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  无限的数学与哲学DI6\Y
发布者:徐利治(大连理工大学数学科学研究所 大连 116024)  发布时间:2007-4-19 16:28:00@vFBK
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  摘 要 讲述几个无限性对象的数学与哲学问题.重点分析论述自然数的无限性与直线连续统点集结构等问题.简要评述近、现代数学诸流派的一些观点分歧及其认识论根源,同时简要介绍本文作者与合作者的某些有关研究.jS=%Q
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  关键词 潜无限;实无限;双相无限;算术连续统;Brouwer型实数;非标准实数域,Poincaré连续统;科学认识论Q%
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  中图分类号 O1-0;O143s9kV
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  1 引言`j@
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  “无限”就是指数量上的无限大或无限多,数学上常用∞表示无限大,但它并不是一个有精确定义的符号.人们只是借用它来表示一个变量x无限地增大的意思,简记作x→∞.这一点很重要,有了这个概念,无限小作为无限大变量的倒数就有定义了,从而就能有极限理论,为微积分学建立基础.这是19世纪Cauchy和Weierstrass相继完成的功绩.}ERS)
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  Cantor是19世纪晚期大胆创始“无限数学理论”的一位数学家,他的主要贡献就是无限集合理论和超穷数理论.按照他的说法,无限有三种,一是“绝对无限”(又称形而上学的无限),二是“物理无限”,三是“数学无限”.绝对无限观念可以联系到至高无上的上帝概念,始终为宗教界人士所赞赏.物理无限是指宇宙时空的无限性概念和时间与空间的无限可分割性质.这在古典哲学家Kant,Hegel等人的著作里有许多论述.Cantor把分析数学中使用的无限概念和他自己创始的超穷基数与序数都归入数学无限范畴.关于这方面的详细论述可参考Rucker的巨著《无限与心智》(Infinity and the Mind)中的有关章节.CZd
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  正如Davis和Hersh合著《数学经验》(The Mathematical Experience)一书的§4.7(无限—数学的超凡容器)中所说:“重要的数学常被认为是当它的讲述范围大到包括无限的时候.现代数学对象的库存中是充满无限的.无限是难以回避的.”事实上,无限概念及其逻辑演绎产物到处出现在分析数学的诸分支领域(如级数论、点集论、测度论、积分论、泛函分析、非标准分析等).特别,在数学哲学与数学基础问题研究中,无限更是一个备受关注的论题.^T-\
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  因为自然数序列的无限性问题和连续统的点结构问题,曾导致数学家之间及哲学家之间的长期争论,并成为数学史上诸不同流派(如柏拉图主义派、形式主义派及直觉主义派等)观点分歧的出发点,所以本文将以上述二基本问题为重点,进行分析、评述和讨论,同时介绍一些有关的研究结果.文章主要是讲述论题缘起、有关观点、思想方法、推理要点、主要结论,和未解决问题,将略去不影响理解要点的技术性细节.所讲问题项目涉及的主要概念名词即如“关键词”所示.]f
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  2 自然数的无限性:两种对立的无限观s"
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  自然数序列(简称“数列”)的无限性看来是一目了然的:6e8:w
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      1, 2, 3, …, n, …kZCg>
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  这里用什么符号来表示自然数当然是无关紧要的:要紧的是,它是从一个有限数1(也可从0)开始,后继数都由加1的手续产生.自然数列作为一意确定的数学模式,已由Peano五条公理作出了完整的表述;其中第5条公里称之为“归纳公理”,即肯定了自然数的无限性.}PnF~
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  在上述数列中,n表示一般的任意自然数(这里n>3).n之前的“…”表示3与n之间可能存在的有很多个依次增大的自然数,而n之后的“…”则表示“无限相续”之意.7K
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  注意,正是对n之后的“…”的不同理解法,导致了数学界和哲学界内部的长期分歧,因为对“无限相续”可以有两种彼此对立的观点和解释.这种观点分歧迄今还继续存在于数学界的直觉主义者与非直觉主义者(即经典数学家,包括形式主义者和现代的柏拉图主义者)之间.tmj4og
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  直觉主义者坚信自然数列的延伸是没完没了的、永远不可能完成的,自然数存在于不断创造之中,而是创造不完的,因而它们不可能形成一个整体性的无限集体.这就是说,自然数列只是一种具有潜在无限性的事物,自然数的无限是“潜无限”."|QU
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  我们可以把上述潜无限观点下的自然数列模型表示为FO.
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      N→:{1,2,3,…,n,…}-nkHj
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  这表示自然数列是一个开放性(进程式)的无限性量态,也可简记为{n).HY
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  自古以来,主张潜无限观的哲学家和数学家有:Aristotle(包括其后继者),Gauss,Galois,Kronecker,Poincaré,Brouwer,Weyl,Bishop等.例如,Weyl曾申辩说:“我确信并不存在明显的证据以支持关于自然数总体存在性的信仰……,自然数序列永远处在创造着状态中,而不是一个本来就存在着的王国.”y
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  另一方面,经典数学家(非直觉主义者)认为自然数可以考虑成为一个“完成了的整体”,它作成一个含有真无限多元素(自然数)的有序集合,而一切自然数都在其内.这是关于自然数列的实无限观,即认定自然数的无限是“实无限”.P1+l\
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  我们可以把实无限观点下的自然数列模型表示成Tp
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      N:{1,2,3,…,n,…}'=
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  这表示自然数列形成一个闭合性(过程式)的真无限集合,可简记为{n}.q
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  我们知道,赞同实无限观的哲学家和数学家有Platonists(柏拉图主义者),Leibniz,Hegel,Dedekind,Cantor,Weierstrass,Hilbert,Russell,Gdel,Thom等.例如Cantor集合论与超穷数理论的原始思想就是从自然数的实无限观开始形成的,而Hilbert完全支持Cantor的数字理念和所作出的贡献.xHguy
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  综上所述,可以提出两个问题.$3
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  问题Ⅰ:关于N→和N,是否都能找到合理的实例解释或应用场合?.31K`C
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  问题Ⅱ:直觉主义者与非直觉主义者在无限观上的分歧有怎样的认识论根源?(\>j
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  这两个问题在数学哲学和数史上都是发人深思的,特别是问题Ⅱ隐含有深刻意义.下一节将集中讨论这两个问题.;
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  注1 一些经典哲学著作中,有时把潜无限叫作“假无限”或“恶无限”,而把实无限称为“真无限”.这说明经典哲学家们多数是信奉实无限观点的,这很可能是由于受到了“数学柏拉图主义”的思想影响所致.P2Z
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  3 关于两个问题的讨论和解答.-1z
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  自然数列可以看成是用于计数、编号、排序的数学模式.模式N→是说序号(自然数)可以任意延伸,但永不能完结;而N则肯定序号数n可以走遍一切自然数而形成无限有序集合{n}.下面将举出两个最易懂的例子来说明N→和N都有用处,它们都存在于某种可以设想的客观现实中,所以可以作为对问题Ⅰ的一种解答.uwiaG
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  最古老的例子就是庄子《天下篇》所引惠施的论题:“一尺之捶,日取其半,万世不竭.”如果把逐日取半的天数累计起来,则记录天数的数列就成为N→了.事实上,要用N→计数的例子可通过心智随意构造.)
©Elinkage数学论坛 -- Elinkage极酷超级论坛  k:
  又,如果一尺之长的“蚊香”能在一小时燃烧完了,而燃烧速度是均匀的,又如果时间1小时分割成各个1/2^n小时(n=1,2,3,…)的叠加和,也即表示成最简单的等比级数之和S%#w{
©Elinkage数学论坛 -- Elinkage极酷超级论坛  tohw<
      1(小时)=Σ1/2^n(小时),k
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  则由于每个1/2^n小时能燃烧掉蚊香的1/2^n尺,所以燃烧总时间叠加到达1小时之时,蚊香也就确实烧掉Σ1/2^n(尺)=1(尺)了.:;JL!c
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  注意,在这个例子中等比级数的项确实叠加到无限多项,也即通项1/2^n所对应的序号数n必须走遍一切自然数,否则级数总和就不能真正达到1.此例表示作为编号模式N={n}的出现是必需的,也是十分自然的.$z"..
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  上例还表明有限量(如时间或线段)是可以进行无限分割的,而分割的项数(部份数)是真无限.一般说来,凡正项收敛级数所表现的无限多项叠加都可看成是级数和(有限量)的真无限分解.这一基本观点及其扩充在Lebesgue建立测度论时屡次被用到.v
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  显然,在庄子·惠施的论题中,也出现了形如Σ1/2^n(尺)的级数.但规定每天只能加一项,而且天数是按N→模式变多的,所以也就永远不可能取完1尺之捶了.aSj
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  注2 在Rucker[11]和DavisHersh[3]的两本著作中都分别提到了等比级数的等式Σ1/2^n=1.前者是说该等式可用以解决一个最可爱的Zeno悖论(悖论是说“一个在房间里的人永远走不出房间去”),推理和我们例2中的说法很相似.后者则说:在级数等式的两边,左边级数似乎是一种“不完全的东西,一种无限努力.”右边的1代表有限和完全.“两边之间的张力就是力量和悖论的源泉.”这样一说就有点玄妙了.其实,按照我们前面的解释,级数等式正好表明了一个有限量的一种真无限分解形式,恰恰是项数的真无限性质保证了等式的精确成立,因而不可能产生悖论.fE
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  往下要讨论问题Ⅱ.这是一个比较困难的问题,因为它涉及人脑概念思维的能动性限度问题以及自然数列的二重性本质问题.首先要说明一下实无限概念的客观性和概念思维的能动性.2Ad
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  由于点运动成线,线运动成面等事实,古典哲学家Hegel就曾在《哲学史讲演录》中表述过:“时间与空间的本质是运动.”如果承认运动的客观性,承认运动变化的过程中有时能在“临界点”出现质态上的“突变”(“质变”或“飞跃”),而人脑概念理性思维具有反映“飞跃”的能力,则实无限概念的客观性也就不难阐明了./
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  假设一个动点P从数轴上的坐标点1处滑动到坐标原点O处,那未显然该动点P必须经历一切形如1/n的坐标点汇成的无限点集{1/n},于是由一一对应1/nn也就立即得出了N≡{n}.在这个思维认识过程中,可以认识到P点与原点O的距离从非零变到零是一个数量性质上的“突变”,而这个突变立即导致形如1/n的坐标点个数由“有限”飞跃到“真无限”,相应地实无限概念N≡{n}({1/n}的对应物)也就是由概念思维活动客观地反映这种“飞跃现象”(量变到质变过程)的产物.K
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  如上所述,就是科学认识论(反映论)观点下有关“实无限概念客观性”的解释.需要补充说明的是,正如几何学上的圆是绝对完美的理想事物,在现产中并不存在那样,含有无限多元素的实无限N也并不存在于现实经验中,而只是反映某种客观实在关系的理想事物.如所知,Hilbert就不认为现实经验中存在实无限,但却欣然接受实无限概念,并认为那是通过思维的“外插”而获得的一种理想事物.可以看出,他所说的思维外插,无非是指富有能动性的理性思维对“飞跃现象”作出的正确反映.1r)S<
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  综上所论可见,实无限论者是默认概念思维活动具有反映“飞跃现象”的能动性的,而潜无限论者由于不认识、不认可或不信赖概念思维的能动性,所以也就拒绝思考实无限对象,或不愿接受由思维能动性产生的实无限概念.这说明两种无限观的分歧的可能根源之一就是由于“思维主体”在思维形态上的不同,一种思维形态默认思维反映飞跃的能动性,另一种则否定或无视能动性.KyT%W+
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  分歧的另一根源很显然是来自自然数列本身所具有的二重性格——“内蕴性”和“排序性”.在1994年王前和我合作的一篇文章中专门分析了自然数列的二重性和“双相无限性”.~yCiK
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  所谓“内蕴性”是指自然数列所具有的内在性质.它们表现为自然数之间的各种特定的关系,如由种种数论性质表现出来的关系等.由于不断延伸的数列将会不断产生新的内蕴性,而层出不穷的内蕴性是不可能穷尽地被构造出来的,当然它们也就不可能作为无穷整体对象来把握(认识).所以,从内蕴性角度看待自然数列,即着眼于含有内蕴性质的数列,就只能将它视为N→.@h{^
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  基于这一认识,也就容易理解为什么大多数对离散数学或数论有深入研究的数学家都倾向于接受N→模式而不是N模式.从近代数学发展史上即可明察这一事实.6o
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  所谓“排序性”是指自然数依次相续的那种宏观的外在性质.对此性质的把握不需要能行的构造活动,而可将它看成是自然数列一贯到底的整体性质,既然如此,着眼于含有排序性的自然数列也就自然是实无限模式N了.m9Y\E
©Elinkage数学论坛 -- Elinkage极酷超级论坛  E;
  分析数学家研究有序变量的极限问题时,通常只用到具有排序性的自然数列,且考虑到包含极限值在内的完成了的过程必须用及实无限序号集N={n}.这说明为什么大多数分析数学家都倾向于接受实无限概念.Nv9VA
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  正因为“内蕴性”导致潜无限观,“排序性”等导致实无限观,所以深入研究内蕴性的数学家和经常使用排序性的数学家各有不同的无限观,也就是很自然的现象了.这是从“认识客体”上说明产生分岐的另一根源.\8'z_
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  注3 既然自然数列兼具有微观的内蕴性和宏观的排序性,所以自然数列的本性既是潜无限又是实无限,换句话说,自然数列的本性是双相无限性,虽然潜无限与实无限在概念上是对立的.6
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  按照Monk在1970年发表的一篇文章[9]中的说法,世界数学界中有65%柏拉图主义者,30%形式主义者和5%直觉主义者(即构造主义者).如此说来,实无限论者显然代表数学界的多数派或主流派.虽然如此,由于潜无限自然数早已成为现代计算机科学和可计算理论的基本概念,所以有些数学家,例如Maclane在其著作[8]中,就乐愿将Peano公理中的第5公理(归纳公理)陈述为弱形式与强形式.弱形式的归纳公理蕴含潜无限性的自然数列,强形式的归纳公理肯定实无限性的自然数列.本文下一节还将论述这一区分及其由析取词等联结的命题.]f
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  4 双相无限观与Hegel命题@[7Jm^
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  将自然数潜无限模式N→与实无限模式N视之为命题,可借用逻辑命题联结词∧(合取,意即“而且”)和∨(析取,意即“或者”)作成两个复合命题(N→)∧N和(N→)∨N,则前者显然是一个逻辑悖论,它也蕴含Mirimanoff悖论;而后者却已成为当代数学家和科技界人士默认的两可模式,下面将越出命题逻辑范围来表述和双相无限观有关Hegel命题.1I^,IF
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  采用半形式主义(Semiformalism)叙述方式可将“双相无限观”表述得更较全面些,参照Maclane著作[8]中有关Peano公理的论述,可将Peano自然数公理系统改述成为蕴含(N→)∨N的形式:!
©Elinkage数学论坛 -- Elinkage极酷超级论坛  g^'
  设把具有某个性质p的元素叫作自然数,在元素间有一个基本关系称之为“后继”,用+表示,前4条公理为!'
©Elinkage数学论坛 -- Elinkage极酷超级论坛  Pz{
  1°元素1是自然数,Nv
©Elinkage数学论坛 -- Elinkage极酷超级论坛  1V{
  2°若a为自然数,则后继a+也是自然数,*i8]
©Elinkage数学论坛 -- Elinkage极酷超级论坛  f;GkY
  3°任何一个自然数的后继都不是1,n
©Elinkage数学论坛 -- Elinkage极酷超级论坛  X&
  4°若自然数a与b有相同的后继a+=b+,则a=b./3p
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  又下列公理5°或5*可任选其一:j
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  5°(强归纳公理)满足上述4条公理的所有自然数作成唯一的集合N.(完成了的无限性对象N.)%'l~S
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  5* (弱归纳公理)满足上列4条公理的自然数可按“后继”法则自由延伸,而永远不是一个有限集合.(蕴含潜无限对象N→).ig$?
©Elinkage数学论坛 -- Elinkage极酷超级论坛  u4K(l
  我们把满足公理1°-4°的自然数称之为“原始型自然数”,可记作N^:{1,2,3,…,n}.其中n代表任意自然数(这里n>3).N^添加公理5°或5*之后得出的模式称之为“发展模式”.**
©Elinkage数学论坛 -- Elinkage极酷超级论坛  [r
  如果按某种确定的数学或哲学意义,某命题(或概念)A是B的前提,且B在概念上是A的否定,则称B即包含而又否定A,其关系可记作A<B.当然这里的联结词并非一般命题逻辑联结词.于是古典辩证法哲学家Hegel关于自然数无限性的论断即可表述成一个具有“数学哲学意义”的一般性命题,但不属于形式数学范畴.8*G
©Elinkage数学论坛 -- Elinkage极酷超级论坛  im)=
  Hegel命题 自然数从有限到无限的概念发展形式及其间的相互关系可表示为((N^)<(N→)<N)∧N,其中N→是形成N的前提,而(N→)∧N是一个形式逻辑悖论.7*
©Elinkage数学论坛 -- Elinkage极酷超级论坛  Vi|
  注4 事实上,Hegel对无限概念有一个十分精练的概括,即称它为“进展之自我完成”(goingtogetherwithitself).这是从Hegel德文全集的英文译本中见到的“复合词”.复合词中的“进展”意即“延伸”(潜无限),“完成”意即过程的理想终结而成为整体自身(实无限).按照Hegel的哲学观,自然数列应是潜无限与实无限的“对立统一体”:潜无限是实无限的前提,潜无限否定有限量态的固定性,实无限是潜无限的否定,成为否定的否定,导致完成了无限性整体,从而又获得高一层次的固定性对象.所以命题中的表示式,可以理解为Hegel“对立统一体(包括否定之否定)”思想的一种形式表述.=
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  注5 只须经过一番分析即可看出[2,20],Cantor按自由理性主义精神创造出来的超穷序数列与基数列(Alef数列),都是相继应用“延伸原则”(潜无限概念的提升)与“穷竭原则”(实无限概念的提升)的产物.所以其基本思想可以看作是Hegel命题表示式中的理念在无限领域的模拟与扩展.简而言之,超穷数序列也都是各种“否定之否定”的过程产物.但超穷数列(例如Alef基数序列)的延拓带有很大的随意性,例如可以有,9_}
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      Alef(ω),Alef(ω+1), …,Alef(Ω), …M0j
©Elinkage数学论坛 -- Elinkage极酷超级论坛  934M
  它们显然具有形式客观性和模式真理性[17],但其现实真理性程度究竟如何,确实是可以质疑的.gB$.ny
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  如所知,在经典分析数学中讨论“数列极限”时,数列通项的序号(变量)n属于N抑或N→(简记n∈N或n∈N→)是无需区分的.事实上,Weierstrass关于序列极限的形式化定义中就只用及潜无限N→.因此,假设有极限式如xn→a(n∈N,n→∞),则也可记作k-
©Elinkage数学论坛 -- Elinkage极酷超级论坛  WV#}r
  lim(n) xn =lim({n}) xn =lim({n)) xn = a,5h]
©Elinkage数学论坛 -- Elinkage极酷超级论坛  ju
  这里极限号后括号中的{n}与{n)即分别表示n∈N与n∈N→.但在下一节论述直觉主义者(构造主义者)与非构造主义者(柏拉图主义者)在实数存在性问题的严重分歧时,将可看到极限lim({n)) xn 与lim({n}) xn 在序号变域上的区别有时会导致完全相反的结论.un!N
©Elinkage数学论坛 -- Elinkage极酷超级论坛  Y:Us
              (未完待续)#1 DO
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                      (收稿日期:2006-09-26)w|da}



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