>> 欢迎您,客人登录 按这里注册 忘记密码 在线 搜索 论坛风格  帮助  插件   


>>> 数学分析,奇异积分,几何,代数,微分方程,群与环,数论
Elinkage数学论坛基础数学 [返回] → 浏览:伽罗华理论记要 标记论坛所有内容为已读 

 目前论坛总在线 4 人,本主题共有 1 人浏览。其中注册用户 0 人,访客 1 人。  [关闭详细列表]
发表一个新主题 回复贴子 开启一个新投票 ◆此帖被阅读 13498 次◆  浏览上一篇主题  刷新本主题  树形显示贴子 浏览下一篇主题
 * 贴子主题: 伽罗华理论记要 不分页显示此帖  保存该页为文件  本贴有问题,发送短消息报告给版主  加入个人收藏&关注本贴  显示可打印的版本  把本贴打包邮递  把本贴加入收藏夹  发送本页面给朋友   
 elim 
 头衔: 论坛版主

 

等级: 新手上路
信息: 该用户目前不在线 此人为版主
威望: 0 积分: 0
现金: 142515 雷傲元
存款: 没开户
贷款: 没贷款
来自: 保密 blank
发帖: 2092
精华: 0
资料:  
在线: 41天19时13分54秒
注册: 2010/12/07 06:27am
造访: 2020/01/25 03:27am
消息 查看 搜索 好友 引用 回复贴子回复 只看我 [楼 主]
  ©Elinkage数学论坛 -- Elinkage极酷超级论坛  A
伽罗华理论基础QXqKIi
©Elinkage数学论坛 -- Elinkage极酷超级论坛  NMb8
第一章 群论的初步知识-J
©Elinkage数学论坛 -- Elinkage极酷超级论坛  \cK
   $\S 1.1 群的基本概念$Gv2
©Elinkage数学论坛 -- Elinkage极酷超级论坛  4c9
   $\S 1.2 置换群$$TP
©Elinkage数学论坛 -- Elinkage极酷超级论坛  6
   $\S 1.3 同态和同构定理$%`C


发贴时间2013/04/16 10:14am IP: 已设置保密[本文共477字节]  
 elim 
 头衔: 论坛版主

 

等级: 新手上路
信息: 该用户目前不在线 此人为版主
威望: 0 积分: 0
现金: 142515 雷傲元
存款: 没开户
贷款: 没贷款
来自: 保密 blank
发帖: 2092
精华: 0
资料:  
在线: 41天19时13分54秒
注册: 2010/12/07 06:27am
造访: 2020/01/25 03:27am
消息 查看 搜索 好友 引用 回复贴子回复 只看我 [第 2 楼]
  ©Elinkage数学论坛 -- Elinkage极酷超级论坛  |tzw
$\S 1.1$ 群的概念5#}
©Elinkage数学论坛 -- Elinkage极酷超级论坛  zd0p
1.1.1 定义 称集合$G(\ne \varnothing)$关于运算$\odot : G\times G \to G$ 成为一个群,如果^K
©Elinkage数学论坛 -- Elinkage极酷超级论坛  8L>b0
(1) $(G,\odot)$满足结合律:  $a\odot (b\odot c) = (a\odot b)\odot c \; (\forall a,b,c \in G)$@w
(2) 存在 $(G,\odot)$-单位元:$\exists e\in G\,\forall a\in G\; (e\odot a = a\odot e)$n#E)
(3) $\odot$ 双向可逆:       $\forall a\in G\, \exists a' \in G\; (a\odot a' = a' \odot a = e)$"CqjF
©Elinkage数学论坛 -- Elinkage极酷超级论坛  6C
在不致误解的情形,常用 $ab$ 表示 $a\odot b$,称$\odot$为乘法,并记逆元 $a' $为 $a^{-1}$,Wt
单位元 $e $ 为 $1$,直称 $G$ 为群 $(G,\odot)$。x
©Elinkage数学论坛 -- Elinkage极酷超级论坛  Qb_=
$\odot$ 满足交换律时称$G$为Abel群,常称$\odot$为加法$+$,用 $0,\, -a$ 依次表示 $e,\, a^{-1}$。;U:D9T
©Elinkage数学论坛 -- Elinkage极酷超级论坛  M(wRX
1.1.2 定义 群$G$的子集$H (\ne \varnothing)$ 叫作$G$的子群,记作$H\le G$, 如果HL7p
       $H$关于群$G$的运算自成为群。$(H\le G)\Longleftrightarrow (\forall a,b \in H\; (ab^{-1}\in H))$N8Y'*
©Elinkage数学论坛 -- Elinkage极酷超级论坛  ;v
       形如 $\langle a \rangle = \{a^k \mid k\in\mathbb{Z}\}\; (a\in G)$ 的群叫作循环群。$a$ 是其生成元。w
©Elinkage数学论坛 -- Elinkage极酷超级论坛  S}b|
       基数 $|G|$ 叫作群$G$的阶,$|G|\in \mathbb{N}$ 时称$G$为有限群,否则$G$为无限群。0j;3:
       元素$a\in G$的阶定义为$|\langle a \rangle|$I5S.3-
©Elinkage数学论坛 -- Elinkage极酷超级论坛  vtc
       若 $A,\,B\subset G$, 定义其积为 $AB = \{ab \mid (a\in A) \wedge (b\in B)\}$kN
©Elinkage数学论坛 -- Elinkage极酷超级论坛  \mV
       易见 $2^G \setminus \{\varnothing \}$ 中的这个运算满足结合律。(a
©Elinkage数学论坛 -- Elinkage极酷超级论坛  njvd]d
       当$A=\{a\}$ 简记 $AB$ 为 $aB$. 类似地定义 $Ab\;(A\subset G \ni b)$。g.'_
©Elinkage数学论坛 -- Elinkage极酷超级论坛  8
       称$G\,(\supset H)$的形如 $xH\;(Hx)$ 的子集为$H$的左(右)陪集。9/=xb
©Elinkage数学论坛 -- Elinkage极酷超级论坛  l-q2
1.1.3 定理 若 $A,\,B\leqslant G$ 则 $(AB \leqslant G) \Longleftrightarrow (AB = BA)$7
©Elinkage数学论坛 -- Elinkage极酷超级论坛  5UFYN
1.1.4 定理 若$H\leqslant G$ 则B
        (1) $\forall x,y\in G\; (xH \ne yH)\implies (xH \cap yH = \varnothing)$\$EgS~
        (2) $x \sim_{H_L} y \Leftrightarrow x^{-1}y \in H$ 是$G$中的等价关系, $G = \bigcup G/\sim_{H_L}$xM]D
        (3) $|G| = |H||G/\sim_{H_L}|$ 当$G$为有限群时这就是Lagrange定理。[
©Elinkage数学论坛 -- Elinkage极酷超级论坛  SPGPQ!
         将左陪集换成右陪集,$x^{-1}y$ 换成 $xy^{-1}$, $\sim_{H_L}$ 换成 $\sim_{H_R}$,定理仍成立。G_
         $G/\sim_{H_L},\;G/\sim_{H_R}$ 有相同的基数,叫作$H$在$G$中的指数,记作$|G:H|$。H
©Elinkage数学论坛 -- Elinkage极酷超级论坛  "~]
1.1.5 定义 若对 $a,b \in G$ 有$x\in G$ 使得 $b = xax^{-1}$,则称$a$与$b$共轭,记作$a\sim b$。}3f3
         共轭关系$\sim$是一个等价关系。记$G/\sim$ 中含$a (\in G)$的元为$S_a$。Gw+{bP
©Elinkage数学论坛 -- Elinkage极酷超级论坛  .y
1.1.6 定义 若 $(N \leqslant G)\wedge (\forall a\in G\;(aN = Na))$, 则称$N$为$G$的不变(正规)子群。S
         记作 $N\trianglelefteq G$. 若又有$\{e\}\ne N \ne G$, 则称$N$为非平凡正规子群($N\vartriangleleft G$)。:y_
©Elinkage数学论坛 -- Elinkage极酷超级论坛  @n
1.1.7 定理 $N\trianglelefteq G \Leftrightarrow (\forall a\in G\,\forall n\in N\; (ana^{-1}\in N)) \Leftrightarrow (a\in N\Rightarrow S_a\subset N)$=g6'&
          $\quad\quad\quad\quad \Leftrightarrow (\forall a\in G\;(aNa^{-1} = N))$*KV-|
©Elinkage数学论坛 -- Elinkage极酷超级论坛  tOYe
1.1.8 定义 不含非平凡正规子群的群叫作单(纯)群。显然阶为素数的群都是单群。#:Bd0Q
©Elinkage数学论坛 -- Elinkage极酷超级论坛  'zPG"
1.1.9 定理 可换群为单群的充要条件是其阶为1或素数。,<5
©Elinkage数学论坛 -- Elinkage极酷超级论坛  [`n& [
1.1.10 定义 令$C(a) = \{x\in G \mid xa = ax\},\; C(G) = \bigcap_{a\in G} C(a)$6,}KD
         称$C(a)$为$a$关于$G$的中心化子,$C(G)$为$G$的中心。易见它们都是$G$的子群。g^$b>
©Elinkage数学论坛 -- Elinkage极酷超级论坛  C2|1QE
1.1.11 定理 $|S_a| = |G: C(a)|$$
定义 $f: S_a \to G/\sim_{H_L}$ 为 $xax^{-1}\mapsto xC(a)$. 这个映射无歧义,因为#f*g
   $xax^{-1} = yay^{-1}\Leftrightarrow (y^{-1}x)a = a(y^{-1}x) \Leftrightarrow y^{-1}x \in C(a)\Leftrightarrow xC(a) = yC(a)$sf$
   因$S_a = \{xax^{-1}\mid x\in G\}$, 故$f$是双射从而$|S_a|=|G/\sim_{H_L}| = |G: C(a)|.\;\square$df}|H`
©Elinkage数学论坛 -- Elinkage极酷超级论坛  ^yGt\w
1.1.12 推论 若$G$是有限群,则 $|S_a| \mid |G|\;(\forall a\in G)$ar&e!j
©Elinkage数学论坛 -- Elinkage极酷超级论坛  K5ff
   易见$C(G) = \{a\in G\mid |S_a|=1\}$。设 $G\setminus C(G) = \bigcup_{j=1}^r S_j$ 是不交并,@YV
   其中$S_j \in G/\sim$是元数大于$1$的共轭类,则 $|G| = |C(G)|+\sum_{j=1}^r |S_j|.\quad\; (1)$&U2
©Elinkage数学论坛 -- Elinkage极酷超级论坛  w,6
1.1.13 定义 若$p$是素数,$m\in\mathbb{N}^+,\; |G| = p^m$,则称$G$为$p-$群。gImmc
©Elinkage数学论坛 -- Elinkage极酷超级论坛  0dn`x
1.1.14 定理 设$G$是$p-$群,则(由(1)式知道) $|C(G)| > 1.\quad\square$ NiZ


发贴时间2013/04/28 00:09am IP: 已设置保密[本文共4252字节]  
 elim 
 头衔: 论坛版主

 

等级: 新手上路
信息: 该用户目前不在线 此人为版主
威望: 0 积分: 0
现金: 142515 雷傲元
存款: 没开户
贷款: 没贷款
来自: 保密 blank
发帖: 2092
精华: 0
资料:  
在线: 41天19时13分54秒
注册: 2010/12/07 06:27am
造访: 2020/01/25 03:27am
消息 查看 搜索 好友 引用 回复贴子回复 只看我 [第 3 楼]
  关于记号 $2^G$ 的注记grfz
©Elinkage数学论坛 -- Elinkage极酷超级论坛  `u^'Q;
对非空集合$A,\;B$[-"
©Elinkage数学论坛 -- Elinkage极酷超级论坛  _@
用 $A^B$ 表示集合 $\{f\mid f\text{ 是}A\text{到}B的映射\}.$5drD
©Elinkage数学论坛 -- Elinkage极酷超级论坛  ".2e
用 $2^A$ 表示集合 $\{E\mid E\subset A\}$.U{q
©Elinkage数学论坛 -- Elinkage极酷超级论坛  uXZ
注意 $\{0,1\}^A = \{\chi_E \mid E\subset A\}$,  其中?>
     $\chi_E: A\to \{0,1\}$ 定义为 $\chi_E(x)=\begin{cases}1 & x\in E \\ 0 & x\not\in E \end{cases}$J!|`
     而 $2^A = \{f^{-1}(1) \mid f\in \{0,1\}^A\}$b]5


发贴时间2013/05/14 04:41pm IP: 已设置保密[本文共435字节]  
 elim 
 头衔: 论坛版主

 

等级: 新手上路
信息: 该用户目前不在线 此人为版主
威望: 0 积分: 0
现金: 142515 雷傲元
存款: 没开户
贷款: 没贷款
来自: 保密 blank
发帖: 2092
精华: 0
资料:  
在线: 41天19时13分54秒
注册: 2010/12/07 06:27am
造访: 2020/01/25 03:27am
消息 查看 搜索 好友 引用 回复贴子回复 只看我 [第 4 楼]
  1.1.3 定理证明V
若 $(A,B\leqslant G)$ 则.D-O
$\begin{align} AB\leqslant G & \implies ba = (a^{-1} b^{-1})^{-1}\in AB\;(\forall ba\in BA) \implies BA\subset AB\\7
& \implies (BA\subset AB)\wedge(ab = (b^{-1}a^{-1})^{-1} = (a_1 b_1)^{-1} \in BA)\\ & \implies (AB = BA)\implies (ab)(a_1 b_1)^{-1} = a b (a_2 b_2) = a (a_3b_3)b_2\in AB\\ & \implies AB\leqslant G\end{align}$Zb


发贴时间2013/06/05 00:36pm IP: 已设置保密[本文共420字节]  
 elim 
 头衔: 论坛版主

 

等级: 新手上路
信息: 该用户目前不在线 此人为版主
威望: 0 积分: 0
现金: 142515 雷傲元
存款: 没开户
贷款: 没贷款
来自: 保密 blank
发帖: 2092
精华: 0
资料:  
在线: 41天19时13分54秒
注册: 2010/12/07 06:27am
造访: 2020/01/25 03:27am
消息 查看 搜索 好友 引用 回复贴子回复 只看我 [第 5 楼]
  ©Elinkage数学论坛 -- Elinkage极酷超级论坛  x4m
1.1.5 定义注记4Zg VO
因为 $y\in S_a \Longleftrightarrow a\sim y \Longleftrightarrow \exists x\in G\;(y = xax^{-1})$,N-qe
所以 $S_a = \{xax^{-1} \mid x\in G\}$F`L


发贴时间2013/06/05 10:35am IP: 已设置保密[本文共190字节]  
 elim 
 头衔: 论坛版主

 

等级: 新手上路
信息: 该用户目前不在线 此人为版主
威望: 0 积分: 0
现金: 142515 雷傲元
存款: 没开户
贷款: 没贷款
来自: 保密 blank
发帖: 2092
精华: 0
资料:  
在线: 41天19时13分54秒
注册: 2010/12/07 06:27am
造访: 2020/01/25 03:27am
消息 查看 搜索 好友 引用 回复贴子回复 只看我 [第 6 楼]
  ©Elinkage数学论坛 -- Elinkage极酷超级论坛  Fb9l=
1.1.10 定义注记5>;m
若 $a\in G,\;c\in C(G)\color{blue}{= \bigcap_{a\in G} C(a)}$ 则 $c\in C(a)$ 从而 $ac = ca$.uR1Iz
反过来,若 $c\in G$ 使得 $\forall a\in G\;(ac = ca)$ 则 $c\in \bigcap_{a\in G} C(a) $!Y1


发贴时间2013/06/05 10:35am IP: 已设置保密[本文共234字节]  
 elim 
 头衔: 论坛版主

 

等级: 新手上路
信息: 该用户目前不在线 此人为版主
威望: 0 积分: 0
现金: 142515 雷傲元
存款: 没开户
贷款: 没贷款
来自: 保密 blank
发帖: 2092
精华: 0
资料:  
在线: 41天19时13分54秒
注册: 2010/12/07 06:27am
造访: 2020/01/25 03:27am
消息 查看 搜索 好友 引用 回复贴子回复 只看我 [第 7 楼]
  ©Elinkage数学论坛 -- Elinkage极酷超级论坛  Hm59
习题1.1.1 设 $G$ 为群, 记 $A^{-1} = \{a^{-1} \mid a\in A\}\; (A\subset G)$HJZ8
     试证 $A,\;B \subset G \implies (AB)^{-1} = B^{-1}A^{-1}$.%mhBO#
©Elinkage数学论坛 -- Elinkage极酷超级论坛  @-:a3B
习题1.1.2 若 $G$ 是有限群,则 $\displaystyle{(A,B \leqslant G) \implies |AB| = \frac{|A||B|}{|A\cap B|}}$n%~


发贴时间2013/06/05 10:35am IP: 已设置保密[本文共307字节]  
 elim 
 头衔: 论坛版主

 

等级: 新手上路
信息: 该用户目前不在线 此人为版主
威望: 0 积分: 0
现金: 142515 雷傲元
存款: 没开户
贷款: 没贷款
来自: 保密 blank
发帖: 2092
精华: 0
资料:  
在线: 41天19时13分54秒
注册: 2010/12/07 06:27am
造访: 2020/01/25 03:27am
消息 查看 搜索 好友 引用 回复贴子回复 只看我 [第 8 楼]
  ©Elinkage数学论坛 -- Elinkage极酷超级论坛  G
习题1.1.3 证明指数为$2$的子群必为不变子群。.nM


发贴时间2013/06/05 10:35am IP: 已设置保密[本文共78字节]  
 elim 
 头衔: 论坛版主

 

等级: 新手上路
信息: 该用户目前不在线 此人为版主
威望: 0 积分: 0
现金: 142515 雷傲元
存款: 没开户
贷款: 没贷款
来自: 保密 blank
发帖: 2092
精华: 0
资料:  
在线: 41天19时13分54秒
注册: 2010/12/07 06:27am
造访: 2020/01/25 03:27am
消息 查看 搜索 好友 引用 回复贴子回复 只看我 [第 9 楼]
  ©Elinkage数学论坛 -- Elinkage极酷超级论坛  Yf
习题1.1.4 证明LP$H
©Elinkage数学论坛 -- Elinkage极酷超级论坛  g3jgfg
  $(A\trianglelefteq G \trianglerighteq B)\wedge (A\cap B = \{e\}) \implies \forall x\in A\,\forall y\in B\;(xy = yx)$ir


发贴时间2013/06/05 10:35am IP: 已设置保密[本文共176字节]  
 elim 
 头衔: 论坛版主

 

等级: 新手上路
信息: 该用户目前不在线 此人为版主
威望: 0 积分: 0
现金: 142515 雷傲元
存款: 没开户
贷款: 没贷款
来自: 保密 blank
发帖: 2092
精华: 0
资料:  
在线: 41天19时13分54秒
注册: 2010/12/07 06:27am
造访: 2020/01/25 03:27am
消息 查看 搜索 好友 引用 回复贴子回复 只看我 [第 10 楼]
  ©Elinkage数学论坛 -- Elinkage极酷超级论坛  6FN(9S
©Elinkage数学论坛 -- Elinkage极酷超级论坛  K-^.
习题1.1.5 设 $p$ 为素数,试证 $p^2$ 元群是可换群。3A aA


发贴时间2013/06/05 10:35am IP: 已设置保密[本文共89字节]  

 6 9 7 [ 1 2 3 4 5 6 ] 8 :

快速回复主题: 伽罗华理论记要
您目前的身份是: 客人 ,要使用其他用户身份,请输入用户名和密码。未注册客人请输入网名,密码留空。
输入用户名和密码: 用户名: 没有注册? 密码: 忘记密码?
上传附件或图片 (最大容量 10000KB)
目前附件:(如不需要某个附件,只需删除内容中的相应 [UploadFile ...] 标签即可) [删除]
选项

使用 LeoBBS 标签?
显示您的签名?
有回复时使用邮件通知您?

使用字体转换?

    快速引用第 楼层的回复
 顶端 加到"个人收藏夹" 主题管理总固顶 取消总固顶 区固顶 取消区固顶 固顶 取消固顶 提升 沉底
加重 取消加重 精华 取消精华 锁定 解锁 删除 删除回复 移动


© 中文版权所有: 雷傲科技
程序版权所有: 雷傲超级论坛  版本: LeoBBS X Build051231
 

本论坛言论纯属发表者个人意见,与 Elinkage数学论坛 立场无关