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  ©Elinkage数学论坛 -- Elinkage极酷超级论坛  1!|1R
1.1 定义9>
©Elinkage数学论坛 -- Elinkage极酷超级论坛  cD4:
  球面 $S(\mathbf{c}, r) = \{\mathbf{x} \in\mathbb{R}^3: |\mathbf{x} -\mathbf{c}| = r\}\quad (r> 0,\;\mathbf{c}\in\mathbf{R}^3)$Z675
©Elinkage数学论坛 -- Elinkage极酷超级论坛  ";qGU
  s-半径 $\overline{\mathbf{x},\mathbf{c}} = \{(1-\lambda)\mathbf{x} + \lambda \mathbf{c} \mid 0\le \lambda\in \le 1\}\quad (\mathbf{x}\in S(\mathbf{c},r))$gi|
©Elinkage数学论坛 -- Elinkage极酷超级论坛  ~*{.td
  s-直径 $\overline{\mathbf{x},\mathbf{c}} \cup \overline{-\mathbf{x},\mathbf{c}}$Gx%C
©Elinkage数学论坛 -- Elinkage极酷超级论坛  z?l)s
  平面 $\{\mathbf{x}\mid \mathbf{n}\cdot (\mathbf{x} - \mathbf{p}) = 0\}\quad (\mathbf{n}(\ne \mathbf{0}),\mathbf{p}\in\mathbb{R}^3)$<#c
按此在新窗口浏览图片,:"
平面与球面的(非空)交。j!{
©Elinkage数学论坛 -- Elinkage极酷超级论坛  DWd-
大圆 所在平面过球心的圆。 Uh=>I
©Elinkage数学论坛 -- Elinkage极酷超级论坛  7(0~,z
小圆 非大圆的圆。[0
©Elinkage数学论坛 -- Elinkage极酷超级论坛  \Zbd=
极点对 直径的二端点。i8r06
©Elinkage数学论坛 -- Elinkage极酷超级论坛  w=e
1.2 约定 用$\mathbf{S}$表示任意取定的一个球面。U`c d}
©Elinkage数学论坛 -- Elinkage极酷超级论坛  m
1.3 命题 若$A,(\ne)B\in\mathbf{S}$ 不是极点对,vr
  则过$A,\,B$的大圆,以$\overline{AB}$ 为直径的9
  小圆皆唯一。1NPxk^
©Elinkage数学论坛 -- Elinkage极酷超级论坛  !FaqX7
s-弧gM



发贴时间2013/07/24 03:19am IP: 已设置保密[本文共1018字节]  
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  ©Elinkage数学论坛 -- Elinkage极酷超级论坛  @B?Oh+
从欧氏几何看球面?%-tm
©Elinkage数学论坛 -- Elinkage极酷超级论坛  S=?
一、平面与球面的位置关系hE]\5
$\quad$1. 平面与球面相交. 交线是圆,球心到平面的距离小于球的半径.3|0@?x
$\quad$2. 平面与球面相离. 两者不相交, 无交点, 球心到平面的距离大于球的半径.;sD>r
$\quad$3. 平面与球面相切. 两者交于唯一点即切点, 球心到平面的距离等于球的半径.IEw
©Elinkage数学论坛 -- Elinkage极酷超级论坛  ~G"{
球面被过球心的平面截得的圆叫大圆,被不经过球心的平面截得的圆叫小圆.E
©Elinkage数学论坛 -- Elinkage极酷超级论坛  9
二、直线与球面的位置关系b<^i
$\quad$1. 直线与球面相交. 交于两点,球心到直线(割线)的距离小于球的半径.XCl
$\quad$2. 直线与球面相离. 两者不相交, 无交点, 球心到直线的距离大于球的半径..PEl0T
$\quad$3. 直线与球面相切. 两者交于唯一点即切点, 球心到直线的距离等于球的半径.edV
©Elinkage数学论坛 -- Elinkage极酷超级论坛  dGl
过圆外一点$\,P\,$作球面的切线,切点的轨迹是一个圆, 圆心到$\,P\,$的线段与该圆所在faI.Lm
平面垂直,$P\,$到该圆各点的距离相等,任一切线是该圆与$\,P\,$确定的圆锥面的母线.TT
©Elinkage数学论坛 -- Elinkage极酷超级论坛  @a
©Elinkage数学论坛 -- Elinkage极酷超级论坛  FevE"
定理 1 从球面外一点$\,P\,$向球面引割线, 交球面于$\,Q,\,R\,$两点; 又从$\,P\,$任引球面<
©Elinkage数学论坛 -- Elinkage极酷超级论坛  @W
$\quad$一切线,设切点为$\,S,\,$ 则 $\quad|PS|^2 = |PQ||PR|.$gY{N_c
©Elinkage数学论坛 -- Elinkage极酷超级论坛  n^SO
定理 2 从球外一点$\,P\,$向球面引两条割线,分别与球面交于$\,Q,\,R,\,S,\,T\,$四点,则lG@yK
©Elinkage数学论坛 -- Elinkage极酷超级论坛  R|2
$\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad |PQ||PR| = |PS||PT|.$#B:2n
©Elinkage数学论坛 -- Elinkage极酷超级论坛  i
定理 3  若过球内一点$\,P\,$的两条直线,分别与球面交于$\,Q,\,R,\,S,\,T\,$四点,则~M
©Elinkage数学论坛 -- Elinkage极酷超级论坛  s05)
$\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad |PQ||PR| = |PS||PT|.$5XQ
©Elinkage数学论坛 -- Elinkage极酷超级论坛  >ql%
定理 1~3 统称为球幂定理.J
©Elinkage数学论坛 -- Elinkage极酷超级论坛  f~B^b
三、球面的对称性kLV`(6
©Elinkage数学论坛 -- Elinkage极酷超级论坛  >vbj
$\quad$球面关于球心,直径,大圆对称。ia)
©Elinkage数学论坛 -- Elinkage极酷超级论坛  unB
©Elinkage数学论坛 -- Elinkage极酷超级论坛  P_c]M{
————————————————————————————————<K
一海里的原本定义是地球表面$\,1'\,$的球心角所对的弧长.(假定地球呈球形).:R
©Elinkage数学论坛 -- Elinkage极酷超级论坛  Ln%
地球半径约 6371公里,于是 1海里 $\approx 6371\cdot \dfrac{\pi}{180}\dfrac{1}{60}\approx 1.853\,$公里. :
(现在一般约定 1海里 = 1.852 公里)9xe6_*



发贴时间2014/11/24 01:42pm IP: 已设置保密[本文共1733字节]  
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  $\S 2$ 球面上的距离和角BPn
©Elinkage数学论坛 -- Elinkage极酷超级论坛  OL"H4r
2.1 球面上的距离7:3
©Elinkage数学论坛 -- Elinkage极酷超级论坛  =}
2.1.1 定义  过球心的平面与球面的交叫作大圆. 大圆所含的弧叫作大圆弧. +Fhf
大圆上两点将大圆分成以它们为端点的二弧,较长的叫优弧,较短的叫劣弧. 6r=BJ
后者的长度叫作所论两点的球面距离. 劣弧是球面上所论两点的最短路径. GbM(Rg
©Elinkage数学论坛 -- Elinkage极酷超级论坛  d&</=y
2.2 球面上的角~|0k
©Elinkage数学论坛 -- Elinkage极酷超级论坛  }?cE",
2.2.2 定义 球面角 $\angle {CAB}$ 是二大圆弧$\;\overparen{CA},\;\overparen{AB}\,$ 所构成的球面图形. 其值等于+|
$\quad$含$\, \overparen{CA}\,$的平面到含$\,\overparen{AB}\,$的平面的夹角. 易见球面角有几种等价定义, 相应地z}q>4G
$\quad$有不止一种计算方法。&3f



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  設$\;\mathbb{S} = S(\mathbf{0},1),\;\;A,B,C\in\mathbb{S},\;\;\mathbf{a}=\overset{\large\rightharpoonup}{OA},\,\mathbf{b}=\overset{\large\rightharpoonup}{OB},\,\mathbf{c}=\overset{\large\rightharpoonup}{OC},\,$e=kPl
©Elinkage数学论坛 -- Elinkage极酷超级论坛  xJ
易見 $\mathbf{b\cdot c} = \cos\alpha,\;\mathbf{c\cdot a}=\cos\beta,\;\mathbf{a\cdot b}=\cos\gamma.\quad$其中$\;\alpha,\,\beta,\,\gamma\;$依次是球面$\,\triangle ABC$V
©Elinkage数学论坛 -- Elinkage极酷超级论坛  ^[(qcA
顶点$\;A,\,B,\,C\;$所对的边(弧)长(亦即相应的球心角弧度值).<
©Elinkage数学论坛 -- Elinkage极酷超级论坛  0^4Go
${\Huge{_\unicode{x25B1}\!\!}}(\mathbf{a},\mathbf{b})\;$的面积是$\;|\mathbf{a}\times\mathbf{b}|=\sin\gamma.$h
$\overset{\underset{\frown}{\,}}{\triangle} ABC\,$的内角$\,\sphericalangle A\,$是二面角$\;\angle({\Huge{_\unicode{x25B1}\!\!}}(\mathbf{a},\mathbf{b}),\;{\Huge{_\unicode{x25B1}\!\!}}(\mathbf{a},\mathbf{c}))\;\;(\small{\arccos(有向平面幺向量的内积)})$G
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考虑平行六面体体积$\;\;D = V(\mathbf{a,b,c}).\;$我们有T
©Elinkage数学论坛 -- Elinkage极酷超级论坛  dy}5FR
$\;\;D^2 = \begin{vmatrix}\mathbf{a}\cdot\mathbf{a} & \mathbf{b}\cdot\mathbf{a} &\mathbf{c}\cdot\mathbf{a}\\ \mathbf{a}\cdot\mathbf{b} & \mathbf{b}\cdot\mathbf{b} &\mathbf{c}\cdot\mathbf{b}\\\mathbf{a}\cdot\mathbf{c} & \mathbf{b}\cdot\mathbf{c} &\mathbf{c}\cdot\mathbf{c}\end{vmatrix}=\begin{vmatrix} 1& \cos\gamma & \cos\beta\\ \cos\gamma & 1 & \cos\alpha \\ \cos\beta & \cos\alpha & 1\end{vmatrix}$PJ0
©Elinkage数学论坛 -- Elinkage极酷超级论坛  ][Ab6
$\qquad = 1+2\cos\alpha\cos\beta\cos\gamma -\cos^2\alpha-\cos^2\beta-\cos^2\gamma$8B=kHJ



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