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  ©Elinkage数学论坛 -- Elinkage极酷超级论坛  2H
Could you prove this theorem?wy
The proof given in the textbook is a mess.U=<r@
If\(\sum_{i=1}^{\infty}\sum_{j=1}^{\infty}|a_{ij}|\) converges, I can prove that \(\sum_{i=1}^{\infty}\sum_{j=1}^{\infty}a_{ij}\) converges by a triangle inequality. But how to prove the iterated form \(\sum_{j=1}^{\infty}\sum_{i=1}^{\infty}a_{ij}\) is also convergent and converges to the same limit is a riddle.Q|AZD
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发贴时间2010/09/28 04:39am IP: 已设置保密[本文共468字节]  
 elim 
 头衔: 论坛版主

 

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消息 查看 搜索 好友 引用 回复贴子回复 只看我 [第 2 楼]
  ©Elinkage数学论坛 -- Elinkage极酷超级论坛  |=Sf
Since $\displaystyle{\sum_{i=1}^{\infty}\sum_{j=1}^{\infty}|a_{ij}|}$ converges, $\displaystyle{\sum_{i=1}^{\infty}\sum_{j=1}^{\infty}a_{ij}}$ converges to some $s \in \mathbb{R}$F
(I assume that we know why and are ready to understand the following)P\
so for any given $\epsilon > 0$, there is an $N_2$ such that $\displaystyle{|\sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^{\infty}a_{ij} - s| < \epsilon /4}$z
whenever $n>N_2$; ans so there is an $N_1$ such that $\displaystyle{|\sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^m a_{ij} - s| < \epsilon /2}$, b]ONP
whenever $m>N_1$ and $n>N_2$. (I ommitted some details here) HenceG`:>"e
$\displaystyle{|\sum_{j=1}^m \sum_{i=1}^n  a_{ij} - s| =|\sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^m a_{ij} - s| <\epsilon/2}$, $\forall m,n > N_{\epsilon} = \max(N_1,N_2)$Nk6$'
Now we see that $s_{n,n} = \displaystyle{\sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n a_{ij} \to s, \; (n \to \infty)}$. Moreover, For each fixed $j$, dW*W
$\displaystyle{|\sum_{i=m}^n  a_{ij}| \le \sum_{i=m}^n  |a_{ij}| \le \sum_{i=1}^{\infty}\sum_{j=1}^{\infty}|a_{ij}| < \infty}$, so $\displaystyle{\sum_{i=m}^n  a_{ij}}$ is absolutely convergent.zT\
Let $n \to \infty$ in the inequality $\displaystyle{s-\epsilon/2 < \sum_{j=1}^m \sum_{i=1}^n  a_{ij}< s+\epsilon/2}$, we getR?Ak++
$\displaystyle{s-\epsilon/2 \le \sum_{j=1}^m \sum_{i=1}^{\infty}  a_{ij}\le s+\epsilon/2}$ or $\displaystyle{|\sum_{j=1}^m \sum_{i=1}^{\infty}  a_{ij} -s| < \epsilon}$ whenever $m > N_{\epsilon}$, 0z}EC7
this means $\displaystyle{\sum_{j=1}^{\infty}\sum_{i=1}^{\infty} a_{ij} =s}$7Xp
©Elinkage数学论坛 -- Elinkage极酷超级论坛  I[@Hx4
©Elinkage数学论坛 -- Elinkage极酷超级论坛  W
-=-=-=- 以下内容由 elim2010年09月29日 09:02pm 时添加 -=-=-=->I )
use \displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty} \cdots} to get summation sign like this:j\
$\displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty} \cdots}$J



发贴时间2010/09/29 02:00pm IP: 已设置保密[本文共1810字节]  

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