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$\S 1.1$ 群的概念E
1.1.1 定义 称集$\small\,G(\ne\varnothing)$关于$\small\,\odot:G\times G\to G$ 成一群，如果97A
$(1)\;\odot\,$满足结合律：$a\odot(b\odot c)=(a\odot b)\odot c\;(\forall a,b,c\in G)$I
$(2)\;\odot\,$有单位元：$\;\;\;\exists e\in G\,\forall a\in G\;(e\odot a=a\odot e)$-|}C
$(3)\;\odot\,$双向可逆：$\;\;\;\forall a\in G\, \exists a' \in G\; (a\odot a'=a'\odot a=e)$FOQq)
若不致误解,常用$ab$表示$a\odot b,\,$称$\odot$为乘法,并记逆元$a'$为$a^{-1}.$aDQ{%
单位元$\,e\,$为$\,1\,$，简称$\,G\,$为群 $(G,\odot)\underset{\,}{\,}.$V
$\odot$满足交换律时称$G$为Abel群,常称$\odot$加法$+$,用$\underset{\,}{\,}0,\,-a\,$表示$\,e,\,a^{-1}.$7I&w
1.1.2 定义 若群$G$的非空子集$H$关于群$G$的运算自成为群,则fbQ
$\quad$称$\small H$为$\small G$的子群,记作$\small H\le G.$ 6S{4d
$\quad\small(H\le G)\iff(\forall a,b \in H\; (ab^{-1}\in H))$9UQ
形如$\,\langle a \rangle=\{a^k\mid k\in\mathbb{Z}\}\small\;(a\in G)\,$的群叫作循环群。$a\,$为其生成元.IJufF
基数$|G|$叫作群$G$的阶,$\,|G|\in\mathbb{N}\,$时称$\,G\,$为有限群,否则$G$为无限群。%
元素$\,a\in G\,$的阶定义为$\underset{\,}{\,}o(a)=|\langle a \rangle|$ K
定义$\,A,\,B\in 2^G-\{\varnothing\}\,$的积为$\,AB=\{ab\mid (a\in A) \wedge (b\in B)\}$Fv
$\qquad$易见这个运算满足结合律。^#
简记$\small\,\{a\}B\,$为$\,aB.\,$类似地定义$Ab\;(A\subset G \ni b)$。=Zxr.H
称$G\,(\supset H)$的形如$\,xH\;(Hx)\underset{\,}{\,}$的子集为$H$的左(右)陪集。J+*
1.1.3 定理 若 $A,\,B\leqslant G$ 则$(AB \leqslant G)\Longleftrightarrow(AB=BA)\underset{\,}{\,}$7f~&
1.1.4 定理 若$H\leqslant G$ 则2-S'K
$\quad(1)\;\;\forall x,y\in G\; (xH \ne yH)\implies (xH \cap yH = \varnothing)$W7?
$\quad(2)\;\;x \sim_{H_L} y \Leftrightarrow x^{-1}y\small\in H\,$是$\small G$中的等价关系$,{\small\;G=}\bigcup G/\sim_{H_L}$])0c&o
$\quad(3)\;\;{\small|G|= |H||G/}\sim_{\small H_L}\hspace{-4px}|\;$当$\small G$为有限群时这就是Lagrange定理。5X
$\quad$将左陪集换成右陪集,$\,x^{\small-1}y\,$换成$\,xy^{\small-1},\,\sim_{\small H_L}$换成$\sim_{\small H_R}$定理仍真.,
$\quad\small G/\sim_{H_L},\;G/\sim_{H_R}$ 有相同的基数,叫$\small H$在$\small G$中的指数,记作$\small|G:H|\underset{\,}{.}$23efo.
1.1.5 定义 对$\,a,b\small\in G\,$若有$\,x\small\in G\,$使$\,b=xax^{-1},\,$则称$a$与$b$共轭,llV&5;
$\quad$记作$a\sim b$。共轭关系$\sim$是一个等价关系.记$\small G/\sim$中含$a\small(\in G)$的'Pm)
$\quad$元为$S_a\underset{\,}{.}$3
1.1.6 定义 若$\small\;(N \leqslant G)\wedge(\forall a\in G\;(aN = Na)),\,$则称$\small\,N\,$为$\small\,G\,$的不'`
$\quad$变(正规)子群.记作$\small\,N\trianglelefteq G.$1u
$\quad$若又有$\small\,\{e\}\ne N \ne G,\,$则$N$为非平凡正规子群$\small(N\vartriangleleft G).\underset{\,}{\,}$5\
1.1.7 定理$\small\,N\trianglelefteq G \iff(\forall a\in G\,\forall n\in N\;(ana^{-1}\in N))$Q##i
$\quad\small\iff(a\in N\Rightarrow S_a\subset N)\iff(\forall a\in G\;(aNa^{-1} = N))\underset{\,}{\,}$pjbB#
1.1.8 定义 不含非平凡正规子群的群叫作单(纯)群。Ek1*x]
$\underset{\,}{\quad}$显然阶为素数的群都是单群。&;
1.1.9 定理 可换群为单群的充要条件是其阶为1或素数$\underset{\,}{.}$'B$H
1.1.10 定义 令$\small\,C(a) = \{x\in G \mid xa = ax\},\; C(G) = \bigcap_{a\in G}C(a)$%Cy
$\quad$称$\small\,C(a)$为$a$关于$\small\,G\,$的中心化子$\small,\,C(G)$为$G$的中心.不难看出它4*5O<&
$\quad$们都是$\underset{\,}{\small G}$的子群。AxS0
1.1.11 定理 $|S_a| = |G: C(a)|$k*ua0a
证 定义 $f:{\small S_a \to G}/\sim_{\small H_L}$为$\,xax^{-1}\mapsto x\small C(a).\;\;f\,$无歧义,因为%!
$\quad\;xax^{-1} = yay^{-1}\iff(y^{-1}x)a = a(y^{-1}x)$x;v(E^
$\quad\iff y^{-1}x \in C(a)\iff x\,C(a) = y\,C(a).$rtRP8E
因$S_a = \{xax^{-1}\mid x\in G\}$, 故$f$是双射从而y
$\quad\small\;|S_a|=|G/\sim_{H_L}| = |G: C(a)|.\underset{\,}{\;}\square$Hlp
1.1.12 推论 若$\small G$是有限群，则$\small\,|G|/|S_a|\in\mathbb{N}\;(\forall a\in G)$#$
易见$\small\,C(G)=\{a\in G\mid |S_a|=1\}.\,$设$\small\,G\setminus C(G)= \bigcup_{j=1}^r S_j$是不交并，%`+
其中$S_j \in G/\sim$是元数大于$1$的共轭类，则 $|G| = |C(G)|+\sum_{j=1}^r |S_j|.\quad\; (1)$V#%w_
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1.1.13 定义 若$p$是素数，$m\in\mathbb{N}^+,\; |G| = p^m$，则称$G$为$p-$群。KE4
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1.1.14 定理 设$G$是$p-$群，则(由(1)式知道) $|C(G)| > 1.\quad\square$]DH
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2013/04/16 10:14am 
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