字节]  
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  ©Elinkage数学论坛 -- Elinkage极酷超级论坛  y;fl
©Elinkage数学论坛 -- Elinkage极酷超级论坛  :q
按此在新窗口浏览图片 由$\,R,\,s\,$确定的等腰三角形Cg
©Elinkage数学论坛 -- Elinkage极酷超级论坛  oK+{2
$\;$令$\rho=2R\,$则$\,d^2 =h(\rho -h)\underset{\,}{.}$~
$\; s = d + g =\sqrt{h(\rho -h)}+\sqrt{h\rho}\underset{\,}{\,}$WwX5i
$\;$解方程$\;\underset{\,}{\;}(\sqrt{\rho-h}+\sqrt{\rho})\sqrt{h}=s\;$得=\
$\;h_k\scriptsize{=\dfrac{B}{\sqrt{6}}+\displaystyle{\frac{(-1)^k}{2}\sqrt{\frac{4\sqrt{6}s^2\rho}{B}-\frac{2}{3}\big(4s^2\big(1+\frac{s^2}{A}\big)+A\big)}}}$m`VA
$\quad\scriptsize{A=\sqrt[3]{27\rho^2s^4-8s^6+\sqrt{27}\sqrt{27\rho^4s^8-16\rho^2s^{10}}}}$9]
$\quad\scriptsize{B=\sqrt{-2s^2+\dfrac{4s^4}{A}+A}}$HknC0#
$\;d_k = \sqrt{h_k(\rho -h_k)},\;\; g_k = s - d_k\underset{\,}{.}\quad\square$
$\;$从$\;s = g+d = 2R\sin\theta(1+\cos\theta)\underset{\,}{\,}$得W/`
$\;\,x(1+\sqrt{1-x^2}) = \lambda = \small\dfrac{s}{2R}\in (0,\frac{3\sqrt{3}}{4}]$BypK23
$\;\,g = 2R\sin\theta = 2Rx,\quad d = s - g\,$&*z
$\;$如图,$\,$对$\;\lambda\in [1,\frac{3\sqrt{3}}{4}),\underset{\,}{\;}$恰有二相异的TIgM
$\;$等腰三角形共$\;s,\;R;\;$若$\underset{\,}{\,}0 < s < 2R,$|yKOD}
$\;$等腰三角形被其半周长及外接圆半径$\underset{\,}{\,}$9<
$\;$唯一确定. 一般地,$\,x\,$是四次方程sb}V*E
$\;\,x^4 -2\lambda x +\lambda^2 = 0\;$的正根.#E;`n1
$\;\,\xi = \small{\dfrac{-1 +2\eta^{-1} +\eta}{3}}\;(\eta = (17+3\sqrt{33})^{\frac{1}{3}})$-Fgn-
$\;\,=0.5436890126920763615708559\underset{\,}{...}$t3tu
$\;\,\theta_{\xi} = \arcsin\xi = 0.57482629751555...$f
$\quad\;\; =  32^{\circ}56'6.4''...$9
$\;$又,$\,g^2 = 2Rh,\;d +g = s,\underset{\,}{\;} u := \small{\dfrac{h}{2R}}$1>dP=
$\;\,\sqrt{2Rh} +\sqrt{h(2R -h)} = s \underset{\,}{\,}$S&SO
$\;\implies\sqrt{u} +\sqrt{u(1-u)} \underset{\,}{=} \lambda$#:
$\;\implies u^4 +2\lambda^2 u^2 -4u +\lambda^4 = 0$EJ
$\;\small{\zeta =\dfrac{-1 +4^{\frac{4}{3}}\sigma^{-1} +2\sigma}{3}\,(\sigma=(13+3\sqrt{33})^{\frac{1}{3}})}$`M
$\;\;\;\small{= 0.2955977425220847709809965928515...}$,vbJ
©Elinkage数学论坛 -- Elinkage极酷超级论坛  U$q{`%
©Elinkage数学论坛 -- Elinkage极酷超级论坛  3
$\;\;v = v(u)\;$的图形同样反映了$\;\lambda\;$的取值与解三角形的个数关系.
(I{,A


发贴时间2015/09/18 06:02am IP: 已设置保密[本文共2031字节]  
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  按此在新窗口浏览图片 例:$\;s = \frac{11}{10},\,2R = 1,\,\lambda = \frac{s}{2R} = s.$AEMMXc
©Elinkage数学论坛 -- Elinkage极酷超级论坛  KpWqL<
$x(x +\sqrt{1-x^2}) =\lambda \in [1,\frac{3\sqrt{3}}{4})$7NE
©Elinkage数学论坛 -- Elinkage极酷超级论坛  3Ku
$x_1 = 0.61504265609904668747852\ldots$T
©Elinkage数学论坛 -- Elinkage极酷超级论坛  Z#&GWF
$x_2 = 0.99433798589467891570227\ldots$+D-Ia
©Elinkage数学论坛 -- Elinkage极酷超级论坛  :f6g
$g_j = 2Rx_j = x_j\;(j = 1,2)$.V>-S
©Elinkage数学论坛 -- Elinkage极酷超级论坛  O
$d_1 = s -g_1 = 0.48495734390095331252147…$&
©Elinkage数学论坛 -- Elinkage极酷超级论坛  K
$d_2 = s -g_2 = 0.10566201410532108429772…$CeDNg
©Elinkage数学论坛 -- Elinkage极酷超级论坛  6BVI
©Elinkage数学论坛 -- Elinkage极酷超级论坛  :lx`kd
©Elinkage数学论坛 -- Elinkage极酷超级论坛  d"tc
按此在新窗口浏览图片fC9


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