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 elim 
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  题:计算\(\;\displaystyle\lim_{n\to\infty}{\small\int_0^1\frac{nx^n}{1+x^n}}dx.\)i9>
解:\(\displaystyle\,{\small\int_0^1\frac{nx^n}{1+x^n}}dx\;\overset{t=x^n}{=\hspace{-3px}=}{\small\int_0^1\frac{\sqrt[n]{\ t}}{1+t}}dt\in\big({\small\int_a^1\frac{\sqrt[n]{a}}{1+t}dt,\int_0^1\frac{1}{1+t}dt}\big)\)z63
\(\therefore\quad\displaystyle {\large a}^{\frac{1}{\large n}}\ln{\small\frac{2}{1+a}}\le{\small\int_0^1\frac{nx^n}{1+x^n}dx}\le\ln 2\;\;\small(0< a< 1).\)'>u
\(\qquad\)对此取\(\displaystyle\;\lim_{a\to 0^+}\,\lim_{n\to\infty}\,\)即得\(\;\;\displaystyle\lim_{n\to\infty}{\small\int_0^1\frac{nx^n}{1+x^n}}dx=\ln 2.\quad\small\square\)8II


发贴时间2021/01/23 04:43am IP: 已设置保密[本文共674字节]  
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  \(I_n:=\displaystyle\int_0^1{\small\frac{nx^n}{1+x^n}}dx=\int_0^1xd\ln(1+x^n)=\ln 2-\int_0^1\ln(1+x^n)dx\)wqx
但\(\;\; 0\le\displaystyle{\small\int_0^1}\ln(1+x^n)dx\le{\small\int_0^1}x^ndx={\small\frac{1}{n+1}}.\;\;\therefore \;\lim_{n\to\infty}I_n=\ln 2.\)ix;`p]


发贴时间2021/01/24 04:22am IP: 已设置保密[本文共281字节]  

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