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Elinkage数学论坛基础数学 [返回] → 浏览:[分享]集合序列的上下极限和(收敛)集列的极限 标记论坛所有内容为已读 

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  定义: 若集列$\{A_n\},$集合$\,A\,$使得$\;\forall x\,\exists N\in\mathbb{N}\,\forall n> N\;(x\not\in \Delta(A_n, A))\underset{\,}{,}$H0Sg
$\qquad$则称$\;\{A_n\}\,$收敛,$\displaystyle{\;A = \lim_{n\to\infty}A_n}\,$是其极限.=
运算$\,\Delta\;\;\color{blue}{\big(\,\Delta(A,B) = A\Delta B =(A-B)\cup(B-A)\big)}\underset{\,}{\,}$叫作$\,A,\,B\,$的对称差.oW0F
它汇总因而反映了二集合的全部差别($A=B\iff A\Delta B\underset{\,}{=}\varnothing$)。f'KF%w
©Elinkage数学论坛 -- Elinkage极酷超级论坛  yYe
从(数列极限)$\displaystyle{\,\lim_{n\to\infty}a_n = a\iff \forall\varepsilon > 0\,\exists M\in\mathbb{N}\,\forall n> M\;(|a_n -a| <\varepsilon)}$y%t0[l
可以看见两种全然不同的序列的极限定义的某种平行关系: 距离$\sim \Delta\underset{\,}{,}$(po#C
距离渐近到$\,0\,\sim\,$对称差渐近到$\varnothing$.F@?Ls
©Elinkage数学论坛 -- Elinkage极酷超级论坛  3%
命题:收敛集列$\,\{A_n\}\,$的极限$\displaystyle{\,\lim_{n\to\infty}A_n\,}$唯一.78S_.G
证:假定$\;A,\,B\,$按定义都是$\,\{A_n\}\,$的极限,$x\in A-B\ne\varnothing.\;$取$\,N\,$使得H
$(\dagger)\quad\forall n> N\,(x\not\in\Delta(A_n,A))\wedge(x\not\in\Delta(A_n,B)).$b
$\qquad$于是$\,(x\in A)\wedge(x\not\in A-A_n)\,(n> N),$ 可见$\;x\in A_n\,(n>N)$.23<9
$\qquad$但$\,(x\in A-B)\implies x\not\in B.\;$故$ x\in A_n-B\subset\Delta(A_n,B)\small\,(n > N)$#P
$\qquad$这与$(\dagger)\,$矛盾.所以$\,A-B=\varnothing,\;A\subset B.\;\;$对称地推得$\,A = B.\quad\square$ (=>P(
©Elinkage数学论坛 -- Elinkage极酷超级论坛  rqB:Au
定理1$\;\;(\{A_n\}\,$收敛$)\displaystyle{\;\iff \forall x\,\exists N\,\big(\big(x\in\bigcap_{n\ge N}A_n\big)\vee \big(x\in\bigcap_{n\ge N}A_n^c\big)\big)}$r 'P
证:设有$\,A,\;$使$\;\forall x\,\exists N\,\forall n>N\,(x\not\in\Delta(A_n,A)=(A_n\cup A)-(A_n\cap A))\underset{\,}{,}$GO
$\qquad$则$\;\forall x\,\exists N\,\forall n> N\,(x\in (A_n^c\cap A^c)\cup(A_n\cap A)).\;$若$\,x\in A\underset{\,}{,\;}$这蕴含)3N1%
$\displaystyle{\qquad \exists N\,\big(x\in\bigcap_{n\ge N}A_n\big)}.\underset{\,}{\;}$对称地,$\;x\in A^c\,$时有$\displaystyle{\exists N\,\big(x\in\bigcap_{n\ge N}A_n^c\big)}.\;\;$下证{
$\underset{\,}{\qquad}(\Longleftarrow)\;$令$\displaystyle{\;A=\bigcup_{k}\bigcap_{m\ge k}A_m},\,$则"[
$\qquad\qquad\displaystyle{\,\Delta(A_n,A)=\big(\bigcap_{k}\bigcup_{m\ge k}(A_n-A_m)\big)\cup\big(\bigcup_{k}\bigcap_{m\ge k}(A_m-A_n)\big)}.\;$易见M3.Dd<
$\qquad\qquad$当$\,x\in\displaystyle{\bigcap_{n\ge N}A_n}\,$时$\displaystyle{\,x\not\in\bigcup_{m\ge N}(A_n-A_m)\cup\bigcap_{m}(A_m-A_n)\,(\forall n\ge N)}$Z
$\qquad\qquad$易验证这对$\displaystyle{\;x\in\bigcap_{n\ge N}A_n^c}\,$也是成立,故$\;x\not\in\Delta(A_n,A)\,(n\ge N)$.lLm
©Elinkage数学论坛 -- Elinkage极酷超级论坛  LI_/nv
注记:定理1指出, 集列的极限恰含除有限项外属于一切项的元素, 0)!
$\qquad$并且不属于极限的元素至多属于集列的有限多个集.D'G-%
©Elinkage数学论坛 -- Elinkage极酷超级论坛  BDCk
令 $\displaystyle{G_n = \bigcup_{m=n}^{\infty}A_m,\;\;F_n = \bigcap_{m=n}^{\infty}A_m},\;$则$\;F_n\subset F_{n+1}\subset G_{n+1}\subset G_n\;(\forall n).$4z
©Elinkage数学论坛 -- Elinkage极酷超级论坛  ~s>
故$\;\{F_n\}\,$单调增,$\;\{G_n\}\,$单调减, 且恒有$\;(\dagger):\;\;F_m\subset G_n\,(\forall m,n)$B%8a7K
命 $\displaystyle{\underline{A} = \bigcup_{n=1}^\infty \ F_n,\;\;\overline{A} = \bigcap_{n = 1}^\infty\ G_n.\;\;}$由$\;(\dagger),\;\;\underline{A}\subset\overline{A}\,.\;\;$进一步不难证明有l`
$\qquad\overline{A} = \{x \mid 使\ x\in A_k\,的\,k\,无穷多\  \}=\{x\mid \forall M\exists n\ge M\;(x\in A_n)\}\underset{\,}{,}$G!?jAw
$\qquad\underline{A} = \{x \mid 使\ x\notin A_k\,的\,k\,有限多\  \}=\{x\mid \exists M\forall n\ge M\;(x\in A_n)\}\underset{\,}{.}$61GM[|
$\qquad\small\overline{\{E-A_n\}} = E-\underline{\{A_n\}},\quad\underline{\{E-A_n\}}=E-\overline{\{A_n\}}\;\;(\forall E)$~@ !0
©Elinkage数学论坛 -- Elinkage极酷超级论坛  C
与数列的$\;\displaystyle{\underset{n\to\infty}{\overline{\lim}}a_n = \underset{n\in\mathbb{N}}{\inf}\sup\{a_m\mid m\ge n\},\;\underset{n\to\infty}{\underline{\lim}}a_n = \underset{n\in\mathbb{N}}{\sup}\,\inf\{a_m\mid m\ge n\}}$<)LT
相仿, 定义$\{A_n\}$的下/上极限(恒存在)为$\;\displaystyle{\underset{n\to\infty}{\underline{\lim}}A_n = \underline{A},\;\;\underset{n\to\infty}{\overline{\lim}}A_n = \overline{A}.\;\; }$*)i1
定理2 $\displaystyle{(\lim_{n\to\infty}A_n = A)\iff (\underset{n\to\infty}{\overline{\lim}}A_n =\underset{n\to\infty}{\underline{\lim}}A_n = A)}$wY/Va"
证:假定$\displaystyle{\;\lim_{n\to\infty}A_n = A}.\;$任给$\,x,$n6?
$\qquad\exists M\in\mathbb{N}\,\forall n> N\,(x\not\in A_n\Delta A=(A_n\cup A)-(A_n\cap A))\,$.c
$\qquad$若$\,x\in A,\,$这表明$\;x\in A_n\cap A\subset A_n\,(\forall n> M).\;\;\therefore A\subset\underline{A}$Uv8^
$\qquad$若$\,x\not\in A,\,$这表明$\;x\not\in A_n\,(\forall n> M).\;\;\therefore \bar{A}\subset A\subset \underline{A}\underset{\,}{.}$$*Y\jY
$\qquad$反过来,假定$\,\underline{A}=\overline{A}=A.\,$则NQ|p:
$\qquad x\not\in A=\overline{A}\implies \exists M\forall n>M\,(x\not\in A_n\implies x\not\in A_n\Delta A)$Z
$\qquad x\in A=\underline{A}\implies\exists M\forall n>M (x\in A_n\implies x\not\in A_n\Delta A)\underset{\,}{\,}$"=&#h
$\;\;\therefore\;\,\forall x\exists M\,\forall n> M\,(x\not\in A_n\Delta A).\quad\text{i.e.}\;\;\displaystyle{\lim_{n\to\infty}A_n = A}\quad\square$^



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  我们需要用到对称差的下列性质:Gv
©Elinkage数学论坛 -- Elinkage极酷超级论坛  6h
$(1)\;A\Delta \varnothing = A,$Z3Ikn/
$(2)\;A\Delta A = \varnothing,$^
$(3)\;A^c\Delta B^c = A\Delta B$%=d
$(4)\;A\Delta B = B\Delta A\;$(交换律),m
$(5)\;(A\Delta B)\Delta C = A\Delta(B\Delta C)\;$(结合律)W'Fo?
©Elinkage数学论坛 -- Elinkage极酷超级论坛  $E;Xi
证明$\,(5)\,$(余证略):$\;(A\Delta B)\Delta C \underset{\,}{=}$g`
$\qquad =(((A-B)\cup(B-A))-C)\cup(C-((A-B)\cup(B-A)))$a"4
$\qquad =((A\cap B^c\cap C^c)\cup(A^c\cap B\cap C^c))\cup(C\cap((A^c\cup B)\cap(A\cup B^c)))$IBT
$\qquad \underset{\,}{=}((A\cap B^c\cap C^c)\cup(A^c\cap B\cap C^c))\cup(C\cap((A^c\cap B^c)\cup(A\cap B)))$D~
$\qquad \underset{\,}{=}(A\cap B^c\cap C^c)\cup(A^c\cap B\cap C^c)\cup(A^c\cap B^c\cap C)\cup(A\cap B\cap C)$V9e
$\qquad$于是$\underset{\,}{\;}A\Delta(B\Delta C)=(B\Delta C)\Delta A$  代入上式,并作简单交换整理有=Dif#
$\qquad \underset{\,}{=}(B\cap C^c\cap A^c)\cup(B^c\cap C\cap A^c)\cup(B^c\cap C^c\cap A)\cup(B\cap C\cap A)$zH)z
$\qquad \underset{\,}{=}(A\cap B^c\cap C^c)\cup(A^c\cap B\cap C^c)\cup(A^c\cap B^c\cap C)\cup(A\cap B\cap C)$xa{qN
$\qquad = (A\Delta B)\Delta C.\quad\square$m"n#
©Elinkage数学论坛 -- Elinkage极酷超级论坛  :"C/
利用上述结果$,\,(A\Delta C)\Delta (B\Delta C)=A\Delta(C\Delta C)\Delta B = A\Delta B$5 t}_S
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定义:若$\;\forall x\,\exists M\,\forall m,n > M\;(x\not\in A_m\Delta A_n),\;$则称集列$\,\{A_n\}\,$为Cauchy列.4Bsy 4
©Elinkage数学论坛 -- Elinkage极酷超级论坛  .iK
定理3: 集列$\underset{\,}{\;}\{A_n\}\,$收敛当且仅当$\,\{A_n\}\,$是Cauchy列.dz/.o
证: 由$\;(x\not\in A_n\Delta A\,(\forall n>M))\implies (x\not\in (A_m\Delta A)\Delta(A_n\Delta A)= A_m\Delta A_n\underset{\,}{\,}$`iPp|
$\qquad(\forall m,n>M)),\underset{\,}{\;}$即收敛集列必为Cauchy列. 又因V;-
$\underset{\,}{\qquad}(\exists x\in\overline{A}-\underline{A})\implies \exists x\,\forall M\,\exists m,n > M\;((x\not\in A_m)\wedge(x\in A_n))$={
$\qquad$可见$\,\{A_n\}\,$发散时必不是Cauchy列$.\quad\square$6



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  为完整起见, 附上集列上下极限的集论意义,R
${\qquad}\overset{^\,}{\overline{A}} = \{x \mid 使\ x\in A_k\,的\,k\,无穷多\  \}=\{x\mid \forall M\exists n\ge M\;(x\in A_n)\}\underset{\,}{,}$w
$\underset{\,}{\qquad}\underline{A} = \{x \mid 使\ x\notin A_k\,的\,k\,有限多\  \}=\{x\mid \exists M\forall n\ge M\;(x\in A_n)\}.$K5C/h
$\qquad\small\overline{\{E-A_n\}} = E-\underline{\{A_n\}},\quad\underline{\{E-A_n\}}=E-\overline{\{A_n\}}\;\;(\forall E)$)Fv
的证明:$\displaystyle{\;\; x\in\underline{A}\iff\exists n\;(x\in F_n=\bigcap_{m\ge n}A_m)\iff \exists M\,\forall n\ge M\,(x\in A_n)},$kL)f6z
$\displaystyle{\qquad\qquad x\in\overline{A}\iff\forall n\,(x\in G_n=\bigcup_{m\ge n}A_m)\iff \forall M\,\exists n\ge M\,(x\in A_n)}.$%H
$\small\displaystyle{\qquad\qquad\bigcap_{n}\bigcup_{m\ge n}(E-A_m) = E\cap\bigcap_{n}\bigcup_{m\ge n}A_m^c = E\cap\big(\bigcup_{n}\bigcap_{m\ge n}A_m\big)^c= E-\underline{A} }$!Pez3
$\small\displaystyle{\qquad\qquad\bigcup_{n}\bigcap_{m\ge n}(E-A_m) = E\cap\bigcup_{n}\bigcap_{m\ge n}A_m^c = E\cap\big(\bigcap_{n}\bigcup_{m\ge n}A_m\big)^c= E-\overline{A} }$@#Z'
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例:令 $\quad A_n = \left\{\begin{array}{ll} \{1,\cdots,n\}, & 2\nmid n,\\ \{n,n+1,\cdots\}, & 2\mid n. \end{array}\right.\quad(n\in\mathbb{N}^+)$fL
$\qquad$则$\displaystyle{\quad\forall k\,\forall n\,(k\in G_n =\bigcup_{m\ge n}A_m)\implies G_n = \mathbb{N}\implies \overline{A}=\bigcap_{n\ge 1}G_n =\mathbb{N}}$y=^O7
$\displaystyle{\qquad\qquad\forall k\,\forall n\,(k\not\in F_n =\bigcap_{m\ge n}A_m)\implies F_n = \varnothing\;\implies \underline{A}=\bigcap_{n\ge 1}F_n =\varnothing}$ c&[I's
$\qquad$可见$\;\;\underline{A}\ne \overline{A},\quad\{A_n\}\,$发散.f^aa`F
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评注: 单调集列必收敛$\underset{\,}{\,}$S-Q
设 $\{A_n\}$ 是单调增集列 ($A_n \subset A_{n+1},\ n = 1,2,\cdots$) 则 $\displaystyle{F_n = \bigcap_{m=n}^\infty A_m = A_n}$HRa)q0
$\qquad\displaystyle{G_n=\bigcup_{m\ge n} A_m = \bigcup_{n\ge 1} A_n\ \implies \overline{A}=\bigcap_{n}\,G_n = \bigcup_{n} A_n =\bigcup_{n} F_n =\underline{A}}$QY
$\;\;\therefore\;\; \displaystyle{\lim_{n\to\infty} A_n =\bigcup_{n} A_n }$[H*rV
设 $\{A_n\}$ 是单调降集列 ($A_{n+1} \subset A_n ,\ n = 1,2,\cdots$) 则 $\displaystyle{G_n = \bigcup_{m\ge n} A_m=A_n}$b3j].
$\qquad\displaystyle{F_n =\bigcap_{m\ge n} A_m = \bigcap_{n\ge 1} A_m\ \implies \underline{A}=\bigcup_{n=1}\ F_n = \bigcap_{n} A_n =\bigcap_{n}\ G_n = \overline{A}}$PI
$\;\;\therefore\;\; \displaystyle{\lim_{n\to\infty} A_n =\bigcap_{n} A_n }$&



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  定理4:集列的极限对于集合运算有下列良好性质:V~
$\overset{\,}{\quad(1)}\underset{\,}{\;}(A_n\to A)\iff (\Delta(A_n,A)\to\varnothing)$D[
$\quad(2)\underset{\,}{\;}(A_n\to A)\implies (A_n^c\to A^c)$<us[
$\quad(3)\underset{\,}{\;}(A\leftarrow B_n\subset A_n\subset C_n\to A)\implies (A_n\to A)$lM2v
$\quad(4)\underset{\,}{\;}(A_n\to A)\wedge(B_n\to B)\implies (A_n\cup B_n\to A\cup B)$,#E
$\quad(5)\underset{\,}{\;}(A_n\to A)\wedge(B_n\to B)\implies (A_n\cap B_n\to A\cap B)$|Ys<
证:$(1)\underset{\,}{\;}$显然. 但务必注意$\,\lnot(((A_n-A)\to\varnothing )\implies (A_n \to A))$。=WC
$\underset{\,}{\qquad}(2)\;$这是$\,A^c\Delta B^c = A\Delta B\;$的直接推论.uS4Pq
$\qquad(3)\;$此即两边夹定理. 由以下命题导出.W
$\underset{\,}{\qquad}\quad\;\;B_n\subset A_n\subset C_n\,(\forall n)\implies(\underline{B}\subset\underline{A}\subset\underline{C})\wedge(\overline{B}\subset\overline{A}\subset\overline{C})$%e4xl
$\underset{\,}{\qquad}(4)\;\Delta(A_n\cup B_n,\,A\cup B)=((A_n\cup B_n)\cap A^c\cap B^c)\cup((A\cup B)\cap A_n^c\cap B_n^c)$p
$\underset{\,}{\qquad}\quad\;\subset(A_n-A)\cup(B_n-B)\cup(A-A_n)\cup(B-B_n)=\Delta(A_n,A)\cup\Delta(B_n,B)$FN
$\underset{\,}{\qquad}(5)\;$同理$\,\Delta(A_n\cap B_n,\,A\cap B)\subset\Delta(A_n,A)\cup\Delta(B_n,B).\quad\square$:L



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