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  ©Elinkage数学论坛 -- Elinkage极酷超级论坛  l+miM
1.1 定义+$q(i"
©Elinkage数学论坛 -- Elinkage极酷超级论坛  9C<
  球面 $S(\mathbf{c}, r) = \{\mathbf{x} \in\mathbb{R}^3: |\mathbf{x} -\mathbf{c}| = r\}\quad (r> 0,\;\mathbf{c}\in\mathbf{R}^3)$E4oc
©Elinkage数学论坛 -- Elinkage极酷超级论坛  e6SA
  s-半径 $\overline{\mathbf{x},\mathbf{c}} = \{(1-\lambda)\mathbf{x} + \lambda \mathbf{c} \mid 0\le \lambda\in \le 1\}\quad (\mathbf{x}\in S(\mathbf{c},r))$5`K?
©Elinkage数学论坛 -- Elinkage极酷超级论坛  -*+MA
  s-直径 $\overline{\mathbf{x},\mathbf{c}} \cup \overline{-\mathbf{x},\mathbf{c}}$,=<o{"
©Elinkage数学论坛 -- Elinkage极酷超级论坛  S
  平面 $\{\mathbf{x}\mid \mathbf{n}\cdot (\mathbf{x} - \mathbf{p}) = 0\}\quad (\mathbf{n}(\ne \mathbf{0}),\mathbf{p}\in\mathbb{R}^3)$Y
按此在新窗口浏览图片FXxV#
平面与球面的(非空)交。vHf|#
©Elinkage数学论坛 -- Elinkage极酷超级论坛  :J
大圆 所在平面过球心的圆。RlXcU
©Elinkage数学论坛 -- Elinkage极酷超级论坛  ;
小圆 非大圆的圆。y2b6L
©Elinkage数学论坛 -- Elinkage极酷超级论坛  au>AXl
极点对 直径的二端点。?
©Elinkage数学论坛 -- Elinkage极酷超级论坛  }/E
1.2 约定 用$\mathbf{S}$表示任意取定的一个球面。,
©Elinkage数学论坛 -- Elinkage极酷超级论坛  7H;w^
1.3 命题 若$A,(\ne)B\in\mathbf{S}$ 不是极点对,hI
  则过$A,\,B$的大圆,以$\overline{AB}$ 为直径的9jAb^r
  小圆皆唯一。m)J
©Elinkage数学论坛 -- Elinkage极酷超级论坛  *poOD8
s-弧A


发贴时间2013/07/24 03:19am IP: 已设置保密[本文共1018字节]  
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  ©Elinkage数学论坛 -- Elinkage极酷超级论坛  m?Y}^
从欧氏几何看球面;{8
©Elinkage数学论坛 -- Elinkage极酷超级论坛  t
一、平面与球面的位置关系Q*.hk
$\quad$1. 平面与球面相交. 交线是圆,球心到平面的距离小于球的半径.q&
$\quad$2. 平面与球面相离. 两者不相交, 无交点, 球心到平面的距离大于球的半径./
$\quad$3. 平面与球面相切. 两者交于唯一点即切点, 球心到平面的距离等于球的半径.L8T>O^
©Elinkage数学论坛 -- Elinkage极酷超级论坛  Y<
球面被过球心的平面截得的圆叫大圆,被不经过球心的平面截得的圆叫小圆.T
©Elinkage数学论坛 -- Elinkage极酷超级论坛  O<%\
二、直线与球面的位置关系9==e<>
$\quad$1. 直线与球面相交. 交于两点,球心到直线(割线)的距离小于球的半径.fC#Yv=
$\quad$2. 直线与球面相离. 两者不相交, 无交点, 球心到直线的距离大于球的半径.%* ^
$\quad$3. 直线与球面相切. 两者交于唯一点即切点, 球心到直线的距离等于球的半径.CgIV5
©Elinkage数学论坛 -- Elinkage极酷超级论坛  w@8<
过圆外一点$\,P\,$作球面的切线,切点的轨迹是一个圆, 圆心到$\,P\,$的线段与该圆所在~o&
平面垂直,$P\,$到该圆各点的距离相等,任一切线是该圆与$\,P\,$确定的圆锥面的母线._5
©Elinkage数学论坛 -- Elinkage极酷超级论坛  ZLqt
©Elinkage数学论坛 -- Elinkage极酷超级论坛  m{ (`
定理 1 从球面外一点$\,P\,$向球面引割线, 交球面于$\,Q,\,R\,$两点; 又从$\,P\,$任引球面V}W,
©Elinkage数学论坛 -- Elinkage极酷超级论坛  3{g
$\quad$一切线,设切点为$\,S,\,$ 则 $\quad|PS|^2 = |PQ||PR|.$aU&F
©Elinkage数学论坛 -- Elinkage极酷超级论坛  JWi^
定理 2 从球外一点$\,P\,$向球面引两条割线,分别与球面交于$\,Q,\,R,\,S,\,T\,$四点,则&8p
©Elinkage数学论坛 -- Elinkage极酷超级论坛  8.B
$\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad |PQ||PR| = |PS||PT|.$;?
©Elinkage数学论坛 -- Elinkage极酷超级论坛  GRb
定理 3  若过球内一点$\,P\,$的两条直线,分别与球面交于$\,Q,\,R,\,S,\,T\,$四点,则|;Cb
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$\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad |PQ||PR| = |PS||PT|.$2*
©Elinkage数学论坛 -- Elinkage极酷超级论坛  '0h
定理 1~3 统称为球幂定理.WLnPA
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三、球面的对称性*>1.u
©Elinkage数学论坛 -- Elinkage极酷超级论坛  FM
$\quad$球面关于球心,直径,大圆对称。i'hpz
©Elinkage数学论坛 -- Elinkage极酷超级论坛  6c;c(
©Elinkage数学论坛 -- Elinkage极酷超级论坛  L
————————————————————————————————lb%_i
一海里的原本定义是地球表面$\,1'\,$的球心角所对的弧长.(假定地球呈球形).(V
©Elinkage数学论坛 -- Elinkage极酷超级论坛  7w
地球半径约 6371公里,于是 1海里 $\approx 6371\cdot \dfrac{\pi}{180}\dfrac{1}{60}\approx 1.853\,$公里. Pj
(现在一般约定 1海里 = 1.852 公里)"+0vkr


发贴时间2014/11/24 01:42pm IP: 已设置保密[本文共1733字节]  
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  $\S 2$ 球面上的距离和角Sf>5F;
©Elinkage数学论坛 -- Elinkage极酷超级论坛  I5W+p
2.1 球面上的距离yKl@fq
©Elinkage数学论坛 -- Elinkage极酷超级论坛  A|@d),
2.1.1 定义  过球心的平面与球面的交叫作大圆. 大圆所含的弧叫作大圆弧. *KS1BV
大圆上两点将大圆分成以它们为端点的二弧,较长的叫优弧,较短的叫劣弧. G? a'
后者的长度叫作所论两点的球面距离. 劣弧是球面上所论两点的最短路径. -X9Z
©Elinkage数学论坛 -- Elinkage极酷超级论坛  T#r
2.2 球面上的角a;0;
©Elinkage数学论坛 -- Elinkage极酷超级论坛  /I\Z
2.2.2 定义 球面角 $\angle {CAB}$ 是二大圆弧$\;\overparen{CA},\;\overparen{AB}\,$ 所构成的球面图形. 其值等于xR-N
$\quad$含$\, \overparen{CA}\,$的平面到含$\,\overparen{AB}\,$的平面的夹角. 易见球面角有几种等价定义, 相应地k
$\quad$有不止一种计算方法。S


发贴时间2014/12/05 06:28am IP: 已设置保密[本文共588字节]  
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  設$\;\mathbb{S} = S(\mathbf{0},1),\;\;A,B,C\in\mathbb{S},\;\;\mathbf{a}=\overset{\large\rightharpoonup}{OA},\,\mathbf{b}=\overset{\large\rightharpoonup}{OB},\,\mathbf{c}=\overset{\large\rightharpoonup}{OC},\,${
©Elinkage数学论坛 -- Elinkage极酷超级论坛  DNh9
易見 $\mathbf{b\cdot c} = \cos\alpha,\;\mathbf{c\cdot a}=\cos\beta,\;\mathbf{a\cdot b}=\cos\gamma.\quad$其中$\;\alpha,\,\beta,\,\gamma\;$依次是球面$\,\triangle ABC$.A5\;B
©Elinkage数学论坛 -- Elinkage极酷超级论坛  )4j6
顶点$\;A,\,B,\,C\;$所对的边(弧)长(亦即相应的球心角弧度值)._
©Elinkage数学论坛 -- Elinkage极酷超级论坛  [fRc
${\Huge{_\unicode{x25B1}\!\!}}(\mathbf{a},\mathbf{b})\;$的面积是$\;|\mathbf{a}\times\mathbf{b}|=\sin\gamma.$9+
$\overset{\underset{\frown}{\,}}{\triangle} ABC\,$的内角$\,\sphericalangle A\,$是二面角$\;\angle({\Huge{_\unicode{x25B1}\!\!}}(\mathbf{a},\mathbf{b}),\;{\Huge{_\unicode{x25B1}\!\!}}(\mathbf{a},\mathbf{c}))\;\;(\small{\arccos(有向平面幺向量的内积)})$ v>U;
©Elinkage数学论坛 -- Elinkage极酷超级论坛  ZXF(*
考虑平行六面体体积$\;\;D = V(\mathbf{a,b,c}).\;$我们有J
©Elinkage数学论坛 -- Elinkage极酷超级论坛  z
$\;\;D^2 = \begin{vmatrix}\mathbf{a}\cdot\mathbf{a} & \mathbf{b}\cdot\mathbf{a} &\mathbf{c}\cdot\mathbf{a}\\ \mathbf{a}\cdot\mathbf{b} & \mathbf{b}\cdot\mathbf{b} &\mathbf{c}\cdot\mathbf{b}\\\mathbf{a}\cdot\mathbf{c} & \mathbf{b}\cdot\mathbf{c} &\mathbf{c}\cdot\mathbf{c}\end{vmatrix}=\begin{vmatrix} 1& \cos\gamma & \cos\beta\\ \cos\gamma & 1 & \cos\alpha \\ \cos\beta & \cos\alpha & 1\end{vmatrix}$$%!
©Elinkage数学论坛 -- Elinkage极酷超级论坛  Y+2
$\qquad = 1+2\cos\alpha\cos\beta\cos\gamma -\cos^2\alpha-\cos^2\beta-\cos^2\gamma$X


发贴时间2016/07/20 06:16am IP: 已设置保密[本文共1421字节]  

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