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  1.1 Elementary Calculus%\k#L
©Elinkage数学论坛 -- Elinkage极酷超级论坛  3]
1.1.1(Fa87) $(\cos\theta)^p\le\cos(p\theta),\quad \forall p\in (0,1), \forall\theta \in [0,\pi/2]$B
1.1.2(Fa77) $(f\in C^1[0,1])\wedge (f(0)=0)$KXAT&4
$\qquad\qquad\qquad\implies\displaystyle{\underset{0\le x \le 1}{\sup} |f(x)| \le \left(\int_0^1 ({f} \ '(x))^2dx \right )^{1/2}}$6
1.1.3(Sp81) $\displaystyle(f(1)=1)\wedge(f\ '(x)=\frac{1}{x^2+f(x)^2},\ x\in [1,\infty))$0
$\qquad\qquad\qquad\implies\displaystyle\lim_{x\to\infty}f(x)\le 1+\frac{\pi}{4}$Pq2'6
1.1.4(Sp95) $(C[0,1] \ni f,g \ge 0) \wedge (\sup f[0,1] = \sup g[0,1])$vH
$\qquad\qquad\qquad \implies \exists t\in [0,1] \ (f(t)^2 = 3f(t) = g(t)^2 + 3g(t))$V
1.1.5(Fa86) Def. $\Delta f(x)=f(x+1)-f(x),\;(f\in R^R,n \ge 1)$ 7j
Then $\displaystyle{\Delta^n f = 0 \iff f(x) = \sum_{k=0}^{n-1} a_k(x) x^k,\small\ (\Delta a_k(t)=0,\ k=\overline{0,n-1})}$('<
1.1.6(Fa81) Prove or disprove the following statements:c
1. $\small\displaystyle{\big(f,g \in R^R, \; \lim_{t\to a} g(t) = b,\;\lim_{t\to b}f(t)= c\big)\implies\left(\lim_{t\to a}f(g(t))=c\right)}$@m&NV}
2. $f \in C(R,R),U\subset R$ is open in $R$, then $f(U)$ is open in $R$@U
3. $f\in C^{\infty}(-1,1),|f^n|\le 1 \ (\forall n\ge 1 \ \forall x) \implies f$ is real analytic..0G
1.1.7(Su81) Let $\displaystyle{y(h) = 1-2\sin^2(2\pi h),\ f(y)=\frac{2}{1+\sqrt{1-y^2}}}$.6O_R
Prove that$\;\; f(y(h)) = 2 - 4\sqrt{2}\pi + O(h^2)\;$where$\;\small\displaystyle{\underset{h\to 0}{\lim \sup} \frac{O(h^2)}{h^2} < \infty}$YRWn
1.1.8(Fa82)n'CK
 1. Prove that there is no continues map from $[0,1]$ to $(0,1)$f$,Q
 2. Find a continues surjective map from $(0,1)$ onto $[0,1]$6
 3. Prove that no map in Part 2 can be bijective.]mgx}
1.1.9(Fa94,Sp98) Find the maximum area of all triangles that can be inscribed in@
   an ellipse with semiaxes $a$ and $b$, and describe the triangles that havee
   maximum area.  Hint:the ellipse is given by $x = a\cos t,\ y = b\sin t,\ t\in [0,2\pi]$\gr$Z$
1.1.10(Fa93) Let $f \in C([0,\infty),R),\ A = \{a | f(x_n)\to a, x_n \to \infty (n\to \infty), \{x_n\} \in R^{[0,\infty)}\}$*6m
   Prove that $A$ is an interval.<KY}e2


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  Solutions E
1.1.1 Let $f(\theta) = \cos p\theta -(\cos\theta)^p$. Then $f(0) = 0$ andp]tU
     $\displaystyle{f\ '(0) = p\left(-\sin p\theta +\frac{\sin\theta}{\cos^{1-p}\theta} \right ) > 0 \quad (0 <  p < 1,\ \theta\in [0,\pi/2])}$l'S];b
1.1.2 $\displaystyle{|f(x)| = \left|\int_0^x f\ '(t) dx\right| }$>3
             $\displaystyle{\le \left(\int_0^x |f\ '(t)|^2dt \right)^{\frac{1}{2}}\left(\int_0^x 1^2 dt \right )^{\frac{1}{2}} \le \left(\int_0^1 |f\ '(t)|^2dt \right)^{\frac{1}{2}}}$  KV>_]h
1.1.3 Since $f\ ' > 0, f(1) = 1$, we've $f(t) > f(1) = 1\ (t > 1)$ andOKJ
     $\displaystyle{f\ '(t) = \frac{1}{t^2+(f(t))^2} <  \frac{1}{t^2 + 1},\quad f(x)-f(1) = \int_1^x f\ '(t)dt <  \int_1^{\infty}\frac{1}{t^2+1}dt = \frac{\pi}{4}}$j
     Therefore the limit exists and $\displaystyle{\lim_{x\to\infty}f(x) = 1+\int_1^{\infty}f\ ' <  1+\frac{\pi}{4}}$&@
1.1.4 Since $[0,1]$ is compact and $f,g$ are continues, there are $\alpha,\beta\in [0,1]$ such that>P|7
     $f(\alpha) = g(\beta) = \sup f([0,1])$ thus $h = f - g$ has zero $t\in [0,1]$ and so:&Dg:
     $f^2(t)+3f(t) = g^2(t)+3g(t)$ since $f(t) = g(t)$l@aO
1.1.5 We prove this by induction on the degree of the 1-periodic polynomial|{xhhY
     Clearly $\Delta f = 0 \Leftrightarrow f$ is 1-periodic $\Leftrightarrow f(x) = a_0(x) x^0$ with $a_0 = f$ 1-periodicK
     Assume that $\displaystyle{\Delta^k f = 0 \Leftrightarrow f(x) = \sum_{n=1}^{k-1} a_n(x) x^n}\ (a_n \text{ be 1-periodic, } n=\overline{1,k-1})$R5
     Now if $\Delta^n f = 0$, then by the assumption above, $\Delta f$ is a periodic polynomialcjZU
     of degree $\le n-2$: $\displaystyle{\Delta f (x) = \sum_{k=1}^{n-1} a_k(x)x^k,\ (a_k(x+1)\equiv a_k(x),\ \forall x,\ k=\overline{1,n-2})}$G$qM@D
1.1.6 令$\; f = g = \chi_{\{0\}}.\;$则$\;\displaystyle{\lim_{x\to 0} f(x)=\lim_{x\to 0} g(x)=0.\;}$但$\;\displaystyle{\lim_{x\to 0} f(g(x))= 1\ne 0.}$im:
$\qquad(2)\quad f: x\mapsto x^2.\quad f((-1,1))=[0,1)\ne [0,1)^{\circ}$KM).h
$\qquad(3)\quad$对$\;x,x_0\in(-1,1),\;$由Taylor定理,有$\,\xi\in(-1,1)\,$使:mW_
$\qquad\displaystyle{\qquad f(x)=\sum_{k=0}^{n-1}\frac{f^{(k)}(x_0)}{k!}(x-x_0)^k +\frac{f^{(n)}(\xi)}{n!}(x-x_0)^n}\quad(n\in\mathbb{N})$CV
$\qquad\because\;\;\displaystyle{\bigg|\frac{f^{(n)}(\xi)}{n!}(x-x_0)^n\bigg|\le \frac{|x-x_0|^n}{n!}\to 0\;(n\to\infty)}$1
$\qquad\therefore\;\;\displaystyle{f(x)=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{f^{(k)}(x_0)}{k!}(x-x_0)^k}.\quad\square$-SI
1.1.7 显然$\,f(y(h))\to 2.\,$题目有误. 由$\;\displaystyle{\lim_{h\to 0}\frac{\frac{2}{1+\sqrt{2}\sin(2\pi h)}-(2-4\sqrt{2}\pi h)}{h^2}=16\pi^2}\;$知,1o@ZU
$\qquad$若令$\;f(y)=\small\dfrac{2}{1+\sqrt{1-y}},\;$则$\;f(y(h)) = 2-4\sqrt{2}\pi h + O(h^2).$p</
1.1.8 (1)若$\;f:[0,1]\to (0,1)\;$为连续满射,取$\;x_n\in f^{-1}((0,1/n)).\;$则$\;\{x_n\}\,$有收敛子列.r~EOr
$\qquad$不妨设该序列收敛,于是由$\,f\,$的连续性,$\;f(x_n)\to 0\not\in(0,1).\;$矛盾.4d>
(2)$\quad$取$\;\sin(2\pi x)\,$即可.A


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  1.1.11(Su81) Show that the equation $\displaystyle{x\bigg(1+\log\frac{1}{\epsilon\sqrt{x}} \bigg) = 1,\ (x,\epsilon > 0)}$ppn
     has exactly tow solutions for sufficiently small $\epsilon$'s. Let $x(\epsilon)$ be the smaller one,N
     then (1). $x(\epsilon) \to 0$ as $\epsilon \to 0+$;  yet for any $s > 0$,  (2). $\epsilon^s x(\epsilon) \to \infty$ as $\epsilon \to 0+$T
1.1.12(Sp82) Suppose that $f\in \mathbb{R}[x]$ and $a\in\mathbb{R}$ with $f(a)\ne 0$ Show thatz"!a?
     $\exists g\in\mathbb{R}[x]$ such that $p(a) = 1,\ p'(a) = 0,\ p''(a) = 0$ where $p(x) = f(x)g(x)$p+
1.1.13(Su84) If $p\in\mathbb{R}[x]$ be nonconstant with $p(a)\ne 0,\ p'(a)=p''(a) = 0$ for some $a\in\mathbb{R}$,+
     then $p(z) = 0$ has a nonreal root.N
©Elinkage数学论坛 -- Elinkage极酷超级论坛  9`5^Ox
1.1.14(Fa84) Let $f\in C^2(\mathbb{R})$ with $A=\sup |f|(\mathbb{R}) < 0, B = \sup |f''|(\mathbb{R}) < 0$!
     Prove that $\displaystyle{\sup_{x\in\mathbb{R}} |f\ '(x)| \le 2\sqrt{AB}}$C:s8
1.1.15(Fa90) Find all $(a,b)\in\mathbb{N}^2$ such that $0< a < b$ and $a^b = b^a$kY0snU
1.1.16(Sp92) For which $a,b\in\mathbb{N}^+$ with $a > 1$ does $log_a x = x^b$ have a solution $x ( > 0)$?SRUP%C
1.1.17(Sp84) Which number is larger, $\pi^3$ or $3^{\pi}$?4a?q
1.1.18(Sp94) For which numbers $a\in (1,\infty)$ is it true that $x^a \le a^x,\ \forall x\in(1,\infty)$,)?
1.1.19(Sp96) Show that a constant $t > 0$ can satisfy $e^x > x^t (\forall x > 0)$ iff $t < e$`US5
1.1.20(Su77) If $f\in C^3[-1,1]$, then $\displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty}(n(f(1/n) - f(-1/n)) - 2f\ '(0))}$ converges.Nrs


发贴时间2012/02/07 02:59am IP: 已设置保密[本文共1722字节]  
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  SolutionshCR]8
1.1.11 Let$\;f(x)=x(1+\ln{\small\dfrac{1}{\varepsilon\sqrt{x}}}),\;$then $f\ '=\frac{1}{2}-\ln\varepsilon -\frac{1}{2}\ln x$9
$\qquad x_0 = \small\dfrac{e}{\varepsilon^2}\,$is the only zero for $f\ '(x)\,$with$\,f(x_0)=\small\dfrac{e}{2\varepsilon^2},$Q#!)
$\qquad f\,$increasing($\color{grey}{\text{decreasing}}$) strictly on $(0,x_0)\,(\color{grey}{(x_0,\infty)})$. vz
$\quad\therefore f = 1\,$has exactly one root in each open intervalz\+{
$\qquad$above. Denote the one in$\,(0,x_0)\,$by$\,x(\varepsilon).\;$,#
$\qquad$i9Fy]P
(1)$\;\because\;\;{\small\ln\dfrac{1}{\varepsilon\sqrt{x(\varepsilon)}}> \ln\dfrac{1}{\varepsilon\sqrt{x_0}}} = -2^{-1}+\ln\varepsilon^{-1}$(PIt
$\quad\therefore\;\;0 <  x(\varepsilon) = (1+\ln\frac{1}{\varepsilon\sqrt{x(\varepsilon)}})^{-1}<  (\ln \varepsilon^{-1})^{-1}\to 0\;(\varepsilon\to 0+)\;$G-sq4,
(2) Differentiate$\,f(x(\varepsilon))=1\,$with respect to $\;\varepsilon,\;$ we have6b
$\qquad x'(\frac{1}{2}+\ln\frac{1}{\varepsilon\sqrt{x}})= \frac{x}{\varepsilon}.\;$But$\;f(x(\varepsilon))=1\implies 1+\ln\frac{1}{\varepsilon\sqrt{x}} = \frac{1}{x}$K
$\qquad$Thus$\;\displaystyle{\big(\frac{1}{x^2}-\frac{1}{2x}\big)dx = \frac{d\varepsilon}{\varepsilon},\;\; \ln\sqrt{x}+\frac{1}{x} = \ln C\varepsilon^{-1}\underset{\,}{,}}$>e%
$\qquad\boxed{\;\sqrt{x}e^{x^{-1}}=C\varepsilon^{-1}\;(C > 0)}$adc'`
$\qquad\displaystyle{\lim_{\varepsilon\to 0+}\frac{x(\varepsilon)}{\varepsilon^a}=\lim_{\varepsilon\to 0+}\frac{(x(\varepsilon))^{1+\frac{a}{2}}e^{\frac{a}{x(\varepsilon)}}}{C^a}=\lim_{x\to 0+}\frac{x^{1+\frac{a}{2}}e^{\frac{a}{x}}}{C^a} = 0}$J
$\qquad \overset{\;}{(\forall a > 0)}.\quad\square$IdtQ&
1.1.12 Let$\;g(x)=\displaystyle{\sum_{k=0}^n a_k(x-a)^k}.\;$Simple calculation shows thatX<6Ki/
$\qquad\small\displaystyle{ a_0=\frac{1}{f(a)},\;\;a_1 = -\frac{f\ '(a)g(a)}{f(a)},\;\;a_2=\frac{f\ ''(a)g(a)+f\ '(a)g'(a)}{f(a)},\;\;n=2}$raq
$\qquad$makes$\;g\,$meet the requirements.*"R}|
1.1.13 Suppose$\;\deg P=n=n_1+\cdots +n_k,\;P(x)=A(x-x_1)^{n_1}\cdots (x-x_k)^{n_k},$4;['
$\qquad$where$\;n_j\in\mathbb{N}^+,\, x_j\in\mathbb{R}\ni A,\; j=\overline{1,k}\;$and$\;x_i\ne x_j\,(1\le i< j\le k)$. )Pi
$\qquad$then by Rolle's Theorem,$\displaystyle{\;P'(x)=\prod_{j=1}^k(x-x_j)^{n_j-1}\prod_{i=1}^{k-1}(x-t_i)}.$qr
$\qquad$where$\,\;x_i< t_i< x_{i+1}\;(i=\small\overline{1,k-1}).\;$Since$\;a\,$is a multiple zero of$\,P',$l Ow|
$\qquad a\not\in\{t_1,\ldots,t_{k-1}\};\;$since$\,P(a)\ne 0,\;a\not\in\{x_1,\ldots,x_k\}.\;$Contradict to theuU
$\qquad$asumption of $\,P'(a)= 0.\;$ Hence$\,P\;$has at lease one non-real zero.2


发贴时间2016/09/25 11:55am IP: 已设置保密[本文共2626字节]  
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