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Elinkage数学论坛基础数学 [返回] → 浏览:[分享]整数平方根的连分数表示 标记论坛所有内容为已读 

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  首先讨论非完全平方数的平方根的一般理论.T
设\(\small\,(n\in\mathbb{N}^+)\wedge(\sqrt{n}\not\in\mathbb{N}),\;F(n)=\{(m,k)\in\mathbb{Z}\times\mathbb{N}:\,k\mid n-m^2\in(0,n)\}\)TR<Ep
令\(\,{\small\lambda(m,k)=}\lfloor\frac{\sqrt{n}+m}{k}\rfloor,\;m_1=k\cdot\lambda(m,k)-m,\,k_1=\large\frac{n-m_1^2}{k}.\;\)则有6**|37
\({\small\sqrt{n}-m_1=}\big(\frac{\sqrt{n}+m}{k}{\small-\lambda(m,k)}\big)k>0,\;\sqrt{n}+m_1>\sqrt{n}-m>0\)Nojv-`
\(\therefore\;k\mid n-m^2+2mk\lambda-(k\lambda)^2=n-m_1^2>0,\;(m_1,k_1)\in F(n)\)1:<&Q
令\(\,\psi:(m,k)\overset{\psi}{\mapsto}(m_1,k_1)\;\;\big(\frac{k}{\sqrt{n}+m}=\frac{k}{k\lambda+\sqrt{n}-m_1}=\frac{1}{\lambda+\large\frac{k_1}{\sqrt{n}+m_1}}\big)\)&L[@
\((m_j,k_j)=\psi^{\langle j\rangle}(m,k),\;\lambda_j=\lambda(m_{j-1},k_{j-1})\;(\psi^{\langle k+1\rangle}=\psi(\psi^{\langle k\rangle}))\)~"[
定义\(\,[a,b]=a+\large\frac{1}{[\,b]},\,\)则有\(\small\,1\le m,\,L\in\mathbb{N}\,\)使\(\small(m_{u+L},k_{u+L})=(m_u,k_u)\)mm4w
\(\,\frac{k}{\sqrt{n}+m}=[0,\lambda_1+\frac{k_1}{\sqrt{n}+m_1}]=[0,\lambda_1,\ldots,\lambda_{u}+\frac{k_u}{\sqrt{n}+m_u}]\);&
\(\qquad\cdots=[0,\lambda_1,\ldots,\lambda_{u},\ldots,\lambda_{u+L}+\frac{k_{u+L}}{\sqrt{n}+m_{u+L}}]\)@+GV
\(\qquad\quad\;=[0,\lambda_1,\ldots,\lambda_{u},\dot{\lambda}_{u+1},\ldots,\dot{\lambda}_{u+L}]\)@TI:
\(\qquad\quad\;=[0,\lambda_1,\ldots,\lambda_{u},\overline{{\lambda}_{u+1},\ldots,\lambda}_{u+L}]\)Y/#w
这是因为\(F(n)\)是有限集.vPz;
取\(\,m,k\in\mathbb{N}\,\)使\(\small\,m^2< n< (m+1)^2,\,k=n-m^2,\,\)则\(\small\,(m,k)\in F(n).\){)*&
可见\(\,\sqrt{n}=[m;\lambda_1,\ldots,\lambda_u,\overline{\lambda_{u+1},\ldots,\lambda}_{u+L}]\,\)是循环连分数.
命题 若\(\,a_i\in\mathbb{N}^+,\;\alpha=[\overline{a_1,\ldots,a}_L]\;\small(L>1)\,\)F!
\(\qquad\)则\(\,\alpha\,\)是整系数二次方程的根.G
证明:此时\(\,\alpha=[a_1,\ldots,a_L+\alpha].\) 当\(\,L=2\,\)时[f
\(\,\alpha=a_1+\large\frac{1}{a_2+\alpha}\;\)即\(\,\alpha^2+(a_2-a_1)\alpha-a_1a_2-1=0\)DJ{
当\(\,L>2\,\)时\(\,\alpha=[a_1,\ldots,a_L+\alpha]=[a_1,\ldots,a_{L-1}+\frac{1}{a_L+\alpha}]\)|r
所以据归纳法原理, 命题对一切\(L>1\)成立.y#b#1@
推论1 循环连分数的值具有一般形式\(\,\frac{u\pm\sqrt{|v|}}{w}\;\small(u,v,w\in\mathbb{Z})\)f]+
推论2 若\(\,k,\,n\in\mathbb{N}^+,\, k>2,\,\sqrt[k]{n}\not\in\mathbb{N},\,\)则\\+i8
\(\qquad\sqrt[k]{n}\,\)的连分数表示是无穷不循环的. 这有点出乎意料.~rWb


发贴时间2020/08/28 11:54am IP: 已设置保密[本文共2361字节]  
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  $\sqrt{2}$ 是 $\displaystyle{x-1=\frac{1}{x+1}}$ 的解,即 $\displaystyle{x -1 = \frac{1}{x+1}=\frac{1}{2+x-1} = \frac{1}{2+\frac{1}{x+1}}}=\cdots$xO
©Elinkage数学论坛 -- Elinkage极酷超级论坛  (CP,
$\displaystyle{\sqrt{2}=1+\frac{1}{2+\frac{1}{2+\frac{1}{2+\frac{1}{2+\cdots}}}}}$s>SN
©Elinkage数学论坛 -- Elinkage极酷超级论坛  Gg"O
$\displaystyle{1,1+\frac{1}{2},1+\frac{1}{2+\frac{1}{2}},1+\frac{1}{2+\frac{1}{2+\frac{1}{2}}},1+\frac{1}{2+\frac{1}{2+\frac{1}{2+\frac{1}{2}}}},1+\frac{1}{2+\frac{1}{2+\frac{1}{2+\frac{1}{2+\frac{1}{2}}}}},\cdots}$<bn
$1,\quad\frac{3}{2},\quad\frac{7}{5},\quad\frac{17}{12},\quad\frac{41}{29},\quad\frac{99}{70},\cdots$ R
©Elinkage数学论坛 -- Elinkage极酷超级论坛  f
$1,\quad 1.5,\quad 1.4, \quad 1. 41\dot{6},\quad 1.\dot{4}13793103448275862068965517\dot{2},\quad 1.4\dot{1}4285\dot{7},\cdots$QR
©Elinkage数学论坛 -- Elinkage极酷超级论坛  ;z|PP!
$\displaystyle{\sqrt{2}=\lim_{n\to\infty}\frac{a_n}{b_n}.\quad\quad \left(a_1=b_1=1,\quad a_{n+1}=a_n+2b_n,\; b_{n+1}=a_n+b_n \right )}$SyP\


发贴时间2011/01/10 11:18am IP: 已设置保密[本文共852字节]  
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  $\sqrt{3}-1=\frac{2}{\sqrt{3}+1}=\frac{2}{2+\sqrt{3}-1}=\frac{2}{2+\frac{2}{2+\sqrt{3}-1}}=\frac{1}{1+\frac{1}{2+\sqrt{3}-1}}$jYgIS]
©Elinkage数学论坛 -- Elinkage极酷超级论坛  j>C2Ki
$\sqrt{3}=1+\frac{1}{1+\frac{2}{2+\sqrt{3}-1}}=1+\frac{1}{1+\frac{2}{2+\frac{1}{1+\frac{1}{2+\sqrt{3}-1}}}}=1+\frac{1}{1+\frac{2}{2+\frac{1}{1+\frac{1}{2+\frac{1}{1+\ddots }}}}}$R
©Elinkage数学论坛 -- Elinkage极酷超级论坛  y@/Y1G
$\sqrt{3}=[1;1,2,1,2,1,2,\cdots]=1.7320508075688772935274463415\cdots$,T"
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$r_0=\sqrt{3},\quad a_0=\lfloor r_0\rfloor =1$2#M
©Elinkage数学论坛 -- Elinkage极酷超级论坛  Fy
$r_1 = \displaystyle{\frac{1}{r_0-a_0}}$$=\frac{1}{\sqrt{3}-1}=\frac{\sqrt{3}+1}{2}= 1.366025403784438646763723\cdots$jti2
©Elinkage数学论坛 -- Elinkage极酷超级论坛  ~W'
$a_1 = \lfloor r_1\rfloor =1$w@B
©Elinkage数学论坛 -- Elinkage极酷超级论坛  &w`
$\displaystyle{r_2 = \frac{1}{r_1-a_1}=\frac{1}{\frac{\sqrt{3}+1}{2}-1}=\sqrt{3}+1}$x
©Elinkage数学论坛 -- Elinkage极酷超级论坛  _%,s
$a_2 = \lfloor r_2\rfloor = \lfloor r_1+1\rfloor = \lfloor r_1\rfloor +1 = 2$\N
©Elinkage数学论坛 -- Elinkage极酷超级论坛  Vcn_gf
$\displaystyle{r_3 = \frac{1}{r_2-a_2}}$$ = \frac{1}{\sqrt{3}-1}=r_1 $%U!
©Elinkage数学论坛 -- Elinkage极酷超级论坛  "t4
$a_3 = \lfloor r_3\rfloor = \lfloor r_1\rfloor = a_1 =1${(G
©Elinkage数学论坛 -- Elinkage极酷超级论坛  f<
$r_4 = \displaystyle{\frac{1}{r_3-a_3}=\frac{1}{r_1-a_1}=r_2}$)
©Elinkage数学论坛 -- Elinkage极酷超级论坛  *Q(
若 $r_m = r_{m-2}\quad (2<m\le k)$ 则 $r_{k+1}=\displaystyle{\frac{1}{r_k-a_k}=\frac{1}{r_{k-2}-a_{k-2}}=r_{k-1}}$/
©Elinkage数学论坛 -- Elinkage极酷超级论坛  Qx4V
故 $r_{n+2} = r_n\quad (n\ge 1)$ 再次说明 $\sqrt{3}=[1;1,2,1,2,1,2,\cdots]$X-5<xL
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于是渐近分数序列$\{c_n\}$为 $\frac{2}{1},\frac{5}{3},\frac{7}{4},\frac{19}{11},\frac{26}{15},\frac{71}{41},\frac{97}{56},\cdots$zav,e
©Elinkage数学论坛 -- Elinkage极酷超级论坛  f0X]];
似乎有 $c_n = \frac{p_n}{q_n},\quad \frac{p_1}{q_1}=a_0+\frac{1}{a_1}=\frac{2}{1}, \quad c_{n+1}=\frac{p_{n+1}}{q_{n+1}}=\frac{p_n + 3 q_n}{p_n +q_n}$F'35v


发贴时间2011/01/11 00:51pm IP: 已设置保密[本文共1455字节]  
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  $\sqrt{5}$>
©Elinkage数学论坛 -- Elinkage极酷超级论坛  ]T
   $\sqrt{5}-2=\frac{1}{\sqrt{5}+2}=\frac{1}{4+(\sqrt{5}-2)}=\frac{1}{4+\frac{1}{4+\sqrt{5}-2}},\quad \sqrt{5}=2+\frac{1}{4+\frac{1}{4+\frac{1}{4+\ddots}}}=[2;4,4,4,\cdots]$*@[L
   $\sqrt{5}=[2;4,4,4,4,\cdots]=[2;\dot{4}]=2.23606797749978969640917366873\cdots$\>
©Elinkage数学论坛 -- Elinkage极酷超级论坛  Ay
   渐近分数序列$\{c_n\}$为 $\frac{9}{4},\frac{38}{17},\frac{161}{72},\frac{682}{305},\frac{2889}{1292},\frac{12238}{5473},\frac{51841}{23184},\cdots$)\/
©Elinkage数学论坛 -- Elinkage极酷超级论坛  n)>}
   似乎有 $c_n = \frac{p_n}{q_n},\quad \frac{p_1}{q_1}=a_0+\frac{1}{a_1}=\frac{9}{4}, \quad c_{n+1}=\frac{p_{n+1}}{q_{n+1}}=\frac{2 p_n + 5 q_n}{p_n +2q_n}$.
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$\sqrt{6}$*{
©Elinkage数学论坛 -- Elinkage极酷超级论坛  x/>Dm
   $\sqrt{6}-2=\frac{2}{2+\sqrt{2}}=\frac{1}{2+\frac{\sqrt{6}-2}{2}}=\frac{1}{2+\frac{1}{\sqrt{6}+2}}=\frac{1}{2+\frac{1}{4+(\sqrt{6}-2)}}$>tTt
©Elinkage数学论坛 -- Elinkage极酷超级论坛  )?
   $\sqrt{6}=[2;2,4,2,4,2,4,\cdots]=[2;\dot{2}\dot{4}]=2.44948974278317809819728407471\cdots $:
©Elinkage数学论坛 -- Elinkage极酷超级论坛  C<l7
   渐近分数序列$\{c_n\}$为 $\frac{5}{2},\frac{22}{9},\frac{49}{20},\frac{128}{89},\frac{485}{198},\frac{2158}{881},\frac{4801}{1960},\cdots$8
©Elinkage数学论坛 -- Elinkage极酷超级论坛  '
   似乎有 $c_n = \frac{p_n}{q_n},\quad \frac{p_1}{q_1}=a_0+\frac{1}{a_1}=\frac{5}{2}, \quad c_{n+1}=\frac{p_{n+1}}{q_{n+1}}=\frac{2 p_n + 6 q_n}{p_n +2q_n}$}X'x
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$\sqrt{7}$s6"
 y
   $\sqrt{7}-2=\frac{1}{1+\frac{\sqrt{7}-1}{3}}=\frac{1}{1+\frac{1}{1+\frac{\sqrt{7}-1}{2}}}=\frac{1}{1+\frac{1}{1+\frac{1}{1+\frac{\sqrt{7}-2}{3}}}}=\frac{1}{1+\frac{1}{1+\frac{1}{1+\frac{1}{\sqrt{7}+2}}}}=\frac{1}{1+\frac{1}{1+\frac{1}{1+\frac{1}{4+(\sqrt{7}-2)}}}}$]0nlU
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   $\sqrt{7}=[2;\dot{1},1,1,\dot{4}]=2.64575131106459059050161575364\cdots$V1r\
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  PLp43


发贴时间2011/01/19 03:31am IP: 已设置保密[本文共1740字节]  

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