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  [ pdf]YiOZi
©Elinkage数学论坛 -- Elinkage极酷超级论坛  u
复数系eV
©Elinkage数学论坛 -- Elinkage极酷超级论坛  ",C)cP
向量空间$\,\mathbb{R}^n\,$关于向量加法成为加群($\mathbb{R}\,$是实数系). $\,n=2\,$时可赋予(|&&
©Elinkage数学论坛 -- Elinkage极酷超级论坛  %
乘法$\qquad (a,b)(c,d) = (ac-bd, bc +ad)\qquad$使之成为(交换)域$\,\mathbb{C}$.J{AF$
©Elinkage数学论坛 -- Elinkage极酷超级论坛  b747X
记$\;i = (0,1),\;$则$\;\mathbb{C} = \{a+ib\mid a,b\in\mathbb{R}\}.\;$称$\;\overline{a+ib} = a-ib\,$为1
©Elinkage数学论坛 -- Elinkage极酷超级论坛  dm
$\,a+ib\,$的共轭$\,(a,b\in\mathbb{R}),\;\mathrm{Re}(z)=(z+\bar{z})/2,\;\mathrm{Im}(z) = (z-\bar{z})/(2i)$NjOHI=
©Elinkage数学论坛 -- Elinkage极酷超级论坛  `/C
称为复数$\,z\,$的实部及虚部. 称$\;|z| = \sqrt{z\bar{z}}\;$为$\;z\;$的模,长度,或绝对值.ZehTn
©Elinkage数学论坛 -- Elinkage极酷超级论坛  ]0p%6G
令$\;S = \{(a,b,c)\in\mathbb{R}^3:\;a^2+b^2+c^2 =1 \},\quad S\,'= S -\{(0,0,1)\}$R[0U
©Elinkage数学论坛 -- Elinkage极酷超级论坛  "
定义 $\psi: S'\to \mathbb{C}\; \big(\small{(a,b,c)\mapsto \dfrac{a+ib}{1-c}}\big),$n0jb2
©Elinkage数学论坛 -- Elinkage极酷超级论坛  N?:17:
$\varphi: \mathbb{C}\to S'\;\big(\small{x +iy\mapsto \big(\dfrac{2x}{x^2+y^2+1},\dfrac{2y}{x^2+y^2 +1},1-\dfrac{2}{x^2+y^2+1}\big)}\big)$}_{
©Elinkage数学论坛 -- Elinkage极酷超级论坛  .`G)>K
则易见 $\psi\circ \varphi = \mathbb{I}d_{\mathbb{C}}$. 但 $\small{\dfrac{a^2+b^2}{(1-c)^2} + 1 = \dfrac{2}{1-c}\;((a,b,c)\in S')}$ 故有[d
©Elinkage数学论坛 -- Elinkage极酷超级论坛  (naD`
$\varphi\circ \psi((a,b,c)) = \varphi({\small\dfrac{a+ib}{1-c}}) = (a,b, 1 -(1-c)) = \mathbb{I}d_{S'}(a,b,c)$OVD
©Elinkage数学论坛 -- Elinkage极酷超级论坛  k
即球极射影是$\;S'\;$到$\;\mathbb{C}\;$的双射:h
©Elinkage数学论坛 -- Elinkage极酷超级论坛  .i/n
按此在新窗口浏览图片.G
©Elinkage数学论坛 -- Elinkage极酷超级论坛  y[
对复平面引入无穷远点, 将其对应于$\;(0,0,1)\in S,\,$则得$\;\mathbb{C}\cup\{\infty\}\;$的 E-!
©Elinkage数学论坛 -- Elinkage极酷超级论坛  g
球面度量$\;d(z_1,z_2) = |\varphi(z_1)-\varphi(z_2)| ={\small{\dfrac{2|z_1 -z_2|}{\sqrt{(1+|z_1|^2)(1+|z_2|^2)}}}},$L0!
©Elinkage数学论坛 -- Elinkage极酷超级论坛  h0
$d(z,\infty) = |\varphi(z)-(0,0,1)| = {\small{\dfrac{2}{\sqrt{1+|z|^2}}}}\quad(z_1,z_2,z\in\mathbb{C})$=padq
©Elinkage数学论坛 -- Elinkage极酷超级论坛  S?C@
试证 向量加法群$\;\mathbb{R}^n\,(n > 2)\,$不能成为交换域.Ym9}



发贴时间2015/08/03 05:21am IP: 已设置保密[本文共1587字节]  
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  解析函数简介8\Dcm7
©Elinkage数学论坛 -- Elinkage极酷超级论坛  Jg
定理: 设$\underset{\,}{\;}\{a_n\}\in\mathbb{C}^{\mathbb{N}},\quad \lambda = \lim\sup\;|a_n|^{1/n},\quad R = \lambda^{-1}\;\small(R(\lambda)|_{\lambda=0}=\infty)$A
$\qquad$则幂级数$\underset{\,}{\;}\sum a_n z^n\;$在$\;N_R = \{z\in\mathbb{C}\mid |z|< R\}\;$上绝对收敛, 在$\,\overline{N}_r\;$`iU)
$\underset{\,}{\qquad}$上一致收敛$\,(r < R)\,$在$\;\mathbb{C} -\overline{N}_R$ 上级数发散.L=Jq6
证:若$\underset{\,}{\,}0< r< R\,(\lambda< \infty),\;$则$\,0\le r\lambda< 1,\;\exists m\in\mathbb{N}:\,\sqrt[n]{|a_n|}< \frac{1}{2}(\lambda+r^{-1})=\frac{\rho}{r}\,$_HJ
$\underset{\,}{\qquad}$即$\,{\small\sqrt[n]{|a_n|}}r< \rho< 1\;(n>m)\;$故对$\;z\in\overline{N}_r\subset N_R\,\;\sum |a_n z^n|\le\sum |a_n|\rho^n< \infty\;$t/
$\underset{\,}{\qquad}$若$\,z> R\,(\lambda> 0),\,$则$\,\exists\lambda'\in(0,\lambda): |\lambda'z|\ge 1.\;\exists m\in\mathbb{N}:|a_nx^n|\ge 1\,(n> m)$Ez
©Elinkage数学论坛 -- Elinkage极酷超级论坛  8O
定理:$\underset{\,}{\;}\sum a_n z^n,\;\sum (n+1)a_{n+1}z^n\;$有相同的收敛半径.J+q
证:$\sum a_n z^n,\underset{\,}{\;}\sum a_{n+1}z^n\;$有相同的收敛圆.$\;\lim\,\sup\,|a_{n+1}|^{\frac{1}{n}}=\lim\,\sup\,|a_n|^{\frac{1}{n}}$f
$\qquad$但$\,\lim\sqrt[n]{n}=1,\;\therefore\,\lim\,\sup\,\sqrt[n+1]{(n+1)a_n}=\lim\,\sup\sqrt[n]{a_n}.$'
©Elinkage数学论坛 -- Elinkage极酷超级论坛  Sb;
定理: $\lim\sup {\large|\frac{a_{n+1}}{a_n}|}\ge \lim\sup |a_n|^{1/n}\ge \lim\inf |a_n|^{1/n} \ge \lim\inf{\large|\frac{a_{n+1}}{a_n}|}$7I
©Elinkage数学论坛 -- Elinkage极酷超级论坛  k:e
$\displaystyle{\exp z = \sum_{n=0}^{\infty}\frac{z^n}{n!}}$ 在 $\mathbb{C}\,$上绝对收敛,在有界集上一致收敛.;/



发贴时间2015/08/05 11:17am IP: 已设置保密[本文共1528字节]  
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  可微性与解析性P:Yj~
©Elinkage数学论坛 -- Elinkage极酷超级论坛  @$nAu
定义 设 $G = G^{\circ}\subset \mathbb{C},\; \mathscr{C}^1(G,\mathbb{C})$ 叫作$\;G\;$上的解析函数.Am
©Elinkage数学论坛 -- Elinkage极酷超级论坛  >Bj>Jm
注记 有意思的是 $\mathscr{C}^1(G,\mathbb{C}) = \mathscr{C}^{\infty} (G,\mathbb{C})$ 恒成立.K
©Elinkage数学论坛 -- Elinkage极酷超级论坛  vhBX{v
定理 $\underset{\,}{\;}f(z)=\sum a_n x^n\;$在其收敛圆$\,N_R\,$内部解析,其导数为$\;\sum (n+1)a_{n+1}x^n,\;$/ycL;
证:令$\,g(z)=\sum(n+1)a_{n+1}z^n,\;S_N(z)=\sum_0^N a_nz^n,\;R_N(z)=\sum_{N+1}^{\infty}a_nz^n,\;$则F1
$\underset{\,}{\quad}\displaystyle{\left|{\small\frac{f(z)-f(z_0)}{z-z_0}}-g(z_0)\right|\le \left|{\small\frac{S_N(z)-S_N(z_0)}{z-z_0}}-S'_N(z_0)\right|}$F_n%'
$\displaystyle{\quad\qquad\qquad\qquad\qquad+|S'_N(z_0)-g(z_0)|+\left|{\small\frac{R_N(z)-R_N(z_0)}{z-z_0}}\right|}=:T_1+T_2+T_3.$/fd@6[
$\underset{\,}{\quad}(z,\,z_0\in N_R).\;\;$对$\,\varepsilon>0,\,r\in(|z_0|,R),\;$取$\;N\,$使$\;T_2,\,T_3< {\small\displaystyle\sum_{N+1}^{\infty}} n|a_n|r^{n-1}<\frac{\varepsilon}{3}.\;$由5E7x
$\underset{\,}{\quad}T_2=|{\small\displaystyle\sum_{N+1}^{\infty}} na_nz_0^n|,\;T_3\le{\small\displaystyle\sum_{N+1}^{\infty}}|a_n|\bigg|\frac{z^n-z_0^n}{z-z_0}\bigg|={\small\displaystyle\sum_{N+1}^{\infty}}|a_n|\big|{\small\displaystyle\sum_{k=0}^{n-1}}|z^{n-1-k}z_0^k\big|< {\small\displaystyle\sum_{N+1}^{\infty}} n|a_n|r^{n-1}$/x;-S
$\underset{\,}{\quad}\sum na_n z^{n-1}\;(z\in N_R)\,$绝对收敛知这样的$\,N\,$存在.对此$\,N,\,$易见$\,\exists\,\delta>0\,$使wXr\
$\underset{\,}{\quad}z\in N_{\delta}(z_0)\,$时$\,T_1<\frac{\varepsilon}{3}.\quad\therefore\;{\displaystyle\lim_{z\to z_0}\small\frac{f(z)-f(z_0)}{z-z_0}}=g(z_0).\quad\square$Cz8g}
©Elinkage数学论坛 -- Elinkage极酷超级论坛  AI@I
引理:区域(连通开集)上导数为零的函数是常数。30:
©Elinkage数学论坛 -- Elinkage极酷超级论坛  <S;
定义:若$\,G(\subset\mathbb{C})\,$为开集,$\,f\in C(G,\mathbb{C}),\;\exp(f(z))=z\;(z\in G),\;$则称$\,f\,$是$\,G\,$?XPQ4O
$\qquad$上对数函数的一个分支.18
©Elinkage数学论坛 -- Elinkage极酷超级论坛  aCuB$
例:$\log(z)=\ln|z|+i\theta\quad(-\pi< \arg(z)< \pi)$ |>Xk
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保角性@RaMLM
©Elinkage数学论坛 -- Elinkage极酷超级论坛  m_F 9<
柯西-黎曼方程 Cauchy-Riemann Equations$\underset{\,}{\,}$[f
$\underset{\,}{\quad}$若$\,f:G\to\mathbb{C}{\small(\supset G=G^{\circ})}\,$可微.则$\;\displaystyle{\;{\small\frac{\partial f}{\partial x}}=f\,'(z){\small\frac{\partial z}{\partial x}}=-if\,'(z){\small\frac{\partial z}{\partial y}}=-i{\small\frac{\partial f}{\partial y}}}$u.'
$\underset{\,}{\quad}$故对$\,f(z)=u(x,y)+iv(x,y),\;x = (z+\bar{z})/2,\,y=(z-\bar{z})/(2i)$ 有)]]i/
$\underset{\,}{\quad}\boxed{{\small\frac{\partial f}{\partial x}}=-i{\small\frac{\partial f}{\partial y}},\;(u_x,u_y) =(v_y, -v_x),\;{\small\frac{\partial f}{\partial z}=\frac{1}{2}\big(\frac{\partial f}{\partial x}-i\frac{\partial f}{\partial y}\big)},\;{\small\frac{\partial f}{\partial \bar{z}}}=0}$AJ%bAB
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定理:若$\underset{\,}{\,}f:G\to\mathbb{C},\,f_x,f_y\,$连续,则$\,f\,$可微$\iff\,f$满足柯西-黎曼方程.u
证:只须证$(\Longleftarrow)\underset{\,}{:}$0v:y
$\underset{\,}{\quad}{\large\frac{f(z+w)-f(z)}{w}}\overset{w=s+it\ne 0}{=}\big((f(z+w)-f(z+it))+(f(z+it)-f(z))\big){\large\frac{1}{w}}$+ZjG4
$\underset{\,}{\quad}={\large\frac{s}{w}}f_x(z)+{\large\frac{t}{w}}f_y(z)+\big(s(f_x(z+s^*+it)-f_x(z))+t(f_y(z+it^*)-f_y(z))\big){\large\frac{1}{w}}$}+Yoc2
$\underset{\,}{\quad}\to f_x(z){\large\frac{s}{w}}+f_y(z){\large\frac{t}{w}}=f_x(z){\large\frac{s}{w}}-i f_y(z){\large\frac{it}{w}}={\large\frac{\partial f(z)}{\partial x}}\quad(w\to 0)$W};



发贴时间2015/08/20 05:31am IP: 已设置保密[本文共3292字节]  
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  复积分及其解析函数应用0}>Vpz



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