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  ©Elinkage数学论坛 -- Elinkage极酷超级论坛  %}/
1.1 定义|
©Elinkage数学论坛 -- Elinkage极酷超级论坛  s
  球面 $S(\mathbf{c}, r) = \{\mathbf{x} \in\mathbb{R}^3: |\mathbf{x} -\mathbf{c}| = r\}\quad (r> 0,\;\mathbf{c}\in\mathbf{R}^3)$x0}1E
©Elinkage数学论坛 -- Elinkage极酷超级论坛  G`-s1
  s-半径 $\overline{\mathbf{x},\mathbf{c}} = \{(1-\lambda)\mathbf{x} + \lambda \mathbf{c} \mid 0\le \lambda\in \le 1\}\quad (\mathbf{x}\in S(\mathbf{c},r))$#`Fn
©Elinkage数学论坛 -- Elinkage极酷超级论坛  yK=m
  s-直径 $\overline{\mathbf{x},\mathbf{c}} \cup \overline{-\mathbf{x},\mathbf{c}}$Tdm:B
©Elinkage数学论坛 -- Elinkage极酷超级论坛  jZ8M@o
  平面 $\{\mathbf{x}\mid \mathbf{n}\cdot (\mathbf{x} - \mathbf{p}) = 0\}\quad (\mathbf{n}(\ne \mathbf{0}),\mathbf{p}\in\mathbb{R}^3)$t2DZ
按此在新窗口浏览图片CWcb$
平面与球面的(非空)交。&s
©Elinkage数学论坛 -- Elinkage极酷超级论坛  gk)F
大圆 所在平面过球心的圆。b]K*Ew
©Elinkage数学论坛 -- Elinkage极酷超级论坛  y0
小圆 非大圆的圆。$
©Elinkage数学论坛 -- Elinkage极酷超级论坛  =u~
极点对 直径的二端点。25
©Elinkage数学论坛 -- Elinkage极酷超级论坛  gv
1.2 约定 用$\mathbf{S}$表示任意取定的一个球面。ZxfF
©Elinkage数学论坛 -- Elinkage极酷超级论坛  b0
1.3 命题 若$A,(\ne)B\in\mathbf{S}$ 不是极点对,B?p5
  则过$A,\,B$的大圆,以$\overline{AB}$ 为直径的X1U
  小圆皆唯一。ay
©Elinkage数学论坛 -- Elinkage极酷超级论坛  KiJY
s-弧azmBQ`



发贴时间2013/07/24 03:19am IP: 已设置保密[本文共1018字节]  
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  ©Elinkage数学论坛 -- Elinkage极酷超级论坛  1b|)<8
从欧氏几何看球面tm
©Elinkage数学论坛 -- Elinkage极酷超级论坛  M2TqUT
一、平面与球面的位置关系";J]&
$\quad$1. 平面与球面相交. 交线是圆,球心到平面的距离小于球的半径.cv
$\quad$2. 平面与球面相离. 两者不相交, 无交点, 球心到平面的距离大于球的半径.+
$\quad$3. 平面与球面相切. 两者交于唯一点即切点, 球心到平面的距离等于球的半径.3"
©Elinkage数学论坛 -- Elinkage极酷超级论坛  ;C{`D
球面被过球心的平面截得的圆叫大圆,被不经过球心的平面截得的圆叫小圆.}r8
©Elinkage数学论坛 -- Elinkage极酷超级论坛  6
二、直线与球面的位置关系$f(;
$\quad$1. 直线与球面相交. 交于两点,球心到直线(割线)的距离小于球的半径.|^C5B<
$\quad$2. 直线与球面相离. 两者不相交, 无交点, 球心到直线的距离大于球的半径.1Tv;
$\quad$3. 直线与球面相切. 两者交于唯一点即切点, 球心到直线的距离等于球的半径.hK|(x
©Elinkage数学论坛 -- Elinkage极酷超级论坛  3P!IC
过圆外一点$\,P\,$作球面的切线,切点的轨迹是一个圆, 圆心到$\,P\,$的线段与该圆所在G*
平面垂直,$P\,$到该圆各点的距离相等,任一切线是该圆与$\,P\,$确定的圆锥面的母线.)9
©Elinkage数学论坛 -- Elinkage极酷超级论坛  ~z:
©Elinkage数学论坛 -- Elinkage极酷超级论坛  d[}Uh
定理 1 从球面外一点$\,P\,$向球面引割线, 交球面于$\,Q,\,R\,$两点; 又从$\,P\,$任引球面9c
©Elinkage数学论坛 -- Elinkage极酷超级论坛  jc#
$\quad$一切线,设切点为$\,S,\,$ 则 $\quad|PS|^2 = |PQ||PR|.$bjH<L
©Elinkage数学论坛 -- Elinkage极酷超级论坛  4<}V
定理 2 从球外一点$\,P\,$向球面引两条割线,分别与球面交于$\,Q,\,R,\,S,\,T\,$四点,则K
©Elinkage数学论坛 -- Elinkage极酷超级论坛  -66
$\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad |PQ||PR| = |PS||PT|.$,;
©Elinkage数学论坛 -- Elinkage极酷超级论坛  $T
定理 3  若过球内一点$\,P\,$的两条直线,分别与球面交于$\,Q,\,R,\,S,\,T\,$四点,则OMdp.,
©Elinkage数学论坛 -- Elinkage极酷超级论坛  ~hq
$\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad |PQ||PR| = |PS||PT|.$-*&hz}
©Elinkage数学论坛 -- Elinkage极酷超级论坛  484
定理 1~3 统称为球幂定理.#^Ma1@
©Elinkage数学论坛 -- Elinkage极酷超级论坛  ^j\
三、球面的对称性^d)(
©Elinkage数学论坛 -- Elinkage极酷超级论坛  g\=T
$\quad$球面关于球心,直径,大圆对称。I2s8=
©Elinkage数学论坛 -- Elinkage极酷超级论坛  #8.(2
©Elinkage数学论坛 -- Elinkage极酷超级论坛  ")
————————————————————————————————8nt
一海里的原本定义是地球表面$\,1'\,$的球心角所对的弧长.(假定地球呈球形).!jx
©Elinkage数学论坛 -- Elinkage极酷超级论坛  7nTcN7
地球半径约 6371公里,于是 1海里 $\approx 6371\cdot \dfrac{\pi}{180}\dfrac{1}{60}\approx 1.853\,$公里. 'UER8
(现在一般约定 1海里 = 1.852 公里)|]



发贴时间2014/11/24 01:42pm IP: 已设置保密[本文共1733字节]  
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  $\S 2$ 球面上的距离和角er _
©Elinkage数学论坛 -- Elinkage极酷超级论坛  ^Bn=)
2.1 球面上的距离,:X|PG
©Elinkage数学论坛 -- Elinkage极酷超级论坛  2kt1=
2.1.1 定义  过球心的平面与球面的交叫作大圆. 大圆所含的弧叫作大圆弧. \L?D`r
大圆上两点将大圆分成以它们为端点的二弧,较长的叫优弧,较短的叫劣弧. p%
后者的长度叫作所论两点的球面距离. 劣弧是球面上所论两点的最短路径. V5
©Elinkage数学论坛 -- Elinkage极酷超级论坛  I^J$v7
2.2 球面上的角==
©Elinkage数学论坛 -- Elinkage极酷超级论坛  P`
2.2.2 定义 球面角 $\angle {CAB}$ 是二大圆弧$\;\overparen{CA},\;\overparen{AB}\,$ 所构成的球面图形. 其值等于y
$\quad$含$\, \overparen{CA}\,$的平面到含$\,\overparen{AB}\,$的平面的夹角. 易见球面角有几种等价定义, 相应地m+1A?l
$\quad$有不止一种计算方法。B



发贴时间2014/12/05 06:28am IP: 已设置保密[本文共588字节]  
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  設$\;\mathbb{S} = S(\mathbf{0},1),\;\;A,B,C\in\mathbb{S},\;\;\mathbf{a}=\overset{\large\rightharpoonup}{OA},\,\mathbf{b}=\overset{\large\rightharpoonup}{OB},\,\mathbf{c}=\overset{\large\rightharpoonup}{OC},\,$B|
©Elinkage数学论坛 -- Elinkage极酷超级论坛  siru3H
易見 $\mathbf{b\cdot c} = \cos\alpha,\;\mathbf{c\cdot a}=\cos\beta,\;\mathbf{a\cdot b}=\cos\gamma.\quad$其中$\;\alpha,\,\beta,\,\gamma\;$依次是球面$\,\triangle ABC${)!+44
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顶点$\;A,\,B,\,C\;$所对的边(弧)长(亦即相应的球心角弧度值)."/S5
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${\Huge{_\unicode{x25B1}\!\!}}(\mathbf{a},\mathbf{b})\;$的面积是$\;|\mathbf{a}\times\mathbf{b}|=\sin\gamma.$!Z
$\overset{\underset{\frown}{\,}}{\triangle} ABC\,$的内角$\,\sphericalangle A\,$是二面角$\;\angle({\Huge{_\unicode{x25B1}\!\!}}(\mathbf{a},\mathbf{b}),\;{\Huge{_\unicode{x25B1}\!\!}}(\mathbf{a},\mathbf{c}))\;\;(\small{\arccos(有向平面幺向量的内积)})$"SAg
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考虑平行六面体体积$\;\;D = V(\mathbf{a,b,c}).\;$我们有XO
©Elinkage数学论坛 -- Elinkage极酷超级论坛  Ge`dxk
$\;\;D^2 = \begin{vmatrix}\mathbf{a}\cdot\mathbf{a} & \mathbf{b}\cdot\mathbf{a} &\mathbf{c}\cdot\mathbf{a}\\ \mathbf{a}\cdot\mathbf{b} & \mathbf{b}\cdot\mathbf{b} &\mathbf{c}\cdot\mathbf{b}\\\mathbf{a}\cdot\mathbf{c} & \mathbf{b}\cdot\mathbf{c} &\mathbf{c}\cdot\mathbf{c}\end{vmatrix}=\begin{vmatrix} 1& \cos\gamma & \cos\beta\\ \cos\gamma & 1 & \cos\alpha \\ \cos\beta & \cos\alpha & 1\end{vmatrix}$*UAk
©Elinkage数学论坛 -- Elinkage极酷超级论坛  wc[zL
$\qquad = 1+2\cos\alpha\cos\beta\cos\gamma -\cos^2\alpha-\cos^2\beta-\cos^2\gamma$1TAQ!



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