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  伽罗华理论基础$\underset{\,}{\,}$`\
第一章 群论的初步知识7#w
$\qquad$$\S 1.1 群的基本概念$!Q
$\qquad$$\S 1.2 置换群$@AT!Ne
$\qquad$$\S 1.3 同态和同构定理$d<qiK


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  $\S 1.1$ 群的概念R
1.1.1 定义 称集$G(\ne\varnothing)$关于$\odot:G\times G\to G$ 成一群,如果^$
$(1)\;\odot\,$满足结合律:$a\odot(b\odot c)=(a\odot b)\odot c\;(\forall a,b,c\in G)$xFn
$(2)\;\odot\,$有单位元:$\;\;\;\exists e\in G\,\forall a\in G\;(e\odot a=a\odot e)$fx
$(3)\;\odot\,$双向可逆:$\;\;\;\forall a\in G\, \exists a' \in G\; (a\odot a'=a'\odot a=e)${3s|g
若不致误解,常用$ab$表示$a\odot b,\,$称$\odot$为乘法,并记逆元$a'$为$a^{-1}.$c)
单位元$\,e\,$为$\,1\,$,简称$\,G\,$为群 $(G,\odot)\underset{\,}{\,}.$7}
$\odot$满足交换律时称$G$为Abel群,常称$\odot$加法$+$,用$\underset{\,}{\,}0,\,-a\,$表示$\,e,\,a^{-1}.$8^
1.1.2 定义 若群$G$的非空子集$H$关于群$G$的运算自成为群,则称+"pO`x
$\small H$为$\small G$的子群,记作${\small H\le G.\;(H\le G)}\iff(\forall a,b \in H\; (ab^{-1}\in H))$&k3`
形如$\,\langle a \rangle=\{a^k\mid k\in\mathbb{Z}\}\small\;(a\in G)\,$的群叫作循环群。$a\,$为其生成元.jS
基数$|G|$叫作群$G$的阶,$\,|G|\in\mathbb{N}\,$时称$\,G\,$为有限群,否则$G$为无限群。1[p
元素$\,a\in G\,$的阶定义为$\underset{\,}{\,}o(a)=|\langle a \rangle|$>GI
定义$\,A,\,B\in 2^G-\{\varnothing\}\,$的积为$\,AB=\{ab\mid (a\in A) \wedge (b\in B)\}$Obm}C_
$\qquad$易见这个运算满足结合律。iH%9
简记$\small\,\{a\}B\,$为$\,aB.\,$类似地定义$Ab\;(A\subset G \ni b)$。.n:
称$G\,(\supset H)$的形如 $xH\;(Hx)$ 的子集为$H$的左(右)陪集。'5x6p
©Elinkage数学论坛 -- Elinkage极酷超级论坛  )EB}
1.1.3 定理 若 $A,\,B\leqslant G$ 则 $(AB \leqslant G) \Longleftrightarrow (AB = BA)$P
©Elinkage数学论坛 -- Elinkage极酷超级论坛  (f_d-]
1.1.4 定理 若$H\leqslant G$ 则si~6JR
$\qquad$ (1) $\forall x,y\in G\; (xH \ne yH)\implies (xH \cap yH = \varnothing)$Q
$\qquad$ (2) $x \sim_{H_L} y \Leftrightarrow x^{-1}y \in H$ 是$G$中的等价关系, $G = \bigcup G/\sim_{H_L}$G
$\qquad$ (3) $|G| = |H||G/\sim_{H_L}|$ 当$G$为有限群时这就是Lagrange定理。i
$\qquad$  将左陪集换成右陪集,$x^{-1}y$ 换成 $xy^{-1}$, $\sim_{H_L}$ 换成 $\sim_{H_R}$,定理仍成立。)DQW#
$\qquad$  $G/\sim_{H_L},\;G/\sim_{H_R}$ 有相同的基数,叫作$H$在$G$中的指数,记作$|G:H|$。r
©Elinkage数学论坛 -- Elinkage极酷超级论坛  %
1.1.5 定义 若对 $a,b \in G$ 有$x\in G$ 使得 $b = xax^{-1}$,则称$a$与$b$共轭,记作$a\sim b$。%$X#wp
$\qquad$  共轭关系$\sim$是一个等价关系。记$G/\sim$ 中含$a (\in G)$的元为$S_a$。!6
©Elinkage数学论坛 -- Elinkage极酷超级论坛  w
1.1.6 定义 若 $(N \leqslant G)\wedge (\forall a\in G\;(aN = Na))$, 则称$N$为$G$的不变(正规)子群。3fd6
$\qquad$  记作 $N\trianglelefteq G$. 若又有$\{e\}\ne N \ne G$, 则称$N$为非平凡正规子群($N\vartriangleleft G$)。F`
©Elinkage数学论坛 -- Elinkage极酷超级论坛  #
1.1.7 定理 $N\trianglelefteq G \Leftrightarrow (\forall a\in G\,\forall n\in N\; (ana^{-1}\in N)) \Leftrightarrow (a\in N\Rightarrow S_a\subset N)$ ~Oh
$\qquad$   $\quad\quad\quad\quad \Leftrightarrow (\forall a\in G\;(aNa^{-1} = N))${(".
©Elinkage数学论坛 -- Elinkage极酷超级论坛  5+Ubk
1.1.8 定义 不含非平凡正规子群的群叫作单(纯)群。显然阶为素数的群都是单群。CIb)=)
©Elinkage数学论坛 -- Elinkage极酷超级论坛  u%]~(\
1.1.9 定理 可换群为单群的充要条件是其阶为1或素数。5{q
©Elinkage数学论坛 -- Elinkage极酷超级论坛  b)
1.1.10 定义 令$C(a) = \{x\in G \mid xa = ax\},\; C(G) = \bigcap_{a\in G} C(a)$Z;
$\qquad$  称$C(a)$为$a$关于$G$的中心化子,$C(G)$为$G$的中心。易见它们都是$G$的子群。q-k,E
©Elinkage数学论坛 -- Elinkage极酷超级论坛  EgzTV
1.1.11 定理 $|S_a| = |G: C(a)|$ui
定义 $f: S_a \to G/\sim_{H_L}$ 为 $xax^{-1}\mapsto xC(a)$. 这个映射无歧义,因为I;Eq
   $xax^{-1} = yay^{-1}\Leftrightarrow (y^{-1}x)a = a(y^{-1}x) \Leftrightarrow y^{-1}x \in C(a)\Leftrightarrow xC(a) = yC(a)$&x
   因$S_a = \{xax^{-1}\mid x\in G\}$, 故$f$是双射从而$|S_a|=|G/\sim_{H_L}| = |G: C(a)|.\;\square$Em+.dt
©Elinkage数学论坛 -- Elinkage极酷超级论坛  f\#d$
1.1.12 推论 若$G$是有限群,则 $|S_a| \mid |G|\;(\forall a\in G)$9~s
©Elinkage数学论坛 -- Elinkage极酷超级论坛  o2
   易见$C(G) = \{a\in G\mid |S_a|=1\}$。设 $G\setminus C(G) = \bigcup_{j=1}^r S_j$ 是不交并,GK[Vh
   其中$S_j \in G/\sim$是元数大于$1$的共轭类,则 $|G| = |C(G)|+\sum_{j=1}^r |S_j|.\quad\; (1)$bE=
©Elinkage数学论坛 -- Elinkage极酷超级论坛  -w'>
1.1.13 定义 若$p$是素数,$m\in\mathbb{N}^+,\; |G| = p^m$,则称$G$为$p-$群。H/
©Elinkage数学论坛 -- Elinkage极酷超级论坛  _e
1.1.14 定理 设$G$是$p-$群,则(由(1)式知道) $|C(G)| > 1.\quad\square$o


发贴时间2013/04/28 00:09am IP: 已设置保密[本文共3804字节]  
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  关于记号 $2^G$ 的注记mj
©Elinkage数学论坛 -- Elinkage极酷超级论坛  a
对非空集合$A,\;B$))>
©Elinkage数学论坛 -- Elinkage极酷超级论坛  nP=
用 $A^B$ 表示集合 $\{f\mid f\text{ 是}A\text{到}B的映射\}.$2
©Elinkage数学论坛 -- Elinkage极酷超级论坛  y`DK7
用 $2^A$ 表示集合 $\{E\mid E\subset A\}$.2,p\D
©Elinkage数学论坛 -- Elinkage极酷超级论坛  BVPa
注意 $\{0,1\}^A = \{\chi_E \mid E\subset A\}$,  其中LBir4
     $\chi_E: A\to \{0,1\}$ 定义为 $\chi_E(x)=\begin{cases}1 & x\in E \\ 0 & x\not\in E \end{cases}$,%I+C+
     而 $2^A = \{f^{-1}(1) \mid f\in \{0,1\}^A\}$|c_B


发贴时间2013/05/14 04:41pm IP: 已设置保密[本文共435字节]  
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  1.1.3 定理证明t*9l6
若 $(A,B\leqslant G)$ 则F
$\begin{align} AB\leqslant G & \implies ba = (a^{-1} b^{-1})^{-1}\in AB\;(\forall ba\in BA) \implies BA\subset AB\\)L]v<
& \implies (BA\subset AB)\wedge(ab = (b^{-1}a^{-1})^{-1} = (a_1 b_1)^{-1} \in BA)\\ & \implies (AB = BA)\implies (ab)(a_1 b_1)^{-1} = a b (a_2 b_2) = a (a_3b_3)b_2\in AB\\ & \implies AB\leqslant G\end{align}$tea


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  ©Elinkage数学论坛 -- Elinkage极酷超级论坛  Q9
1.1.5 定义注记bAA-
因为 $y\in S_a \Longleftrightarrow a\sim y \Longleftrightarrow \exists x\in G\;(y = xax^{-1})$,;
所以 $S_a = \{xax^{-1} \mid x\in G\}$@W


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  ©Elinkage数学论坛 -- Elinkage极酷超级论坛  =k4-
1.1.10 定义注记z0tuz9
若 $a\in G,\;c\in C(G)\color{blue}{= \bigcap_{a\in G} C(a)}$ 则 $c\in C(a)$ 从而 $ac = ca$.J_8
反过来,若 $c\in G$ 使得 $\forall a\in G\;(ac = ca)$ 则 $c\in \bigcap_{a\in G} C(a) $s1$X


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  ©Elinkage数学论坛 -- Elinkage极酷超级论坛  E`"}
习题1.1.1 设 $G$ 为群, 记 $A^{-1} = \{a^{-1} \mid a\in A\}\; (A\subset G)$\c|bQ
     试证 $A,\;B \subset G \implies (AB)^{-1} = B^{-1}A^{-1}$.+
©Elinkage数学论坛 -- Elinkage极酷超级论坛  c1Epml
习题1.1.2 若 $G$ 是有限群,则 $\displaystyle{(A,B \leqslant G) \implies |AB| = \frac{|A||B|}{|A\cap B|}}$m


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  ©Elinkage数学论坛 -- Elinkage极酷超级论坛  $)%x:
习题1.1.3 证明指数为$2$的子群必为不变子群。BB


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  ©Elinkage数学论坛 -- Elinkage极酷超级论坛  ,iXxs
习题1.1.4 证明4812Q
©Elinkage数学论坛 -- Elinkage极酷超级论坛  mSH4&j
  $(A\trianglelefteq G \trianglerighteq B)\wedge (A\cap B = \{e\}) \implies \forall x\in A\,\forall y\in B\;(xy = yx)$Cy8A


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  习题1.1.5 设 $p$ 为素数,试证 $p^2$ 元群是可换群。i!
证:对群$\,G\;(|G|=p^2),\,$若$\,G=\langle a\rangle,\,$则循环群显然可换.aK'i=7
$\quad$否则$\;\exists g\in G:\,o(g)=p,\;{\small[G:\langle g\rangle]}=p\,$是素数,$\langle g\rangle\lhd G$2$
$\therefore\;\exists h\in G-\langle g\rangle:\;G=\bigcup\limits_{k=0}^{p-1}\langle g\rangle h^k$Wc


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