| |
题：计算\(\;\displaystyle\lim_{n\to\infty}{\small\int_0^1\frac{nx^n}{1+x^n}}dx.\)i9>
解：\(\displaystyle\,{\small\int_0^1\frac{nx^n}{1+x^n}}dx\;\overset{t=x^n}{=\hspace{-3px}=}{\small\int_0^1\frac{\sqrt[n]{\ t}}{1+t}}dt\in\big({\small\int_a^1\frac{\sqrt[n]{a}}{1+t}dt,\int_0^1\frac{1}{1+t}dt}\big)\)z63
\(\therefore\quad\displaystyle {\large a}^{\frac{1}{\large n}}\ln{\small\frac{2}{1+a}}\le{\small\int_0^1\frac{nx^n}{1+x^n}dx}\le\ln 2\;\;\small(0< a< 1).\)'>u
\(\qquad\)对此取\(\displaystyle\;\lim_{a\to 0^+}\,\lim_{n\to\infty}\,\)即得\(\;\;\displaystyle\lim_{n\to\infty}{\small\int_0^1\frac{nx^n}{1+x^n}}dx=\ln 2.\quad\small\square\)8II
| | |
|
|
顶端 
加到"个人收藏夹"
主题管理：
总固顶 
取消总固顶 
消息
查看
搜索
好友
引用
回复
只看我
2021/01/23 04:43am 
IP: 已设置保密
