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  线性代数是很标准,学后常用的内容,一般不必复习。~'#,
但谢邦杰 牛凤文 董乃昌所编的【线性代数】里面#bp=
许多内容的处理方式非常有趣,独特。所以单独拿;a,e+
来重读,并把笔记,注记摆到这个主题。$\underset{\,}{\,}$a
我使用 MathJax 在浏览器中显示数学内容。 原码z3>7
基本上是 LaTEX.每贴每页(10贴)的篇幅不宜太大,olL
否则显著影响网页的显示速度.为此必须将书中一节'
的内容分作几贴。希望这不致影响浏览。aa


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  第一章 预备知识 (1).E5EU
    $\S 1$ 数域Io/
集合 $\quad\; \cup,\; \cap,\; \subset,\; \supset,\; \in,\; \ni$c~6
数域  ($\mathscr{F}(\mathbb{Z})$ 及其扩域)O=
1.1.1 例 $\mathbb{Q}(\sqrt{2}) = \{\alpha + \beta \sqrt{2} \mid \alpha,\, \beta \in \mathbb{Q}\}$:&4
1.1.2 例 $\{k \in \mathbb{Z}:\; 2 \mid k \}$ 不是数域。/6P
1.1.3 命题 数域 $\mathscr{F}$ 必含 $0,\; 1$.eZ6
习题B7
1. $\mathbb{Q}(\xi) = \bigg\{{\large\frac{p(\xi)}{q(\xi)}} {\large\mid}\; p,\;q \in \mathbb{Q}[x], q(\xi) \ne 0\bigg\}$ 是一个数域。其中3J'
  $(\xi \in \mathbb{C}\setminus \mathbb{Q},\; \mathbb{Q}[x] = P_{\mathbb{Q}}[x] =\{{\small\displaystyle{\sum_{k = 0}^{n}}} a_k x^k \mid a_k \in \mathbb{Q},\; n \in \mathbb{N}\})$0
2. $\mathbb{Q}[\sqrt{-1}]$ 是域(定义见 1.) $\mathbb{Z}[\sqrt{-1}]$ 是域吗?&{1
3. $\mathbb{Q} = \mathscr{F}(\mathbb{Z})$ 于是 $\mathbb{Q}$ 是(含整数的)最小数域。J"#~"
4. 数域 $P_1,\; P_2$ 的交集 $P_1 \cap P_2$ 是不是数域? j


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  ©Elinkage数学论坛 -- Elinkage极酷超级论坛  6AO:jo
$\S 1.1$ 预备知识 (2)_
这里似乎只考虑复数域的子域。p#


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  ©Elinkage数学论坛 -- Elinkage极酷超级论坛  V<|Z<~
$\S 1.2$ 置换 (1)~7XH
1.2.1 定义 1-1 对应 $p: \mathbb{I}_n \to \mathbb{I}_n$ 或序列 $p(1),\, p(2),\ldots, p(n)$ 叫 $n$排列(置换)。,
 其中 $\mathbb{I}_n = \{1, 2, \ldots, n\}$。记 $S_n $ 为 $n$排列(置换)全体。TE%o\
1.2.2 命题 $|S_n | = n! $ (由乘法原则,或归纳法易见){HyhBD
1.2.3 定义 $N(p) = \{(p(i), p(j)) \mid (p(i) > p(j)) \wedge(1\le i < j \le n)\}$ 的元s1
 称为 $p \in S_n$ 的反序,称 $n(p):=\left| N(p) \right|$ 为 $p$ 的反序数。oLmD
1.2.4 命题 把排列的任意二相邻数码对换位置,所得排列与原排列的反序数差$1$r>s
 这是因为原逆序若不是由该二数码构成,必是新排列的逆序。/(I
 而此二数码的对换将消除或产生一个逆序。NS{
1.2.5 定义 反序数为偶数(奇数)的排列叫偶(奇)排列。jD=&
$\quad$定义 $ \text{sgn}:S_n \to \mathbb{Z}_2\;\;\bigg(p\mapsto \text{ sgn}(p) = \overline{n(p)}=\begin{cases} \bar{0},& p\text{ 是偶排列}\\ \bar{1}, & p\text{ 是奇排列} \end{cases}\qquad\bigg)$|'?H
1.2.6 命题 令 $A_n = \{p\in S_n: 2\mid |N(p)|\}$,则 $\displaystyle{|A_n| = |S_n|/2 = \frac{n!}{2}\; (n>1)}$ufz
1.2.7 定理 对排列二元(未必相邻)施行一次对换,其奇偶性改变。r Q
 间隔$k\;(0\le k \le n-2)$个元的对换等价于相继施行$2k +1$个相邻对换。3ht-v7
设$p\in S_n,\; p(j) = p_j$, 则 $p$ 可表示为 $(\begin{smallmatrix}1 & 2 & 3 & \cdots & n \\ p_1 & p_2 & p_3 & \cdots & p_n \end{smallmatrix})$. 又若 $a_1,\ldots, a_n$ 是$n$排列,=
$p(a_j) = b_j\;(1\le j\le n)$, 则 $p$ 可表示为 $(\begin{smallmatrix}a_1 & a_2 & a_3 & \cdots & a_n \\ b_1 & b_2 & b_3 & \cdots & b_n\end{smallmatrix})$j/G
1.2.8 命题 $p = (\begin{smallmatrix}a_1 & a_2 & a_3 & \cdots & a_n \\b_1 & b_2 & b_3 & \cdots & b_n \end{smallmatrix})$ 是奇(偶)置换当且仅当上下二排列奇偶性相异(同)。yz7
1.2.9 例 $\large(\begin{smallmatrix}1 & 2 & 3 & 4 \\ 4 & 3 & 1 & 2\end{smallmatrix}) (\begin{smallmatrix}1 & 2 & 3 & 4 \\ 3 & 1 & 2 & 4\end{smallmatrix})= (\begin{smallmatrix}1 & 2 & 3 & 4 \\ 4 & 3 & 1 & 2\end{smallmatrix}) (\begin{smallmatrix}4 & 3 & 1 & 2 \\ 4 & 1 & 2 & 4\end{smallmatrix}) = (\begin{smallmatrix}1 & 2 & 3 & 4 \\ 4 & 1 & 2 & 4\end{smallmatrix}) $}Xj#
 这里采用非传统映射复合记法 $(x)(f\circ g) = ((x)f)g$ 或 $x \overset{fg}{\mapsto} x_{fg} = (x_f)_g$O<'sX


发贴时间2013/02/03 04:05pm IP: 已设置保密[本文共2453字节]  
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  ©Elinkage数学论坛 -- Elinkage极酷超级论坛  r
$\S 1.2$ 置换 (2)$)8kkd
轮换va,
1.2.10 定义 若 $T=\{i_1,\ldots,i_k\} \subset I_n$ 是$k\,(\ge 1)$元集,$p \in S_n$ 使得uuk
     $i_j \overset{p}{\mapsto} i_{j+1}\;(1\le j < k),\quad i_k \overset{p}{\mapsto}i_1,\quad i\overset{p}{\mapsto} i\,(\forall i\in I_n\setminus T)$X.
     则称此特殊置换 $p$ 为一个 $k-$轮换. 记作 $(i_1, i_2, \ldots, i_k)$H
     $1-$轮换即恒等置换,$2-$轮换即对换。WkA-h*
1.2.11 例 $(\begin{smallmatrix}1 & 2 & 3 & 4 & 5\\ 4 & 2 & 3 & 5 & 1\end{smallmatrix}) = (1,4,5);\quad (\begin{smallmatrix}1 & 2 & 3 & 4 & 5\\ 3 & 5 & 4 & 2 & 1\end{smallmatrix}) = (1,3,4,2,5).$IT/
1.2.12 定义 若 $E=\{a_1,\ldots,a_i\},\, F=\{b_1,\ldots,b_j\} \subset I_n$ 不交,则称轮换<U%pq
     $(a_1,\ldots,a_i),\; (b_1,\ldots,b_j)$ 彼此独立。w<aX1
1.2.13 命题 两两彼此独立的轮换的乘积(复合)与相乘顺序无关。zK^
1.2.14 命题 任一置换均可分解为若干相互独立的轮换的乘积。c2q_%
1.2.15 例 $A = (1,3,4)(2,7,8,5),\; B = (2,4)(1,3,7),\;C = (3,5,2)(1,4,7),$=
           $D = (4,1,2,5)(6,8,9)$, 求乘积 $ABCD$.#P
     解:$ABCD = (1,3,4)(2,7,8,5)(2,4)(1,3,7)(3,5,2)(1,4,7)(4,1,2,5)(6,8,9)$(
                 $= (1,2)(3)(4)(5,7,9,6,8) = (1,2)(5,7,9,6,8)$YO}d-m
1.2.16 命题 $k-$轮换可表为$k-1$个对换的积:$(i_1,\ldots, i_k) = (i_1,i_2)(i_1,i_3)\cdots (i_1,i_k)$~
1.2.17 定理 奇(偶)置换能且只能表为奇(偶)数个对换的积。O9~oO
1.2.18 定理 若置换$p$是$d$个独立的轮换的积(包括所有$1-$轮换),则 $n(p) \equiv n-d \mod 2$。j\qWX
     证: 设 $p = \prod_{j=1}^d (i_{j,1},\ldots, i_{j,k_j})$, 则其奇偶性等同于各轮换的奇偶性之和cc;
          $\sum_{j=1}^k (k_j -1) = \sum_{j=1}^d k_j -d = n-d.\quad\square$USnX#3
     $n - d$ 叫作 $p$ 的定性数。用它计算置换的奇偶性很方便。注意不要忽略任何$1-$轮换。TyE


发贴时间2013/05/19 06:33pm IP: 已设置保密[本文共2047字节]  
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$\S 1.2$ 置换 (3)`s5-^B
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习题q9
1.  (1) $n,n-1,n-2,\ldots,3,2,1$ 的反序数是 $\displaystyle{\sum_{j=1}^{n-1} (n-j) = \sum_{i=1}^{n-1} i = \frac{n(n-1)}{2}}$fc
    (2) $1,3,5,\cdots,2n-1,2,4,6,\cdots,2n$ 的反序数同上。@l)j
    (3) $3,6,9,\cdots,3n, 1,4,7,\cdots, 3n -2, 2,5,8,\cdots, 3n-1$ 的反序数是t-B%U
        $\displaystyle{\sum_{j=1}^n (n -j +1) + \sum_{j=1}^n ((n-j+1)+(n-j)) = \frac{n(3n +1)}{2}}$86$SD
2.  $I_n$ 的排列 $a_1,\ldots,a_n$ 有$s$个逆序, 若以此排列为自然顺序, 求$1,2,\cdots,n$的逆序数。H
    显然置换 $(\begin{smallmatrix}1 & 2 & \ldots & n \\ a_1 & a_2 & \ldots & a_n\end{smallmatrix})$ 与 $(\begin{smallmatrix}a_1 & a_2 & \ldots & a_n \\ 1 & 2 & \ldots & n\end{smallmatrix})$ 互逆, 后者的逆序数即视 $a_1,\ldots,a_n$8GzP=*
       为自然顺序时 $1,\ldots,n$ 的逆序数: $n(\tau^{-1}) = |\{(a_i,a_j) \mid (i -j)(a_i - a_j) < 0\}|$=3:F`
$\qquad\quad\; = |\{(i,j)\mid (i-j)(a_i -a_j) < 0\}| = n(\tau) = s.\quad\square$p}
3.  $I_n$ 的排列 $a_1,\ldots,a_n$ 有$s$个逆序,问排列 $a_n,a_{n-1},\ldots, a_1$ 有多少逆序?;^Rhf
    设 $\tau,\,\sigma\in S_n\;(\tau(k) = a_k =\sigma(n-k+1),\,\;(k = \overline{1,n}))$gIW 9
$\qquad\quad\; P = \{(j,i)\mid 1\le i < j\le n\}$, 则 $N(\tau)\cap N(\sigma) = \varnothing,\;N(\tau)\cup N(\sigma) = P$n_
$\qquad\quad\;$故 $n(\tau) + n(\sigma) = \binom{n}{2},\quad n(\sigma) = \binom{n}{2} -s.\quad\square$x,l{;


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$\S 1.2$ 置换 (4)>i$86a


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