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  记 $A_{ij}$ 是行列式的$(i,j)$-代数余子式。_XV}>6
©Elinkage数学论坛 -- Elinkage极酷超级论坛  #1`
 $\displaystyle{(0)\; \begin{vmatrix} 1 & a_1 & b_1\\ 1 & a_2 & b_2\\ 1 & a_3 & b_3\end{vmatrix} ={\small\sum_{i=1}^3} A_{i3}b_i = \small(a_3-a_2)b_1 + (a_1-a_3)b_2 + (a_2 -a_1)b_3}$#"vm]
©Elinkage数学论坛 -- Elinkage极酷超级论坛  ]Ie
 $(1)\; \begin{vmatrix} 1 & a_1 & b_1\\ 1 & a_2 & b_2\\ 1 & a_3 & b_3\end{vmatrix}= \begin{vmatrix} 0 & a_1-a_2 & b_1-b_2\\ 0 & a_2-a_3 & b_2-b_3\\ 1 & a_3 & b_3\end{vmatrix} = \begin{vmatrix} a_1 -a_2 & b_1 -b_2\\ a_2 -a_3 & b_2 -b_3\end{vmatrix} $GhdOaP
©Elinkage数学论坛 -- Elinkage极酷超级论坛  UvsR
 $(2)\; \begin{vmatrix} 1 & a_1 & a_1 b_1\\ 1 & a_2 & a_2 b_2\\ 1 & a_3 & a_3 b_3\end{vmatrix} = \begin{vmatrix} 1 & b_1 & a_2 a_3\\ 1 & b_2 & a_3 a_1\\ 1 & b_3 & a_1 a_2\end{vmatrix}$+k/L+
©Elinkage数学论坛 -- Elinkage极酷超级论坛  ^RaS
 (2): 按第二列展开D|S
$\quad$左边$= (a_3a_1 - a_1a_2)b_1+(a_1a_2 -a_2a_3)b_2+(a_2a_3-a_3a_1)b_3$GORk|
$\qquad\quad =(a_3 -a_2)a_1b_1 +(a_1 -a_3)a_2b_2 +(a_2-a_1)a_3b_3 \;\;\overset{(0)}{=}\;$ 左边D\xX>:



发贴时间2013/12/06 04:06am IP: 已设置保密[本文共924字节]  
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  例如, 由上面的式 (2) 易知IWPQ
©Elinkage数学论坛 -- Elinkage极酷超级论坛  g
$\begin{vmatrix}1 & y_1 & x_2x_3+y_2y_3\\ 1 & y_2 & x_3x_1+y_3y_1\\ 1 & y_3 & x_1x_2+y_1y_2 \end{vmatrix}= \begin{vmatrix}1 & y_1 & x_2x_3\\ 1 & y_2 & x_3x_1\\ 1 & y_3 & x_1x_2\end{vmatrix} + \begin{vmatrix}1 & y_1 & y_2y_3\\ 1 & y_2 & y_3y_1\\ 1 & y_3 & y_1y_2 \end{vmatrix}\;\; $^;b
©Elinkage数学论坛 -- Elinkage极酷超级论坛  #;
    $ \overset{(2)}{=}\;\;\begin{vmatrix}1 & x_1 & x_1y_1\\ 1 & x_2 & x_2y_2\\ 1 & x_3 & x_3y_3 \end{vmatrix} + \begin{vmatrix}1 & y_1 & y_1^2\\ 1 & y_2 & y_2^2 \\ 1 & y_3 & y_3^2 \end{vmatrix}$ARu
©Elinkage数学论坛 -- Elinkage极酷超级论坛  P
最后的等式是对两个行列式运用楼上(2)的结果。PO
这个例子似乎很难直觉地得到。^



发贴时间2013/12/07 11:39pm IP: 已设置保密[本文共620字节]  
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  ©Elinkage数学论坛 -- Elinkage极酷超级论坛  >qN
(3) $\begin{vmatrix}a_1 & 1 &  \cdots & 1 \\ 1 & a_2 &\ddots & \vdots \\ \vdots & \ddots & \ddots & 1 \\ 1 & \cdots & 1 & a_n \end{vmatrix} = \displaystyle{\sum_{k=0}^n \prod_{k\ne j\in\{1,2,\ldots,n\}}(a_j -1)}$7s9>d
©Elinkage数学论坛 -- Elinkage极酷超级论坛  F08QZ
证: 这是楼下的特例$\,(x=1).$]&q8>1



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  (4)$\quad D_{n}=\begin{vmatrix}a_{1}&x  &...&x\\ x&a_{2} &...&x\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ x& x&...&a_{n}\end{vmatrix}$2})
$\qquad\qquad \displaystyle{=(a_1-x)\dotsc (a_n-x) \cdot \small\left(1+\frac{x}{a_1-x}+\dotsc+\frac{x}{a_n-x}\right)}$ _w=K>
$\qquad\qquad\displaystyle{= \sum_{k=0}^n (-1)^{k-1} (k-1)s_{n-k}x^k}$ src 7>7
$\quad s_k:\;k$th elementary symmetric polynomial in $a_1,\cdots,a_n.$x\8go
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证:$\; D_n(x) =\begin{vmatrix}1& 0& 0&\cdots& 0\\x& a_1& x &\cdots & x\\ x& x& a_2 &\cdots & x \\ \vdots &\vdots &\vdots&\ddots&\vdots\\ x& x& x &\cdots& a_n\end{vmatrix}\quad$(作等值$n+1$阶行列式)#z
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$\qquad\qquad=\begin{vmatrix}1& -1& \cdots& -1\\x& a_1-x& \cdots & 0 \\ \vdots& \vdots &\ddots  &\vdots\\ x& 0&\cdots& a_n-x\end{vmatrix}\quad$(各列减去首列),
©Elinkage数学论坛 -- Elinkage极酷超级论坛  *Q
$\qquad\qquad\quad$上式按首行展开,提出公因子$\,\prod (a_i-x)$~@xEN
$\qquad\qquad=\displaystyle{(a_1-x)\dotsc (a_n-x) \cdot \small\left(1+\frac{x}{a_1-x}+\dotsc+\frac{x}{a_n-x}\right)}$-\{!
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$\quad$令 $s_k(E) =\displaystyle{\sum_{\small\underset{\large |J|=k}{J\subset E}}\prod_{m \in J}m}\;(E\,$的元的$k$次初等对称多项式)l
$\quad$则 $\displaystyle{\prod_{k=1}^n(a_k-x) = \sum_{k=0}^n (-1)^{k}s_{n-k}(E)x^k}\;(E=\{a_1,\ldots,a_n\})$f!zB
$\displaystyle{\qquad\frac{x}{a_j-x}\prod_{i=1}^n(a_i-x) = \sum_{k=0}^{n}(-1)^{k-1}s_{n-k}(E-\{a_j\})x^k}$B&
$\quad$故$\displaystyle{\,D_n(x) = \sum_{k=0}^{n}(-1)^{k-1}\big(-s_{n-k}(E)+\sum_{j=1}^n s_{n-k}(E-\{a_j\})\big)x^k}$]1
$\quad$由$\,D_n(x)\,$关于$\,a_j\,$的对称性,$\displaystyle{\;-s_{n-k}(E)+\sum_{j=1}^n s_{n-k}(E-\{a_j\})}$^q}5ct
$\quad = \lambda s_n(E),\;\lambda = -1+\dfrac{n\binom{n-1}{n-k}}{\binom{n}{n-k}} = k-1\;$(上面$\small\,\sum\,$部分,是t
$\quad n\binom{n-1}{n-k}\,$个$n-k$元积的和,构成$\,n\binom{n-1}{n-k}/\binom{n}{n-k} = k\,$个$\,s_{n-k}(E)$)%uD!$1
$\therefore D_n(x)=\displaystyle{\sum_{k=0}^n (-1)^{k-1} (k-1)s_{n-k}\,x^k}.\quad\square$4E<



发贴时间2017/03/19 11:13am IP: 已设置保密[本文共2061字节]  
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  $(5)\quad\begin{vmatrix}x_1+a& x_2& \cdots& x_n\\ x_1& x_2+a&\cdots& x_n\\ \vdots&\vdots& &\vdots\\ x_1& x_2&\cdots& x_n+a \end{vmatrix}=a^n +(x_1+\cdots x_n)a^{n-1}$a1bc
©Elinkage数学论坛 -- Elinkage极酷超级论坛  N=F+<
证:易见$\;D_n = aD_{n-1}+x_n a^{n-1}=\cdots = a^n+(x_1+\cdots+x_n)a^{n-1}.$Sv
©Elinkage数学论坛 -- Elinkage极酷超级论坛  BLew
$\qquad$参见谢邦杰线性代数p51习题3. Where$\,a = -m${7%0w



发贴时间2017/03/22 01:28am IP: 已设置保密[本文共357字节]  
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  $(6)\quad\begin{vmatrix}a_0& 1& 1&\cdots& 1\\ 1& a_1& 0&\cdots& 0\\ 1& 0& a_2&\cdots& 0\\ \vdots&\vdots&\vdots& &\vdots\\ 1& 0& 0&\cdots& a_n\end{vmatrix}=(a_0-1)\displaystyle{\prod_{k=1}^n a_k+(-1)^n\big(1-\sum_{k=1}^n a_k\big)}$tHr#Z
©Elinkage数学论坛 -- Elinkage极酷超级论坛  }E2
证:左边$=\begin{vmatrix}a_0-1& 1& 1&\cdots& 1\\ 0& a_1& 0&\cdots& 0\\ 0& 0& a_2&\cdots& 0\\ \vdots&\vdots&\vdots& &\vdots\\ 0& 0& 0&\cdots& a_n\end{vmatrix}+\begin{vmatrix}1& 1& 1&\cdots& 1\\ 1& a_1& 0&\cdots& 0\\ 1& 0& a_2&\cdots& 0\\ \vdots&\vdots&\vdots& &\vdots\\ 1& 0& 0&\cdots& a_n\end{vmatrix}$lbk
$\qquad\qquad=\displaystyle{(a_0-1)\prod_{k=1}^n a_k}+\begin{vmatrix}a_1-1& -1&\cdots& -1\\ -1& a_2-1&\cdots& -1\\ \vdots&\vdots& &\vdots\\ -1& -1&\cdots& a_n-1\end{vmatrix}=$右边.2<|#
$\qquad\qquad$这里用到了上一个行列式公式.07QreZ



发贴时间2017/03/22 02:09am IP: 已设置保密[本文共822字节]  
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  $(7)\quad\begin{vmatrix}\alpha+\beta& \alpha\beta& 0&\cdots& 0\\ 1&\alpha+\beta&\alpha\beta&\ddots& \vdots\\ 0& 1&\alpha+\beta&\ddots& 0\\ \vdots&\ddots&\ddots&\ddots&\alpha\beta\\ 0&\cdots& 0& 1&\alpha+\beta \end{vmatrix}=\dfrac{\alpha^{n+1}-\beta^{n+1}}{\alpha-\beta}$\qp6
©Elinkage数学论坛 -- Elinkage极酷超级论坛  " DO2
证:按首列展开, 易见$\underset{\,}{\;}D_n = (\alpha+\beta)D_{n-1}-\alpha\beta D_{n-2}\;(n> 2)$=
$\qquad$解特征方程$\;x^2-(\alpha+\beta)x+\alpha\beta=0\;$知$\underset{\,}{\;}D_n = A\alpha^n+B\beta^n$Jrn
$\because\quad D_1=\alpha+\beta,\;D_2 = (\alpha+\beta)^2-\alpha\beta,\quad\therefore\;\,\small(A,B)=\dfrac{(\alpha,\,-\beta)}{\alpha-\beta}.\;\square$p+VTa



发贴时间2017/03/22 03:38am IP: 已设置保密[本文共658字节]  
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  $(8)\quad\begin{vmatrix}2\alpha& \alpha^2& 0&\cdots& 0\\ 1&2\alpha&\alpha^2&\ddots& \vdots\\ 0& 1& 2\alpha&\ddots& 0\\ \vdots&\ddots&\ddots&\ddots&\alpha^2\\ 0&\cdots& 0& 1&2\alpha \end{vmatrix}=(n+1)\alpha^n$(~
©Elinkage数学论坛 -- Elinkage极酷超级论坛  %Jg~
证:在上一个行列式中令$\;\beta\to\alpha\,$即得此式$.\quad\square$an?



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  $(9)\quad\begin{vmatrix}a_0& -1& 0&\cdots& 0& 0\\ a_1& x& -1&\cdots& 0& 0\\ \vdots&\vdots&\vdots& &\vdots&\vdots\\ a_{n-1}& 0& 0&\cdots& x& -1\\ a_{n}& 0& 0&\cdots& 0& x\end{vmatrix}=\displaystyle{\sum_{k=0}^{n} a_k x^{n-k}}$vGwj/<
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证:令$\;f_k(x) = a_0 x^k+a_1x^{k-1}+\cdots+a_k,\underset{\,}{\,}$)
$\qquad$则$\underset{\,}{\,}f_0(x)=a_0,\;\;f_{k+1}(x)=xf_k(x) +a_{k+1}.$qOi^K
$\underset{\,}{\qquad}$从上到下, 将前一行的$\,x\,$倍加于下一行,得等值行列式s=J.
$\qquad\begin{vmatrix}f_0& -1& 0&\cdots& 0\\ f_1& 0& -1&\ddots&\vdots\\ f_2& 0& 0&\ddots& 0\\ \vdots&\vdots&\vdots&\ddots& -1\\ f_n& 0& 0&\cdots& 0\end{vmatrix} = f_n = \displaystyle{\sum_{k=9}^n a_k x^{n-k}}.\quad\square$Y( e{



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  $(10)\quad\begin{vmatrix}1& 1&\cdots& 1\\ 1& 2&\cdots& 2\\\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\1& 2&\cdots& n \end{vmatrix} = 1$e
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$\qquad\qquad\quad\color{gray}{\text{第 }j\text{ 列减去首列 }(j>1)}\underset{\,}{\,}$1P,8}a
证:$\;D_n=\begin{vmatrix}1& 0& 0&\cdots& 0\\ 1& 1& 1&\cdots& 1\\1& 1& 2&\cdots& 2\\\vdots&\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ 1&1& 2&\cdots& n-1 \end{vmatrix}=D_{n-1}\cdots = D_1=1.\quad\square$U{5>(



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