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  $\text{1.2.2}\;$令$\,G=\{(a,b)\in\mathbb{R}^2\mid a\ne 0\},\;(a,b)(c,d):=(ac,ad+b).$g!kA_>
$\qquad\;$试证$\,G\,$是群.x'
证:$\small(1,0)(c,d)=(1c,1d+0)=(c,d),\;(a,b)(1,0)=(a1,0+b)=(a,b)$l@K*=
$\qquad\small\,(a,b)(a^{-1},-a^{-1}b)=(1,0)=(a^{-1},-a^{-1}b)(a,b)$th[
$\therefore\,\quad\small(1,0)=e,\;(a,b)^{-1}=(a^{-1},-a^{-1}b)\,$($G\,$的元有乘法逆)O
$\because\,\quad\small(ac,ad+b)(u,v)=(acu,acv+ad+b)=(a,b)(cu,cv+d),$k?#MID
$\therefore\,\quad\small((a,b)(c,d))(u,v)=(a,b)((c,d)(u,v))\,$($G\,$的乘法满足结合律)B,JU


发贴时间2021/04/01 03:40pm IP: 已设置保密[本文共535字节]  
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  1.2.3 设$\,\Omega\ne\varnothing,\,G\,$是群$,\,G^{\Omega}{\small=}\{f:\Omega\to G\},\,f\cdot g:\omega\mapsto f(\omega)g(\omega)$7^~ )
$\qquad\quad\,(\forall f,g\in G^{\Omega},\,\forall\omega\in\Omega).\;\;$则$\,(G^{\Omega},\cdot)\,$构成乘法群.Tar
证:记$\,e\,$为$\,G\,$的幺元$,\,I:\omega\mapsto e,\;f^*:\omega\mapsto(f(\omega))^{-1}\small\,(\forall\omega\in\Omega,\,\forall f\in G^{\Omega}),$V
$\qquad$则$(G^{\Omega},\cdot)$显然满足结合律且$\;I\cdot f=f\cdot I,\;f^*=f^{-1}\small\;(\forall f\in G^{\Omega}).\;\;\small\square$%5


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  1.2.6 若$\small\,G\,$是半群且$\small\,\exists e\in G\,\forall a\in G\,\exists a'\in G\;(ea=a,\;a'a=e)$m.
$\qquad$试证$\small\,G\,$是群.f.+z
证:$aa'=eaa'=(a')'a'(aa')=(a')'(a'a)a'=(a')'a'=e$E:q{!Q
$\qquad ae=a(a'a)=(aa')a=ea=a$W6
$\therefore\quad e\,$也是右幺元,$\,a'$也是$\,a\,$的右逆元.可见$\,G\,$是群.x


发贴时间2021/04/20 04:45am IP: 已设置保密[本文共340字节]  

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