>> 欢迎您,客人登录 按这里注册 忘记密码 在线 搜索 论坛风格  帮助  插件   


>>> 数学分析,奇异积分,几何,代数,微分方程,群与环,数论
Elinkage数学论坛基础数学 [返回] → 浏览:连分数 标记论坛所有内容为已读 

 目前论坛总在线 5 人,本主题共有 1 人浏览。其中注册用户 0 人,访客 1 人。  [关闭详细列表]
发表一个新主题 回复贴子 开启一个新投票 ◆此帖被阅读 4156 次◆  浏览上一篇主题  刷新本主题  树形显示贴子 浏览下一篇主题
 * 贴子主题: 连分数 不分页显示此帖  保存该页为文件  本贴有问题,发送短消息报告给版主  加入个人收藏&关注本贴  显示可打印的版本  把本贴打包邮递  把本贴加入收藏夹  发送本页面给朋友   
 elim 
 头衔: 论坛版主

 

等级: 新手上路
信息: 该用户目前不在线 此人为版主
威望: 0 积分: 0
现金: 112894 雷傲元
存款: 没开户
贷款: 没贷款
来自: 保密 blank
发帖: 1783
精华: 0
资料:  
在线: 806 时 21 分 02 秒
注册: 2010/12/07 06:27am
造访: 2017/12/13 04:13pm
消息 查看 搜索 好友 引用 回复贴子回复 只看我 [楼 主]
  定义:设$\,F\,$是数域,$\,x,a,b,\ldots,c\in F,\,$定义$\,[x]=x,\;$若$\,[b,\ldots,c]\ne 0\,$已定义, Gw?;Q
$\qquad$则定义$\,[a,b,\ldots,c] = a+\frac{1}{\large[b,\ldots,c]},\,$称之为($\small\,a,b,\ldots,c\,$确定的)连分数.a~*p2Z
$\qquad [a_0] = a_0,\quad[a_0,a_1,\ldots,a_n] = a_0 + \frac{1}{[a_1,\ldots,a_n]} =a_0+\frac{1}{\large\overset{\large\ddots}{a_{n-2}}\;+\frac{\overset{\ddots}{\,^{\,}}1}{a_{n-1}\,+\frac{1}{\Large a_{\small n}}}}$$
$\qquad$对数列$\,a_0,\ldots,a_n,\;$定义数对列$\,(p_0,q_0),(p_1,q_1),\ldots,(p_n,q_n)\,$如下:7^#z
$\qquad{\small (p_{-1},q_{-1}),\;(p_{-2},q_{-2})=(1,0),\;(0,1),}$E~#Cb~
$\qquad(p_n,q_n){\small=}a_n(p_{n-1},q_{n-1}){\small+}(p_{n-2},q_{n-2}){\small\,(n\ge 0)}.$8}$|^
©Elinkage数学论坛 -- Elinkage极酷超级论坛  ?8
例:$\,\small(p_0,q_0) = a_0(1,0)+(0,1) = (a_0,1),\;\;(p_1,q_1)=a_1(p_0,q_0)+(1,0)=(a_1a_0+1,a_1)\underset{\,}{.}$vk
$\qquad$黄金分割$\,x=\frac{1}{1+x}=\frac{1}{1+\frac{1}{1+x}}=\cdots=\large\frac{1}{1+\frac{1}{1+\frac{1}{1+\frac{1}{\mathbf\ddots}}}}$@vVgP
$\qquad\; e = [2,1,2,1,1,4,1,1,6,1,1,8,1,1,10,\ldots].$6+k
$\qquad{\large\frac{\pi}{2}}=[1,1,\frac{1}{2},\frac{1}{3},\ldots,\frac{1}{n},\ldots].$V9L*V
©Elinkage数学论坛 -- Elinkage极酷超级论坛  9a\+D"
引理:$\;\begin{pmatrix}p_n& p_{n-1}\\q_n& q_{n-1}\end{pmatrix}=\displaystyle{\prod_{k=0}^n}\begin{pmatrix}a_k& 1\\ 1& 0 \end{pmatrix}.\;\;$若$\,a_k\in\mathbb{Z}\,(\forall k),\,$则$\,\gcd(p_n,q_n)=1.$yC2/
证:由$\,\{(p_m,q_m)\}\,$的定义及归纳法,易见引理的前半部分成立. 故当$\,a_k$n(Oo#G
$\qquad$皆为整数时$\,p_k,q_k\,$亦然$.\;\gcd(p_n,q_n)\,$是$\,\small\begin{vmatrix}p_n& p_{n-1}\\ q_{p}& q_{n-1}\end{vmatrix}=(-1)^{n+1}\,$的因子$.\;\square$f
定理:$\;[a_0,a_1,\ldots,a_n] = \small\dfrac{p_n}{q_n}$TxB
证:易见这对$\,n=0,\,1\,$成立. 设论断对$\,n\ge 1\,$成立,令$\,a'_n = a_n+\frac{1}{a_{n+1}},\;$则"@
$\qquad [a_0,\ldots,a_{n+1}]=[a_0,\ldots,a_{n-1},a'_n]=\frac{(a_n+\frac{1}{a_{n+1}})p_{n-1}+p_{n-2}}{(a_n+\frac{1}{a_{n+1}})q_{n-1}+q_{n-2}}$RSmP1M
$\qquad\large=\frac{a_{n+1}(a_np_{n-1}+p_{n-2})+p_{n-1}}{a_{n+1}(a_n q_{n-1}+q_{n-2})+q_{n-1}}=\frac{a_{n+1}p_n+p_{n-1}}{a_{n+1}q_n+q_{n-1}}=\frac{p_{n+1}}{q_{n+1}}.\quad\square$y|
©Elinkage数学论坛 -- Elinkage极酷超级论坛  JxD25
推论:$(1)\;a_k\in\mathbb{Z}\,$时,若$\,[a_0,\ldots,a_n],\,$有意义,则$\;\frac{\large p_n}{\large q_n}\,$是其既约分数表示.*L
$\underset{\,}{\qquad\quad}(2)\;[a_0,\ldots,a_{k+1}]-[a_0,\ldots,a_k]={\large\frac{p_{k+1}}{q_{k+1}}-\frac{p_k}{q_k}}=\frac{\begin{vmatrix}p_{k+1}& p_k\\ q_{k+1}& q_k\end{vmatrix}}{\large q_k q_{k+1}}=\frac{(-1)^k}{\large q_k q_{k+1}}$D"~8%
©Elinkage数学论坛 -- Elinkage极酷超级论坛  K
注记:$[a,\ldots,b,0,c,\ldots,d]\underset{\,}{=}[a,\ldots,\color{blue}{{\small b+[c,\ldots,d]}}]=[a,\ldots,b+c,\ldots,d].$5Y
$\quad\therefore\quad\,\small[1,0,1,1,2,1,1,4,1,1,6,1,1,8,\ldots]=[2,1,2,1,1,4,1,1,6,1,1,8,\ldots]\;(=e).$Jge



发贴时间2011/01/11 04:15am IP: 已设置保密[本文共2723字节]  
 elim 
 头衔: 论坛版主

 

等级: 新手上路
信息: 该用户目前不在线 此人为版主
威望: 0 积分: 0
现金: 112894 雷傲元
存款: 没开户
贷款: 没贷款
来自: 保密 blank
发帖: 1783
精华: 0
资料:  
在线: 806 时 21 分 02 秒
注册: 2010/12/07 06:27am
造访: 2017/12/13 04:13pm
消息 查看 搜索 好友 引用 回复贴子回复 只看我 [第 2 楼]
  易见对$\,a_k\in\mathbb{N}\;{\small(k=\overline{1,n},\,a_n> 0),}\quad[a_0,a_1,\ldots,a_n]\in\mathbb{Q}^+.$i?R0R&
©Elinkage数学论坛 -- Elinkage极酷超级论坛  DWj!g
注记:设$\,x\in\mathbb{R}^+.\;$令$\,x_0=x,\,a_0=\lfloor x_0\rfloor,\,r_0=x_0-a_0.\,$假定对$\,k\in\mathbb{N}\underset{\,}{,}$j=A`l+
$(x_k,a_k,r_k)\,\small (k=\overline{0,k})\;$已取定, 使得$\,x=[a_0,\ldots,a_k+r_k],\,$若$\,r_k\in(0,1),\underset{\,}{\,}$Y%@{
定义$\,(x_{k+1},a_{k+1},r_{k+1})=(\frac{1}{r_k},\lfloor \frac{1}{r_k}\rfloor,\frac{1}{r_k}-\lfloor \frac{1}{r_k}\rfloor)\,$由此不难看出,NsgO*N
$x\,$确定了唯一的序列$\{a_k\}\subset\mathbb{N}\underset{\,}{\,}$(有限或无限),使下情形之一成立:+
$\quad(1)\;x = [a_0,\ldots,a_n]\underset{\,}{\,}\small(a_k\in\mathbb{N}^+,\,1\le k\le n),$@i
$\quad(2)\;x = [a_0,\ldots,a_{k-1},a_k+r_k]\,\small(\forall k\in\mathbb{N}^+,a_k\in\mathbb{N}^+,\,r_k\in(0,1))\underset{\,}{.}$v>=
©Elinkage数学论坛 -- Elinkage极酷超级论坛  @^
设$\;0\le x_k=\frac{m_{k-1}}{m_k}\in\mathbb{Q}\,\small(\gcd(m_k,m_{k-1})=1),\;$令$\;m_{k+1}=m_k-m_k\lfloor\frac{m_{k-1}}{m_k}\rfloor,${"h
则$\,0< r_k< 1\,$时$\,1\le m_{k+1}< m_k,\,r_k = \frac{m_{k+1}}{m_k},\,x_{k+1}=\frac{m_k}{m_{k+1}}.\;$故必有某hl
$n\in\mathbb{N}\,$使$\,m_n=1,\,x_n=a_n\,$即$\,x=[a_0,\ldots,a_n].$IXU7=c
©Elinkage数学论坛 -- Elinkage极酷超级论坛  xNu
故$\,x\in\mathbb{R}^+\setminus\mathbb{Q}\,$时存在唯一的$\,\{a_k\}\in\mathbb{N}^{\mathbb{N}}\,(a_k\ge 1\,(k>0))\,$使$(2)$成立.Iv
©Elinkage数学论坛 -- Elinkage极酷超级论坛  2Pc"\
当$\,a_k\in\mathbb{N}^+(k\ge 1)\,$时易见$\,q_k\ge F_k\,$(Fibonacci Number),且有3- z
$\frac{p_{k+1}}{q_{k+1}}-\frac{p_k}{q_k}=\frac{(-1)^k}{q_k q_{k+1}},\;\frac{p_{k+2}}{q_{k+2}}-\frac{p_k}{q_k}=\frac{(-1)^ka_{k+2}}{q_k q_{k+2}},\;\therefore\frac{p_{2k}}{q_{2k}}< \frac{p_{2(k+1)}}{q_{2(k+1)}}< \frac{p_{2k+1}}{q_{2k+1}}< \frac{p_{2k-1}}{q_{2k-1}}$xM
注意$\,[a_0,\ldots,a_{2k}+x]\,$增$,\;[a_0,\ldots,2_{2k-1}+x]\,$减$\,(x\ge 0),\,$于是有%Kb~L
$[a_0,\ldots,a_{2k}]<{\small [a_0,\ldots,a_{2k}+r_{2k}]=}x{\small=[a_0,\ldots,a_{2k-1}+r_{2k-1}]}< [a_0,\ldots,a_{2k-1}]$*~
可见$\displaystyle{\;x=\lim_{n\to\infty}[a_0,\ldots,a_n]}=:a_0+\frac{1}{a_1+\frac{1}{\large a_2+\frac{1}{a_2+\frac{1}{\ddots}}}}.$W~
定义 设$\,\{a_k\}\subset\mathbb{N}\,(a_k\ge 1\,(k > 0)),\underset{\,}{\,}$依次称{h($M
$\quad a_0+\frac{1}{\large a_1+\frac{1}{a_2+\frac{1}{\overset{\small\ddots\quad}{\quad\frac{1}{a_n}}}}},\quad \quad a_0+\frac{1}{\large a_1+\frac{1}{\large a_2+\frac{1}{a_3+\frac{1}{\ddots}}}}$ 为(有限)纯连分数, ]J!
及(无尽)纯连分数. 简记为s +
$[a_0,\ldots,a_n] = a_0+\frac{1}{a_1}\fplus\fdots\fplus\frac{1}{a_n},\;$及$\;[a_0,\ldots,a_n,\ldots] = a_0+\frac{1}{a_1}\fplus\frac{1}{a_2}\fplus\fdots.$eA



发贴时间2014/03/13 03:01pm IP: 已设置保密[本文共2523字节]  
 elim 
 头衔: 论坛版主

 

等级: 新手上路
信息: 该用户目前不在线 此人为版主
威望: 0 积分: 0
现金: 112894 雷傲元
存款: 没开户
贷款: 没贷款
来自: 保密 blank
发帖: 1783
精华: 0
资料:  
在线: 806 时 21 分 02 秒
注册: 2010/12/07 06:27am
造访: 2017/12/13 04:13pm
消息 查看 搜索 好友 引用 回复贴子回复 只看我 [第 3 楼]
  注记:设$\,a_k,\,b_k\in(0,\infty)\,(\forall k\in\mathbb{N}^+),\;B_{2n}={\small\displaystyle{\prod_{k=0}^n}} b_{2k},\;B_{2n+1}={\small\displaystyle{\prod_{k=0}^n}} b_{2k+1}$BboC@
若连分数$\quad a_0+\frac{\large b_1}{\large a_1+\frac{b_2}{ a_2+\frac{b_3}{\overset{\ddots}{\;}\,+\overset{\small\cdots\;\;}{\frac{{b_n}}{a_n}}}}}=[a_0,\frac{a_1 B_0}{B_1},\ldots,\frac{a_nB_{n-1}}{B_n}]\quad(\star),\quad$那么gdKU}o
$\;a_0+\frac{\large b_1}{\large a_1+\frac{b_2}{ a_2+\frac{b_3}{\overset{\ddots}{\;}\,+\overset{\small\cdots\;\;}{\frac{{b_n}}{a_n+\frac{b_{n+1}}{a_{n+1}}}}}}}=[a_0,\frac{a_1 B_0}{B_1},\ldots,(a_n+\frac{b_{n+1}}{a_{n+1}})\frac{B_{n-1}}{B_n}]$bV(
$\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\quad\;\;=[a_0,\frac{a_1 B_0}{B_1},\ldots,\frac{a_n B_{n-1}}{B_n},\frac{a_{n+1}B_n}{B_{n+1}}]\underset{\,}{.}$| D%6e
所以$\,(\star)\,$正确(因为$\,n=0\,$时它显然成立)R~]83{
©Elinkage数学论坛 -- Elinkage极酷超级论坛  gSe9
例:$\pi = 3+\frac{1}{6+\frac{9}{6+\frac{25}{6+\frac{49}{6+\cdots}}}}=3+\frac{1}{7+\frac{1}{15+\frac{1}{1+\frac{1}{292+\frac{1}{1+\frac{1}{1+\cdots}}}}}}$~x@
$\qquad\frac{4}{\pi}=1+\frac{1^2}{3+\large\frac{2^2}{5+\frac{3^2}{7+\frac{4^2}{9+\cdots}}}}\quad$实数的一般连分数展开毫无唯一性可言.]
©Elinkage数学论坛 -- Elinkage极酷超级论坛  L
定理:$a_0+\frac{b_1}{\large a_1+\frac{b_2}{a_2+\frac{b_3}{\;^{\overset{\ddots}{\;\;}}\frac{b_n}{a_n}}}}=\frac{p_n}{q_n}.\quad\scriptsize\begin{pmatrix}p_n & p_{n-1}\\ q_n& q_{n-1} \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}p_{n-1} & p_{n-2}\\ q_{n-1} & q_{n-2} \end{pmatrix}\begin{pmatrix}a_n& 1\\ b_n & 0 \end{pmatrix}$"[
$\underset{\,}{\qquad}\quad\small b_0:=1,\;(p_{-1},q_{-1}):=(1,0),\,(p_{-2},q_{-2}):=(0,1)$ l}~BP
证:假定$\,(p_k,q_k)=a_n(p_{k-1},q_{k-1})+b_k(p_{k-2},q_{k-2})\,\small(0\le k\le n),$WwCi
$\qquad$以$\;{\small a_n+}\frac{b_{n+1}}{a_{n+1}}\,$取代$\,a_n,\,$得$\;\frac{p_{n+1}}{q_{n+1}}=\frac{(a_n+\frac{b_{n+1}}{a_{n+1}})p_{n-1}+b_n p_{n+2}}{(a_n+\frac{b_{n+1}}{a_{n+1}})q_{n-1}+b_n q_{n+2}}=\frac{a_{n+1}p_n+b_{n+1}p_{n-1}}{a_{n+1}q_n+b_{n+1}q_{n-1}}$tx
$\qquad$且不难验证公式对$\,k=0\,$成立.$\quad\square$TvK+>B
©Elinkage数学论坛 -- Elinkage极酷超级论坛  f
推论:对一般连分数,$\;\small\begin{pmatrix}p_n & p_{n-1}\\q_n & q_{n-1}\end{pmatrix}=\displaystyle{\prod_{k=0}^n}\begin{pmatrix}a_k & 1\\ b_k & 0\end{pmatrix}$ 于是@=
$\qquad \frac{p_{n+1}}{q_{n+1}}-\frac{p_n}{q_n}=\frac{(-1)^n}{q_n q_{n+1}}{\small\displaystyle{\prod_{k=0}^{n+1}}}b_k$r%cM/!



发贴时间2016/09/22 05:38pm IP: 已设置保密[本文共2340字节]  
 elim 
 头衔: 论坛版主

 

等级: 新手上路
信息: 该用户目前不在线 此人为版主
威望: 0 积分: 0
现金: 112894 雷傲元
存款: 没开户
贷款: 没贷款
来自: 保密 blank
发帖: 1783
精华: 0
资料:  
在线: 806 时 21 分 02 秒
注册: 2010/12/07 06:27am
造访: 2017/12/13 04:13pm
消息 查看 搜索 好友 引用 回复贴子回复 只看我 [第 4 楼]
  $a_k$ 叫作部分商, $c_n = \frac{p_n}{q_n}=[a_0;\cdots,a_n]$ 叫作第$n$个渐近分数(nth convergent);(wl2
©Elinkage数学论坛 -- Elinkage极酷超级论坛  bj%oM^
1934年,Khinchin 证明了一个惊人的结果:实数的(纯)连分数表示的部分商S)
的几何平均几乎都趋于同一个极限(Khinchin 常数 Khinchin constant):$\underset{\,}{\,}$o\l&(
$\qquad\qquad\qquad\qquad\displaystyle{\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{a_1a_2\cdots a_n} = 2.685452001\cdots}$r:(?\
所谓几乎是指除了可数个例外,这对实数成立。现在还不知道 Khinchin RTn^jB
常数是不是无理数,更不知道它是否超越。j[02



发贴时间2017/09/20 07:10am IP: 已设置保密[本文共495字节]  

 该主题只有一页

快速回复主题: 连分数
您目前的身份是: 客人 ,要使用其他用户身份,请输入用户名和密码。未注册客人请输入网名,密码留空。
输入用户名和密码: 用户名: 没有注册? 密码: 忘记密码?
上传附件或图片 (最大容量 10000KB)
目前附件:(如不需要某个附件,只需删除内容中的相应 [UploadFile ...] 标签即可) [删除]
选项

使用 LeoBBS 标签?
显示您的签名?
有回复时使用邮件通知您?

使用字体转换?

    快速引用第 楼层的回复
 顶端 加到"个人收藏夹" 主题管理总固顶 取消总固顶 区固顶 取消区固顶 固顶 取消固顶 提升 沉底
加重 取消加重 精华 取消精华 锁定 解锁 删除 删除回复 移动


© 中文版权所有: 雷傲科技
程序版权所有: 雷傲超级论坛  版本: LeoBBS X Build051231
 

本论坛言论纯属发表者个人意见,与 Elinkage数学论坛 立场无关