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  ©Elinkage数学论坛 -- Elinkage极酷超级论坛  (Wn
伽罗华理论基础(kn-n
©Elinkage数学论坛 -- Elinkage极酷超级论坛  )`iM;
第一章 群论的初步知识3Ai=a
©Elinkage数学论坛 -- Elinkage极酷超级论坛  {IA:qL
   $\S 1.1 群的基本概念$0u{4
©Elinkage数学论坛 -- Elinkage极酷超级论坛  eIxhDL
   $\S 1.2 置换群$|G<1eC
©Elinkage数学论坛 -- Elinkage极酷超级论坛  Ki4V
   $\S 1.3 同态和同构定理$M0pz


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  ©Elinkage数学论坛 -- Elinkage极酷超级论坛  M+aC
$\S 1.1$ 群的概念"
©Elinkage数学论坛 -- Elinkage极酷超级论坛  9&w
1.1.1 定义 称集合$G(\ne \varnothing)$关于运算$\odot : G\times G \to G$ 成为一个群,如果a
©Elinkage数学论坛 -- Elinkage极酷超级论坛  GV'qOW
(1) $(G,\odot)$满足结合律:  $a\odot (b\odot c) = (a\odot b)\odot c \; (\forall a,b,c \in G)$C
(2) 存在 $(G,\odot)$-单位元:$\exists e\in G\,\forall a\in G\; (e\odot a = a\odot e)$$XrT
(3) $\odot$ 双向可逆:       $\forall a\in G\, \exists a' \in G\; (a\odot a' = a' \odot a = e)$}m}Vj#
©Elinkage数学论坛 -- Elinkage极酷超级论坛  dF<my
在不致误解的情形,常用 $ab$ 表示 $a\odot b$,称$\odot$为乘法,并记逆元 $a' $为 $a^{-1}$,VB
单位元 $e $ 为 $1$,直称 $G$ 为群 $(G,\odot)$。U.q2Q|
©Elinkage数学论坛 -- Elinkage极酷超级论坛  wpD\I
$\odot$ 满足交换律时称$G$为Abel群,常称$\odot$为加法$+$,用 $0,\, -a$ 依次表示 $e,\, a^{-1}$。]dho
©Elinkage数学论坛 -- Elinkage极酷超级论坛  M<61
1.1.2 定义 群$G$的子集$H (\ne \varnothing)$ 叫作$G$的子群,记作$H\le G$, 如果2IGu
       $H$关于群$G$的运算自成为群。$(H\le G)\Longleftrightarrow (\forall a,b \in H\; (ab^{-1}\in H))$5
©Elinkage数学论坛 -- Elinkage极酷超级论坛  *_
       形如 $\langle a \rangle = \{a^k \mid k\in\mathbb{Z}\}\; (a\in G)$ 的群叫作循环群。$a$ 是其生成元。%
©Elinkage数学论坛 -- Elinkage极酷超级论坛  N
       基数 $|G|$ 叫作群$G$的阶,$|G|\in \mathbb{N}$ 时称$G$为有限群,否则$G$为无限群。tenC
       元素$a\in G$的阶定义为$|\langle a \rangle|$#p/)d
©Elinkage数学论坛 -- Elinkage极酷超级论坛  05"5w
       若 $A,\,B\subset G$, 定义其积为 $AB = \{ab \mid (a\in A) \wedge (b\in B)\}$X
©Elinkage数学论坛 -- Elinkage极酷超级论坛  _,]
       易见 $2^G \setminus \{\varnothing \}$ 中的这个运算满足结合律。u('wu=
©Elinkage数学论坛 -- Elinkage极酷超级论坛  }
       当$A=\{a\}$ 简记 $AB$ 为 $aB$. 类似地定义 $Ab\;(A\subset G \ni b)$。u
©Elinkage数学论坛 -- Elinkage极酷超级论坛  B
       称$G\,(\supset H)$的形如 $xH\;(Hx)$ 的子集为$H$的左(右)陪集。=/G=x
©Elinkage数学论坛 -- Elinkage极酷超级论坛  Jv?F?
1.1.3 定理 若 $A,\,B\leqslant G$ 则 $(AB \leqslant G) \Longleftrightarrow (AB = BA)$7
©Elinkage数学论坛 -- Elinkage极酷超级论坛  >'dIa
1.1.4 定理 若$H\leqslant G$ 则O`
        (1) $\forall x,y\in G\; (xH \ne yH)\implies (xH \cap yH = \varnothing)$26E*
        (2) $x \sim_{H_L} y \Leftrightarrow x^{-1}y \in H$ 是$G$中的等价关系, $G = \bigcup G/\sim_{H_L}$IV}omG
        (3) $|G| = |H||G/\sim_{H_L}|$ 当$G$为有限群时这就是Lagrange定理。-|
©Elinkage数学论坛 -- Elinkage极酷超级论坛  /e!
         将左陪集换成右陪集,$x^{-1}y$ 换成 $xy^{-1}$, $\sim_{H_L}$ 换成 $\sim_{H_R}$,定理仍成立。ON#
         $G/\sim_{H_L},\;G/\sim_{H_R}$ 有相同的基数,叫作$H$在$G$中的指数,记作$|G:H|$。sK,b2
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1.1.5 定义 若对 $a,b \in G$ 有$x\in G$ 使得 $b = xax^{-1}$,则称$a$与$b$共轭,记作$a\sim b$。237(f
         共轭关系$\sim$是一个等价关系。记$G/\sim$ 中含$a (\in G)$的元为$S_a$。=L5)
©Elinkage数学论坛 -- Elinkage极酷超级论坛  8
1.1.6 定义 若 $(N \leqslant G)\wedge (\forall a\in G\;(aN = Na))$, 则称$N$为$G$的不变(正规)子群。K-)kRm
         记作 $N\trianglelefteq G$. 若又有$\{e\}\ne N \ne G$, 则称$N$为非平凡正规子群($N\vartriangleleft G$)。fc
©Elinkage数学论坛 -- Elinkage极酷超级论坛  {r
1.1.7 定理 $N\trianglelefteq G \Leftrightarrow (\forall a\in G\,\forall n\in N\; (ana^{-1}\in N)) \Leftrightarrow (a\in N\Rightarrow S_a\subset N)$Gk+
          $\quad\quad\quad\quad \Leftrightarrow (\forall a\in G\;(aNa^{-1} = N))$Pcq
©Elinkage数学论坛 -- Elinkage极酷超级论坛  UZV@
1.1.8 定义 不含非平凡正规子群的群叫作单(纯)群。显然阶为素数的群都是单群。5& c
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1.1.9 定理 可换群为单群的充要条件是其阶为1或素数。P]
©Elinkage数学论坛 -- Elinkage极酷超级论坛  $MJ-Z
1.1.10 定义 令$C(a) = \{x\in G \mid xa = ax\},\; C(G) = \bigcap_{a\in G} C(a)$L
         称$C(a)$为$a$关于$G$的中心化子,$C(G)$为$G$的中心。易见它们都是$G$的子群。$2d
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1.1.11 定理 $|S_a| = |G: C(a)|$"z^I
定义 $f: S_a \to G/\sim_{H_L}$ 为 $xax^{-1}\mapsto xC(a)$. 这个映射无歧义,因为-@--
   $xax^{-1} = yay^{-1}\Leftrightarrow (y^{-1}x)a = a(y^{-1}x) \Leftrightarrow y^{-1}x \in C(a)\Leftrightarrow xC(a) = yC(a)$~=w5
   因$S_a = \{xax^{-1}\mid x\in G\}$, 故$f$是双射从而$|S_a|=|G/\sim_{H_L}| = |G: C(a)|.\;\square$b
©Elinkage数学论坛 -- Elinkage极酷超级论坛  cWx(
1.1.12 推论 若$G$是有限群,则 $|S_a| \mid |G|\;(\forall a\in G)$FJ
©Elinkage数学论坛 -- Elinkage极酷超级论坛  .52G[(
   易见$C(G) = \{a\in G\mid |S_a|=1\}$。设 $G\setminus C(G) = \bigcup_{j=1}^r S_j$ 是不交并,`A!qf
   其中$S_j \in G/\sim$是元数大于$1$的共轭类,则 $|G| = |C(G)|+\sum_{j=1}^r |S_j|.\quad\; (1)$y|g?
©Elinkage数学论坛 -- Elinkage极酷超级论坛  4EInb
1.1.13 定义 若$p$是素数,$m\in\mathbb{N}^+,\; |G| = p^m$,则称$G$为$p-$群。4orsk
©Elinkage数学论坛 -- Elinkage极酷超级论坛  .
1.1.14 定理 设$G$是$p-$群,则(由(1)式知道) $|C(G)| > 1.\quad\square$ #Fb i>


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  关于记号 $2^G$ 的注记lW0ulS
©Elinkage数学论坛 -- Elinkage极酷超级论坛  tAL
对非空集合$A,\;B$+~s8
©Elinkage数学论坛 -- Elinkage极酷超级论坛  J
用 $A^B$ 表示集合 $\{f\mid f\text{ 是}A\text{到}B的映射\}.$Mo
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用 $2^A$ 表示集合 $\{E\mid E\subset A\}$.1f
©Elinkage数学论坛 -- Elinkage极酷超级论坛   bsg~
注意 $\{0,1\}^A = \{\chi_E \mid E\subset A\}$,  其中;3c-@t
     $\chi_E: A\to \{0,1\}$ 定义为 $\chi_E(x)=\begin{cases}1 & x\in E \\ 0 & x\not\in E \end{cases}$gV;
     而 $2^A = \{f^{-1}(1) \mid f\in \{0,1\}^A\}$!"lgS


发贴时间2013/05/14 04:41pm IP: 已设置保密[本文共435字节]  
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  1.1.3 定理证明7EJ
若 $(A,B\leqslant G)$ 则I*`;wz
$\begin{align} AB\leqslant G & \implies ba = (a^{-1} b^{-1})^{-1}\in AB\;(\forall ba\in BA) \implies BA\subset AB\\nK^IH
& \implies (BA\subset AB)\wedge(ab = (b^{-1}a^{-1})^{-1} = (a_1 b_1)^{-1} \in BA)\\ & \implies (AB = BA)\implies (ab)(a_1 b_1)^{-1} = a b (a_2 b_2) = a (a_3b_3)b_2\in AB\\ & \implies AB\leqslant G\end{align}$m3da


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1.1.5 定义注记}&u
因为 $y\in S_a \Longleftrightarrow a\sim y \Longleftrightarrow \exists x\in G\;(y = xax^{-1})$,hw_XK
所以 $S_a = \{xax^{-1} \mid x\in G\}$?


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1.1.10 定义注记>h7
若 $a\in G,\;c\in C(G)\color{blue}{= \bigcap_{a\in G} C(a)}$ 则 $c\in C(a)$ 从而 $ac = ca$./R&|j
反过来,若 $c\in G$ 使得 $\forall a\in G\;(ac = ca)$ 则 $c\in \bigcap_{a\in G} C(a) $nBh6@F


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习题1.1.1 设 $G$ 为群, 记 $A^{-1} = \{a^{-1} \mid a\in A\}\; (A\subset G)$XT
     试证 $A,\;B \subset G \implies (AB)^{-1} = B^{-1}A^{-1}$.Fvm
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习题1.1.2 若 $G$ 是有限群,则 $\displaystyle{(A,B \leqslant G) \implies |AB| = \frac{|A||B|}{|A\cap B|}}$g<m


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习题1.1.3 证明指数为$2$的子群必为不变子群。X&mYx


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习题1.1.4 证明P}
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  $(A\trianglelefteq G \trianglerighteq B)\wedge (A\cap B = \{e\}) \implies \forall x\in A\,\forall y\in B\;(xy = yx)$B[K


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习题1.1.5 设 $p$ 为素数,试证 $p^2$ 元群是可换群。P20/xB


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