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  Bernoulli(贝努利)数因瑞士数学家Jacob Bernoulli}vvx?d
(1654-1705)研究等幂和$\;\displaystyle{S_k(n) = \sum_{j=0}^{n-1} j^k},\;\small(\Delta S_k(n) = n^k)\,$而得名.,9
$\displaystyle{\frac{z}{e^z -1} = \sum_{m = 0}^{\infty} B_m \frac{z^m}{m!}\quad(|z| < 2\pi)}\qquad\qquad\quad\;\;$ ($\{B_n\}$ 的定义)#iq
$\displaystyle{B_0 = 1,\,B_1 = -1/2,\,B_n = \sum_{k=0}^n \binom{n}{k}B_k}\;(n > 1)$ (隐递归公式)Fz_ZF
$\displaystyle{B_0 = 1,\;B_n = \frac{-1}{n+1}\sum_{k=0}^{n-1}\binom{n+1}{k}B_k\quad(n > 0)}\,\;$(显递归公式)Z
$\displaystyle{S_k(n) = \frac{1}{k+1}\sum_{j=0}^{k}\binom{k+1}{j}B_j n^{k+1-j}}\qquad\qquad$ (等幂和公式).3uY
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以下介绍这些结果的由来.tjGq%


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  观察前几个$\;S_r(n)$:}OO<do
$\qquad\qquad\small{\begin{matrix}S_1(n) & =\dfrac{n(n-1)}{2} & =\dfrac{n^2}{2} - \dfrac{n}{2}\\5nJ
S_2(n) & =\dfrac{n(n-1)(2n-1)}{6} & =\dfrac{n^3}{3} -\dfrac{n^2}{2} +\dfrac{n}{6}\\e<rJ%:
S_3(n) & = \dfrac{n^2(n-1)^2}{4} & = \dfrac{n^4}{4} - \dfrac{n^3}{2} +\dfrac{n^2}{4}\\7"5?T
S_4(n) & = S_2(n) \dfrac{3n^2 -3n -1}{5} & =\dfrac{n^5}{5} -\dfrac{n^4}{2} +\dfrac{n^3}{3} -\dfrac{n}{30} \end{matrix}}$J}I.M
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$S_k$似具下列有趣性质:_d
$\qquad\qquad\bullet\quad\underset{\,}{\,} S_k(n)$ 的最高项为 $\dfrac{n^{k+1}}{k+1}$, 其次是 $-\dfrac{n^k}{2}$b%q
$\qquad\qquad\bullet\quad\underset{\,}{\,} S_k(0) = S_k(1) = 0$y
$\qquad\qquad\bullet\quad\underset{\,}{\,} S_k(-n) = (-1)^{k+1}S_k(n+1)$WS!m
$\qquad\qquad\bullet\quad\underset{\,}{\,} n(n-1) \mid S_k(n),\quad (2\mid k)\implies (2n-1)\mid S_k(n)$\C(
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Bernoulli数与等幂和的算子解^"U
注意 Taylor 级数 $\quad f(x+h) = f(x) + h f'(x) + \dfrac{h^2}{2} f''(x) + \cdots$J)
可以写成 $f(x+h) = e^{hD} f(x).$ 其中 $D = \small{\dfrac{d}{dx}}$ 是微分算子. 于是 $S_k\underset{\,}{\,}$_
满足方程 $(e^{D} -1)S_k(x) = x^k\underset{\,}{\,}$ 从而形式地(对多项式而言,绝对地)有X
$(\star)\quad\small{S_k(x) = \dfrac{1}{e^D -1} x^k = \dfrac{D}{e^D -1} D^{-1} x^k = \dfrac{D}{e^D -1}\left(\dfrac{x^{k+1}}{k+1} + c\right)}$^sX>
积分常数$\,c\,$可由$\,S_k(0) = 0$ 确定. 问题化为对算子$\,\small{\dfrac{D}{e^D -1}}$ 的展开.S]8>~C
©Elinkage数学论坛 -- Elinkage极酷超级论坛  *J}
因为函数 $\varphi(z) = \dfrac{z}{e^z -1}$.有简单极点 $z = 2\pi m i\;(m\in\mathbb{Z} -\{0\})$,:z
故 $\varphi$ 在 $|z| < 2\pi$ 内可展为幂级数 $\displaystyle{\frac{z}{e^z -1} = \sum_{m = 0}^{\infty} B_m \frac{z^m}{m!}}$?e<A
其中 $B_m = \varphi^{(m)}(0)$ 叫作(第 m 个)Bernoulli(贝努利)数. U


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  Bernoulli 数的基本性质T8
©Elinkage数学论坛 -- Elinkage极酷超级论坛  `!+$.n
(1) $\displaystyle{B_0 = \lim_{z\to 0}\varphi(z) = 1}$LZG9
$\qquad\because\quad \frac{z}{2} + \frac{z}{e^z -1} = \frac{z}{2}\frac{e^z +1}{e^z -1} = \frac{z}{2}\coth \frac{z}{2}$ 是偶函数,zN^y
$\qquad\therefore\quad\frac{1}{2} + B_1 = B_3 = \cdots B_{2m +1} = 0\,(m\in\mathbb{N}^+)$. 故有 O~m4
(2) $B_1 = -\dfrac{1}{2},\; B_{2m+1} = 0\,(m\in\mathbb{N}^+)$$l,
$\qquad\because\quad\small{\displaystyle{z +\frac{z}{e^z -1} = \frac{z}{e^z -1}e^z}}$pU
$\qquad\therefore\quad\small{\displaystyle{z +\sum_{n=0}^{\infty} B_n \frac{z^n}{n!} = \left(\sum_{k=0}^{\infty}B_k\frac{z^k}{k!}\right)\left(\sum_{m=0}^{\infty}\frac{z^m}{m!} \right) = \sum_{n=0}^{\infty}\left(\sum_{k = 0}^n \frac{B_n}{k!(n-k)!} \right)z^n}}$.c
(3) $\displaystyle{B_n = \sum_{k=0}^n \binom{n}{k}B_k}\;(n > 1)$ 故 $\displaystyle{B_n = \frac{-1}{n+1}\sum_{k=0}^{n-1}\binom{n+1}{k}B_k\;(n > 0)}$)#
$B_2 = -\dfrac{1}{3}(1+3B_1) = \dfrac{1}{6},\;B_4 = -\dfrac{1}{5}(1+5B_1+10B_2 +0) = -\dfrac{1}{30}$=JB


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  等幂和公式~
©Elinkage数学论坛 -- Elinkage极酷超级论坛  =ej
由 2,3 楼 $\small{\displaystyle{S_k(x) = \dfrac{D}{e^D -1}\left(\dfrac{x^{k+1}}{k+1} + c\right) = c + \frac{1}{k+1}\sum_{j=0}^{\infty}\frac{B_j}{j!}D^j(x^{k+1}) } }$xZvt
进而由 $\small{S_k(0) = 0}$ 得$\quad\boxed{\displaystyle{S_k(n) = \frac{1}{k+1}\sum_{j=0}^{k}\binom{k+1}{j}B_j n^{k+1-j}}}$h
已知 $(B_0,B_1,B_2,B_3,B_4) = (1,-1/2,1/6,0,-1/30)$, 可见m
$S_1(n) = \frac{1}{2}(n^2 -n) = \small{\dfrac{(n-1)n}{2}}$L
$S_2(n) = \frac{1}{3}(n^3 -\frac{3}{2}n^2 +\frac{3}{6}n) = \small{\dfrac{(n-1)n(2n-1)}{6}}$B6
$S_3(n) = \frac{1}{4}(n^4 -2n^3 +n^2) = \small{\dfrac{(n-1)^2 n^2}{4}}$Kq{j1
$S_4(n) = \frac{1}{5}(n^5 -\frac{5}{2}n^4 +\frac{5}{3}n^3 -\frac{1}{6}n) = \small{\dfrac{(n-1)n(2n-1)(3n^2 -3n -1)}{30}}$'
$S_5(n) = \frac{1}{6}(n^6 -3n^5 +\frac{15}{6}n^4 -\frac{1}{2}n^2) = \small{\dfrac{(n-1)^2 n^2 (2n^2 -2n -1)}{12}}$}t^4V


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  More about Bernoulli Number to say....[


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