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Elinkage数学论坛基础数学 [返回] → 浏览:[分享]三角形的一个面积性质 标记论坛所有内容为已读 

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 elim 
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设 $P$ 是三角形 $\Delta ABC$ 内一点,过 $\{A,P\ \},\{B,P\ \}$ 和 $\{C,P\ \}$ 的三直线交8Hk
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$\Delta ABC$ 于 $A_1, B_1$ 及 $C_1$, 点 $A_m,B_m,C_m$ 是线段 $\overline{AA}_1,\overline{BB}_1$ 和 $\overline{CC}_1$ 的中点0?*8
©Elinkage数学论坛 -- Elinkage极酷超级论坛  g
试证 $|\Delta A_1 B_1 C_1| = 4 |\Delta A_m B_m B_m|$F6j}=
©Elinkage数学论坛 -- Elinkage极酷超级论坛  .@;C
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发贴时间2011/08/31 07:35am IP: 已设置保密[本文共329字节]  
 elim 
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如主贴题设,令 $A_2, B_2, C_2$ 分别为 $P$ 在线段 $\overline{AA}_1,\overline{BB}_1,\overline{CC}_1$ 上关于线段中点IabT
的对称点。我们只要证明 $|\Delta A_1B_1C_1| = |\Delta A_2 B_2 C_2|$7J2
©Elinkage数学论坛 -- Elinkage极酷超级论坛  R<
为了方便,用 $[A_1 A_2\cdots A_k]$ 表示折线 $\overline{A_1A_2\cdots A_k A_1}$ 所围有界区域的面积[q=35
©Elinkage数学论坛 -- Elinkage极酷超级论坛  Z-
于是有 $[ABC]-[A_2B_2C_2]=[ACC_2A_2]+[BAA_2B_2]+[CBB_2C_2]$ (见右上简图)19tR
©Elinkage数学论坛 -- Elinkage极酷超级论坛  <
易见(由所设对称性及【底,高相同的三角形面积同】)(
$[ACC_2A_2] = [ACC_2]+[AC_2A_2]=[APC_1]+[PA_1C_2]$d{:
$[BAA_2B_2]=[BPA_1]-[PB_1A_2]$ (注意这里的负号!)y1e
$[C\;BB_2C_2]=[CPB_1]+[PC_1B_2]$XWs
©Elinkage数学论坛 -- Elinkage极酷超级论坛  %Tl
于是©Elinkage数学论坛 -- Elinkage极酷超级论坛  R(x2
$[ABC]-[A_2B_2C_2]=[ACC_2A_2]+[BAA_2B_2]+[CBB_2C_2]$o-
 $=\left([APC_1]+[BPA_1]+[PC_1B_2]\right )+\left( [PA_1C_2]+[CPB_1]-[PB_1A_2]\right )$ 4GS
 $=\left([APC_1]+[BPA_1]+[PC_1B_2]\right )+[CB_1A_2A_1C_2]$Onam#u
 $=[ABC]-[AA_2B_1]-[BB_2C_1]-[CC_2A_1]$  (见上图右下)aR
©Elinkage数学论坛 -- Elinkage极酷超级论坛  )LO ~0
所以©Elinkage数学论坛 -- Elinkage极酷超级论坛  l+rWr
$\begin{array}{ll} [A_2B_2C_2] &=& [AA_2B_1]+[BB_2C_1]+[CC_2A_1]\\n&
&=& [PA_1B_1]+[PB_1C_1]+[PC_1A_1] = [A_1B_1C_1]u~&
©Elinkage数学论坛 -- Elinkage极酷超级论坛  (#HUk
\end{array}$|-S!c



发贴时间2011/09/02 06:11am IP: 已设置保密[本文共1082字节]  

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