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 elim 
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  题:计算\(\;\displaystyle\int_0^1\frac{\ln x}{1-x^2}dx\;\;\)[src]QDW2
解:\(\forall \alpha,\beta:{\small 0<\alpha<}\frac{1}{2}{\small<\beta<1},\;|\ln x|\sum x^{2n}\overset{[\alpha,\beta]}{\rightrightarrows}|\ln x|(1-x^2)^{-1}\quad\small(\dagger)\)=H
\(\qquad\)又因\(\;\displaystyle\left|{\small\int_{\alpha}^{\beta}}x^{2n}\ln xdx \right|\le\left|{\small\int_0^1} x^{2n}\ln xdx\right|\small=\scriptsize\frac{1}{(2n+1)^2},\)qc_==U
\((\ddagger)\quad\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}\int_{\alpha}^{\beta}x^{2n}\ln x dx\;\)关于\(\,\alpha,\beta\in(0,1)\)一致收敛. 所以我们有/Mv
\(\qquad\begin{align}\int_0^1\frac{\ln x}{1-x^2}dx&=\int_0^1\sum_{n=0}^{\infty}x^{2n}\ln x\,dx=\lim_{\alpha\to 0^+\atop\beta\to 1^-}\int_{\alpha}^{\beta}\sum_{n=0}^{\infty}x^{2n}\ln x\,dx\\uN&<!
&\overset{(\dagger)}{=}\lim_{\alpha\to 0^+\atop\beta\to 1^-}\sum_{n=0}^{\infty}\int_{\alpha}^{\beta}x^{2n}\ln x\,dx\\c
&\overset{(\ddagger)}{=}\sum_{n=0}^{\infty}\lim_{\alpha\to 0^+\atop\beta\to 1^-}\int_{\alpha}^{\beta}x^{2n}\ln x\,dx\\$(
&=\sum_{n=0}^{\infty}\int_0^1 x^{2n}\ln x\,dx=\sum_{n=0}^{\infty}\small-\frac{1}{(2n+1)^2}=-\frac{\pi}{8}\end{align}\)dk[6pl


发贴时间2021/01/26 04:10am IP: 已设置保密[本文共1252字节]  

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