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$\S 1.1$ 群的概念R
1.1.1 定义 称集$G(\ne\varnothing)$关于$\odot:G\times G\to G$ 成一群，如果^$
$(1)\;\odot\,$满足结合律：$a\odot(b\odot c)=(a\odot b)\odot c\;(\forall a,b,c\in G)$xFn
$(2)\;\odot\,$有单位元：$\;\;\;\exists e\in G\,\forall a\in G\;(e\odot a=a\odot e)$fx
$(3)\;\odot\,$双向可逆：$\;\;\;\forall a\in G\, \exists a' \in G\; (a\odot a'=a'\odot a=e)${3s|g
若不致误解,常用$ab$表示$a\odot b,\,$称$\odot$为乘法,并记逆元$a'$为$a^{-1}.$c)
单位元$\,e\,$为$\,1\,$，简称$\,G\,$为群 $(G,\odot)\underset{\,}{\,}.$7}
$\odot$满足交换律时称$G$为Abel群,常称$\odot$加法$+$,用$\underset{\,}{\,}0,\,-a\,$表示$\,e,\,a^{-1}.$8^
1.1.2 定义 若群$G$的非空子集$H$关于群$G$的运算自成为群,则称+"pO`x
$\small H$为$\small G$的子群,记作${\small H\le G.\;(H\le G)}\iff(\forall a,b \in H\; (ab^{-1}\in H))$&k3`
形如$\,\langle a \rangle=\{a^k\mid k\in\mathbb{Z}\}\small\;(a\in G)\,$的群叫作循环群。$a\,$为其生成元.jS
基数$|G|$叫作群$G$的阶,$\,|G|\in\mathbb{N}\,$时称$\,G\,$为有限群,否则$G$为无限群。1[p
元素$\,a\in G\,$的阶定义为$\underset{\,}{\,}o(a)=|\langle a \rangle|$>GI
定义$\,A,\,B\in 2^G-\{\varnothing\}\,$的积为$\,AB=\{ab\mid (a\in A) \wedge (b\in B)\}$Obm}C_
$\qquad$易见这个运算满足结合律。iH%9
简记$\small\,\{a\}B\,$为$\,aB.\,$类似地定义$Ab\;(A\subset G \ni b)$。.n:
称$G\,(\supset H)$的形如 $xH\;(Hx)$ 的子集为$H$的左(右)陪集。'5x6p
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1.1.3 定理 若 $A,\,B\leqslant G$ 则 $(AB \leqslant G) \Longleftrightarrow (AB = BA)$P
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1.1.4 定理 若$H\leqslant G$ 则si~6JR
$\qquad$ (1) $\forall x,y\in G\; (xH \ne yH)\implies (xH \cap yH = \varnothing)$Q
$\qquad$ (2) $x \sim_{H_L} y \Leftrightarrow x^{-1}y \in H$ 是$G$中的等价关系， $G = \bigcup G/\sim_{H_L}$G
$\qquad$ (3) $|G| = |H||G/\sim_{H_L}|$ 当$G$为有限群时这就是Lagrange定理。i
$\qquad$ 将左陪集换成右陪集，$x^{-1}y$ 换成 $xy^{-1}$, $\sim_{H_L}$ 换成 $\sim_{H_R}$,定理仍成立。)DQW#
$\qquad$ $G/\sim_{H_L},\;G/\sim_{H_R}$ 有相同的基数，叫作$H$在$G$中的指数，记作$|G:H|$。r
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1.1.5 定义 若对 $a,b \in G$ 有$x\in G$ 使得 $b = xax^{-1}$，则称$a$与$b$共轭，记作$a\sim b$。%$X#wp
$\qquad$ 共轭关系$\sim$是一个等价关系。记$G/\sim$ 中含$a (\in G)$的元为$S_a$。!6
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1.1.6 定义 若 $(N \leqslant G)\wedge (\forall a\in G\;(aN = Na))$, 则称$N$为$G$的不变(正规)子群。3fd6
$\qquad$ 记作 $N\trianglelefteq G$. 若又有$\{e\}\ne N \ne G$, 则称$N$为非平凡正规子群($N\vartriangleleft G$)。F`
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1.1.7 定理 $N\trianglelefteq G \Leftrightarrow (\forall a\in G\,\forall n\in N\; (ana^{-1}\in N)) \Leftrightarrow (a\in N\Rightarrow S_a\subset N)$ ~Oh
$\qquad$ $\quad\quad\quad\quad \Leftrightarrow (\forall a\in G\;(aNa^{-1} = N))${(".
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1.1.8 定义 不含非平凡正规子群的群叫作单(纯)群。显然阶为素数的群都是单群。CIb)=)
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1.1.9 定理 可换群为单群的充要条件是其阶为1或素数。5{q
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1.1.10 定义 令$C(a) = \{x\in G \mid xa = ax\},\; C(G) = \bigcap_{a\in G} C(a)$Z;
$\qquad$ 称$C(a)$为$a$关于$G$的中心化子，$C(G)$为$G$的中心。易见它们都是$G$的子群。q-k,E
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1.1.11 定理 $|S_a| = |G: C(a)|$ui
证 定义 $f: S_a \to G/\sim_{H_L}$ 为 $xax^{-1}\mapsto xC(a)$. 这个映射无歧义，因为I;Eq
$xax^{-1} = yay^{-1}\Leftrightarrow (y^{-1}x)a = a(y^{-1}x) \Leftrightarrow y^{-1}x \in C(a)\Leftrightarrow xC(a) = yC(a)$&x
因$S_a = \{xax^{-1}\mid x\in G\}$, 故$f$是双射从而$|S_a|=|G/\sim_{H_L}| = |G: C(a)|.\;\square$Em+.dt
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1.1.12 推论 若$G$是有限群，则 $|S_a| \mid |G|\;(\forall a\in G)$9~s
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易见$C(G) = \{a\in G\mid |S_a|=1\}$。设 $G\setminus C(G) = \bigcup_{j=1}^r S_j$ 是不交并，GK[Vh
其中$S_j \in G/\sim$是元数大于$1$的共轭类，则 $|G| = |C(G)|+\sum_{j=1}^r |S_j|.\quad\; (1)$bE=
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1.1.13 定义 若$p$是素数，$m\in\mathbb{N}^+,\; |G| = p^m$，则称$G$为$p-$群。H/
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1.1.14 定理 设$G$是$p-$群，则(由(1)式知道) $|C(G)| > 1.\quad\square$o
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2013/04/16 10:14am 
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