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  伽罗华理论基础$\underset{\,}{\,}$j^\pI<
第一章 群论的初步知识!S
$\qquad$$\S 1.1 群的基本概念$<+nNp;
$\qquad$$\S 1.2 置换群$c_
$\qquad$$\S 1.3 同态和同构定理$+


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  $\S 1.1$ 群的概念E
1.1.1 定义 称集$\small\,G(\ne\varnothing)$关于$\small\,\odot:G\times G\to G$ 成一群,如果97A
$(1)\;\odot\,$满足结合律:$a\odot(b\odot c)=(a\odot b)\odot c\;(\forall a,b,c\in G)$I
$(2)\;\odot\,$有单位元:$\;\;\;\exists e\in G\,\forall a\in G\;(e\odot a=a\odot e)$-|}C
$(3)\;\odot\,$双向可逆:$\;\;\;\forall a\in G\, \exists a' \in G\; (a\odot a'=a'\odot a=e)$FOQq)
若不致误解,常用$ab$表示$a\odot b,\,$称$\odot$为乘法,并记逆元$a'$为$a^{-1}.$aDQ{%
单位元$\,e\,$为$\,1\,$,简称$\,G\,$为群 $(G,\odot)\underset{\,}{\,}.$V
$\odot$满足交换律时称$G$为Abel群,常称$\odot$加法$+$,用$\underset{\,}{\,}0,\,-a\,$表示$\,e,\,a^{-1}.$7I&w
1.1.2 定义 若群$G$的非空子集$H$关于群$G$的运算自成为群,则fbQ
$\quad$称$\small H$为$\small G$的子群,记作$\small H\le G.$ 6S{4d
$\quad\small(H\le G)\iff(\forall a,b \in H\; (ab^{-1}\in H))$9UQ
形如$\,\langle a \rangle=\{a^k\mid k\in\mathbb{Z}\}\small\;(a\in G)\,$的群叫作循环群。$a\,$为其生成元.IJufF
基数$|G|$叫作群$G$的阶,$\,|G|\in\mathbb{N}\,$时称$\,G\,$为有限群,否则$G$为无限群。%
元素$\,a\in G\,$的阶定义为$\underset{\,}{\,}o(a)=|\langle a \rangle|$ K
定义$\,A,\,B\in 2^G-\{\varnothing\}\,$的积为$\,AB=\{ab\mid (a\in A) \wedge (b\in B)\}$Fv
$\qquad$易见这个运算满足结合律。^#
简记$\small\,\{a\}B\,$为$\,aB.\,$类似地定义$Ab\;(A\subset G \ni b)$。=Zxr.H
称$G\,(\supset H)$的形如$\,xH\;(Hx)\underset{\,}{\,}$的子集为$H$的左(右)陪集。J+*
1.1.3 定理 若 $A,\,B\leqslant G$ 则$(AB \leqslant G)\Longleftrightarrow(AB=BA)\underset{\,}{\,}$7f~&
1.1.4 定理 若$H\leqslant G$ 则2-S'K
$\quad(1)\;\;\forall x,y\in G\; (xH \ne yH)\implies (xH \cap yH = \varnothing)$W7?
$\quad(2)\;\;x \sim_{H_L} y \Leftrightarrow x^{-1}y\small\in H\,$是$\small G$中的等价关系$,{\small\;G=}\bigcup G/\sim_{H_L}$])0c&o
$\quad(3)\;\;{\small|G|= |H||G/}\sim_{\small H_L}\hspace{-4px}|\;$当$\small G$为有限群时这就是Lagrange定理。5X
$\quad$将左陪集换成右陪集,$\,x^{\small-1}y\,$换成$\,xy^{\small-1},\,\sim_{\small H_L}$换成$\sim_{\small H_R}$定理仍真.,
$\quad\small G/\sim_{H_L},\;G/\sim_{H_R}$ 有相同的基数,叫$\small H$在$\small G$中的指数,记作$\small|G:H|\underset{\,}{.}$23efo.
1.1.5 定义 对$\,a,b\small\in G\,$若有$\,x\small\in G\,$使$\,b=xax^{-1},\,$则称$a$与$b$共轭,llV&5;
$\quad$记作$a\sim b$。共轭关系$\sim$是一个等价关系.记$\small G/\sim$中含$a\small(\in G)$的'Pm)
$\quad$元为$S_a\underset{\,}{.}$3
1.1.6 定义 若$\small\;(N \leqslant G)\wedge(\forall a\in G\;(aN = Na)),\,$则称$\small\,N\,$为$\small\,G\,$的不'`
$\quad$变(正规)子群.记作$\small\,N\trianglelefteq G.$1u
$\quad$若又有$\small\,\{e\}\ne N \ne G,\,$则$N$为非平凡正规子群$\small(N\vartriangleleft G).\underset{\,}{\,}$5\
1.1.7 定理$\small\,N\trianglelefteq G \iff(\forall a\in G\,\forall n\in N\;(ana^{-1}\in N))$Q##i
$\quad\small\iff(a\in N\Rightarrow S_a\subset N)\iff(\forall a\in G\;(aNa^{-1} = N))\underset{\,}{\,}$pjbB#
1.1.8 定义 不含非平凡正规子群的群叫作单(纯)群。Ek1*x]
$\underset{\,}{\quad}$显然阶为素数的群都是单群。&;
1.1.9 定理 可换群为单群的充要条件是其阶为1或素数$\underset{\,}{.}$'B$H
1.1.10 定义 令$\small\,C(a) = \{x\in G \mid xa = ax\},\; C(G) = \bigcap_{a\in G}C(a)$%Cy
$\quad$称$\small\,C(a)$为$a$关于$\small\,G\,$的中心化子$\small,\,C(G)$为$G$的中心.不难看出它4*5O<&
$\quad$们都是$\underset{\,}{\small G}$的子群。AxS0
1.1.11 定理 $|S_a| = |G: C(a)|$k*ua0a
定义 $f:{\small S_a \to G}/\sim_{\small H_L}$为$\,xax^{-1}\mapsto x\small C(a).\;\;f\,$无歧义,因为%!
$\quad\;xax^{-1} = yay^{-1}\iff(y^{-1}x)a = a(y^{-1}x)$x;v(E^
$\quad\iff y^{-1}x \in C(a)\iff x\,C(a) = y\,C(a).$rtRP8E
   因$S_a = \{xax^{-1}\mid x\in G\}$, 故$f$是双射从而y
$\quad\small\;|S_a|=|G/\sim_{H_L}| = |G: C(a)|.\underset{\,}{\;}\square$Hlp
1.1.12 推论 若$\small G$是有限群,则$\small\,|G|/|S_a|\in\mathbb{N}\;(\forall a\in G)$#$
   易见$\small\,C(G)=\{a\in G\mid |S_a|=1\}.\,$设$\small\,G\setminus C(G)= \bigcup_{j=1}^r S_j$是不交并,%`+
   其中$S_j \in G/\sim$是元数大于$1$的共轭类,则  $|G| = |C(G)|+\sum_{j=1}^r |S_j|.\quad\; (1)$V#%w_
©Elinkage数学论坛 -- Elinkage极酷超级论坛  5"4m
1.1.13 定义 若$p$是素数,$m\in\mathbb{N}^+,\; |G| = p^m$,则称$G$为$p-$群。KE4
©Elinkage数学论坛 -- Elinkage极酷超级论坛  eaLS
1.1.14 定理 设$G$是$p-$群,则(由(1)式知道) $|C(G)| > 1.\quad\square$]DH


发贴时间2013/04/28 00:09am IP: 已设置保密[本文共4202字节]  
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  关于记号 $2^G$ 的注记2
©Elinkage数学论坛 -- Elinkage极酷超级论坛  mF{4Kr
对非空集合$A,\;B$e
©Elinkage数学论坛 -- Elinkage极酷超级论坛  R@{yn
用 $A^B$ 表示集合 $\{f\mid f\text{ 是}A\text{到}B的映射\}.$6>
©Elinkage数学论坛 -- Elinkage极酷超级论坛  Dr>-w1
用 $2^A$ 表示集合 $\{E\mid E\subset A\}$.x
©Elinkage数学论坛 -- Elinkage极酷超级论坛  2(Gnh
注意 $\{0,1\}^A = \{\chi_E \mid E\subset A\}$,  其中`
     $\chi_E: A\to \{0,1\}$ 定义为 $\chi_E(x)=\begin{cases}1 & x\in E \\ 0 & x\not\in E \end{cases}$CD m/x
     而 $2^A = \{f^{-1}(1) \mid f\in \{0,1\}^A\}$A


发贴时间2013/05/14 04:41pm IP: 已设置保密[本文共435字节]  
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  1.1.3 定理证明+I
若 $(A,B\leqslant G)$ 则K6
$\begin{align} AB\leqslant G & \implies ba = (a^{-1} b^{-1})^{-1}\in AB\;(\forall ba\in BA) \implies BA\subset AB\\_[
& \implies (BA\subset AB)\wedge(ab = (b^{-1}a^{-1})^{-1} = (a_1 b_1)^{-1} \in BA)\\ & \implies (AB = BA)\implies (ab)(a_1 b_1)^{-1} = a b (a_2 b_2) = a (a_3b_3)b_2\in AB\\ & \implies AB\leqslant G\end{align}$ @T{rS


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  ©Elinkage数学论坛 -- Elinkage极酷超级论坛  >AC
1.1.5 定义注记Vp
因为 $y\in S_a \Longleftrightarrow a\sim y \Longleftrightarrow \exists x\in G\;(y = xax^{-1})$,k3B~
所以 $S_a = \{xax^{-1} \mid x\in G\}$;ZJ


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  ©Elinkage数学论坛 -- Elinkage极酷超级论坛  -%]
1.1.10 定义注记*kM
若 $a\in G,\;c\in C(G)\color{blue}{= \bigcap_{a\in G} C(a)}$ 则 $c\in C(a)$ 从而 $ac = ca$.\<pNDg
反过来,若 $c\in G$ 使得 $\forall a\in G\;(ac = ca)$ 则 $c\in \bigcap_{a\in G} C(a) $=\!


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  ©Elinkage数学论坛 -- Elinkage极酷超级论坛  O
习题1.1.1 设 $G$ 为群, 记 $A^{-1} = \{a^{-1} \mid a\in A\}\; (A\subset G)$_
     试证 $A,\;B \subset G \implies (AB)^{-1} = B^{-1}A^{-1}$.u;{'l:
©Elinkage数学论坛 -- Elinkage极酷超级论坛  ? t3|
习题1.1.2 若 $G$ 是有限群,则 $\displaystyle{(A,B \leqslant G) \implies |AB| = \frac{|A||B|}{|A\cap B|}}$8


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  ©Elinkage数学论坛 -- Elinkage极酷超级论坛  ?[C
习题1.1.3 证明指数为$2$的子群必为不变子群。]


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  ©Elinkage数学论坛 -- Elinkage极酷超级论坛  )o
习题1.1.4 证明u~m
©Elinkage数学论坛 -- Elinkage极酷超级论坛  "
  $(A\trianglelefteq G \trianglerighteq B)\wedge (A\cap B = \{e\}) \implies \forall x\in A\,\forall y\in B\;(xy = yx)$cv)+s


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  习题1.1.5 设 $p$ 为素数,试证 $p^2$ 元群是可换群。Z" @C
证:对群$\,G\;(|G|=p^2),\,$若$\,G=\langle a\rangle,\,$则循环群显然可换.I
$\quad$否则$\;\exists g\in G:\,o(g)=p,\;{\small[G:\langle g\rangle]}=p\,$是素数,$\langle g\rangle\lhd G$I*
$\therefore\;\exists h\in G-\langle g\rangle:\;G=\bigcup\limits_{k=0}^{p-1}\langle g\rangle h^k$b%XXl


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