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 elim 
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  题:估计椭圆周长$\,P\approx\pi(\frac{3}{2}(a+b)-\sqrt{ab})$ 的精度.PK@'
解:已知椭圆周长$\,P=\pi(a+b)\,_2\hspace{-1px}F_1(\frac{-1}{2},\frac{-1}{2};1;h^2)${ >g
${\small=}\pi\small(a+b)\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(\frac{-1}{2})_n(\frac{-1}{2})_n}{(1)_n}\frac{(h^2)^n}{n!}\;\color{royalblue}{\big(h={\scriptsize\frac{a-b}{a+b}},\,(\lambda)_n={\scriptsize\prod_{\small k=0}^{\small n}(\lambda+k)}\big)}$,-AX
${\small=}\pi{\small(a+b)}\big(\small{\scriptsize 1+\big(\dfrac{1}{2}\big)^2}h^2 {\scriptsize+\big(\dfrac{1}{2\cdot 4}\big)^2}h^4{\scriptsize+\big(\dfrac{1\cdot 3}{2\cdot 4\cdot 6}\big)^2}h^6{\scriptsize+\big(\dfrac{1\cdot 3\cdot 5}{2\cdot 4\cdot 6\cdot 8}\big)^2}h^8{\scriptsize+}{\tiny\cdots}\big)$]
$\because\;\frac{2\sqrt{ab}}{(a+b)}\small=\sqrt{1-h^2}=1-\frac{1}{2}h^2-\frac{1}{2^3}h^4-\frac{1}{2^4}h^6+\cdots,$%SSk!
$\therefore\;\pi\big(\frac{3}{2}(a+b)-\sqrt{ab}\big)=\pi(a+b)(\frac{3}{2}-\frac{\sqrt{1-h^2}}{2})$|Lkt
$\therefore\;\big|{\small\pi}(\frac{3}{2}{\small(a+b)-}\sqrt{\small ab}){\small-\scriptsize P}\big|\sim{\large\frac{3\pi(a+b)}{2^{\hspace{1px}6}}}h^4.\quad\small\square$VZ


发贴时间2021/03/16 08:44am IP: 已设置保密[本文共1143字节]  

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快速回复主题: 椭圆周长近似公式$\,P\approx\pi(\frac{3}{2}(a+b)-\sqrt{ab})$ 的精度
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