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  试构造二正数不增序列 $\{a_n\},\; \{b_n\}$ 使得 $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ 及 $\sum_{n=1}^{\infty} b_n$ 均发散但 $\sum_{n=1}^{\infty} \min(a_n,b_n)$ 收敛。y



发贴时间2010/09/29 01:26pm IP: 已设置保密[本文共177字节]  
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  定义 \[a_n = \left\{\begin{matrix}$-,5
 \frac{1}{((2^k)!)^2},& & (2^k)! \le n < (2^{k+1})!, \; 2 \nmid k, \; k \in \mathbb{N}\\ Zok5
\frac{1}{n^2}, &  & \text{elsewhere}D
\end{matrix}\right.\] \[b_n = \left\{\begin{matrix}$q4
 \frac{1}{((2^k)!)^2},&  & (2^k)! \le n < (2^{k+1})!, \; 2 \mid k, \; k \in \mathbb{N}\\ 9Wf]+a
\frac{1}{n^2}, &  & \text{elsewhere}w7]>*^
\end{matrix}\right.\]Jh3\fj
则二序列皆为正数不增列. 在 $n$ 的一个取值范围 $(2^k)! \le n < (2^{k+1})!$ 中序列有j*a
$(2^{k+1})!-(2^k)! > (2^k+1)^{2^k} (2^k)! > ((2^k)!)^2$ 项 , 其和恒大于$1$,故 $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$, $\sum_{n=1}^{\infty} b_n$ MW{
皆发散。但由定义易见 $\sum_{n=1}^{\infty} \min(a_n, b_n) = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2} < \infty$<cW



发贴时间2010/09/29 02:26pm IP: 已设置保密[本文共792字节]  
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  构造思想 (The idea)MrZ
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