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Elinkage数学论坛基础数学 [返回] → 浏览:[分享]序列与极限 标记论坛所有内容为已读 

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 elim 
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  证(8):令$\small\,a_n(x)=\underset{n\text{重根号}}{\underbrace{\scriptsize\sqrt{1+x\sqrt{1+(x+1)\sqrt{1+(x+2)\sqrt{1+\cdots}}}}}}\,\;$即=IpT8
$\qquad\small a_1(x)=\sqrt{1+x},\,a_{n+1}^2(x)=1+xa_n(x+1)\;(x\ge 0,\,n\in\mathbb{N}^+).\,$j.
$\because\quad\small(a_n(x)\le 1+x)\implies(a_{n+1}^2=1+xa_n(x+1)\le(1+x)^2\,$P9
$\therefore\quad 0\small \le 1+x-a_n(x)\le x{\scriptsize+1-}\sqrt{1+xa_{n-1}(x+1)}=$n
$\qquad\frac{(x+1)^2-1-x a_{n-1}(x+1)}{x+1+\sqrt{1+xa_{n-1}(x+1)}}{\small\le}\frac{x}{x+2}\small((x+1)+1-a_{n-1}(x+1))\le\cdots$e
$\qquad{\small\le}\frac{x}{x+2}\cdots\frac{x+n-2}{x+n}\small((x+n)-a_1(x+n-1))$-SC\FE
$\qquad{\small=}\frac{x(x+1)}{(x+n-1)(x+n)}{\small(x+n-\sqrt{x+n})\le}\frac{x(x+1)}{x+n-1}{\small\to}0\,\small(n\to\infty)$([
$\therefore\quad\boxed{\small\lim_{n\to\infty}a_n(x)=1+x}$}W0
$\qquad$取$\,x=2,\,$对$\small\,a_{n-3}(2)=\scriptsize\sqrt{1+2\sqrt{1+3\sqrt{\cdots\sqrt{1+(n-1)}}}}$#eM2
$\qquad\qquad<\scriptsize\sqrt{1+2\sqrt{1+3\sqrt{\cdots(n-2)\sqrt{1+(n-1)\sqrt{1+n}}}}}$ejV
$\qquad\qquad\small<{\scriptsize\sqrt{1+2\sqrt{1+3\sqrt{\cdots(n-2)\sqrt{1+(n-1)(n+1)}}}}}=3${6l36E
$\qquad\small\overset{\,}{\text{取极限即得所证}}.\quad\square$9+DDm


发贴时间2020/01/19 03:19pm IP: 已设置保密[本文共1195字节]  
 elim 
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  证(9):对$\,\varepsilon\in(0,1),\,$取$\,{\small N}\in\mathbb{N}\,$使$|\frac{|a-n|}{n+1}-1|<\varepsilon\;$即i5
$\qquad(1-\varepsilon){\large|\binom{a}{n}|}<{\large|\binom{a}{n+1}|}<(1+\varepsilon){\large|\binom{a}{n}|}\;(n>{\small N}).\;$令dK~|@O
$\underset{\,}{\qquad} m=\min\{|{\large\binom{a}{k}}|{\small(1-\varepsilon)^{-k}\mid 0\le k\le{\small N}}\},$F$
$\qquad {\small M}=\max\{|{\large\binom{a}{k}}|{\small(1+\varepsilon)^{-k}\mid 0\le k\le{\small N}}\}.$d|y
$\qquad$则$\;\;m(1-\varepsilon)^k\le{\large\big|\binom{a}{k}\big|}\le{\small M}(1+\varepsilon)^k\;(\forall k\in\mathbb{N})$#g;
$\therefore\quad{\small(n+1)}m^2{\small(1-\varepsilon)^n\le\displaystyle\sum_{k=0}^n}{\large\big|\binom{a}{k}\binom{a}{n-k}\big|}\small\le(n+1)M^2(1+\varepsilon)^n$@Z?tP+
$\qquad$开$\,n\,$次方,令$\small\,n\to\infty\,$得$\;\boxed{\small\displaystyle\lim_{n\to\infty}\big(\sum_{k=0}^n{\large\bigg|{\scriptsize\binom{a}{k}\binom{a}{n-k}}\bigg|}\big)^{\frac{1}{n}}=1}$ `-


发贴时间2020/01/21 03:38pm IP: 已设置保密[本文共995字节]  

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