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1.记号与约定V
设$\;\sigma:F\to E\,$是(交换)域同态,一般可将$\,F\,$等同于$\sigma(F)\,$视作w:"^cM
$\,E\,$的子域(称$E$为$F$的扩域).以$\,E/F\,$表示这一域扩张关系.此C-fH
时$E$是域$\underset{\,}{\,}F$上的向量空间.其维数$[K:F]$也叫扩张$E/F$的度.]"-~P
命题2.3(Tower Law)对域扩张$\,K/E,\;E/F,\;K/F,\;$扩张$E/F$l
有限当且仅当扩张$\small\,K/E,\,E/F\,$皆有限:$[K:F]{\small=}[K:E][E:F].$Y
证：若$K/F$有限,$\small\exists D=\{k_1,\ldots,k_l\}\subset K\,$使$\small\,E\subset F[k_1,\ldots,k_l]=K.$^2
$\therefore\;K/E,\,E/F$的基可表为$D$关于$F$的线性组合.其维数均有限.67R
$\quad$设有限集$S\,\subset E,\,T\subset K$依次是$K/E,E/F$的基,不难验证Do@\\b
$\quad ST$是$\underset{\,}{\,}K/F$的基._{R>J
引理 2.4 对域扩张$K/F$,若$\,F\subset E\subset K,\,E\,$是$F$关于$K$的加^
法乘法封闭,则$E$是$F$上的向量空间.若其维数有限,则$E$是$K$bK%g=
的子域,$E/F$是有限度域扩张."CEzV
证：由所论封闭性及$F\subset E\,$知$E$是$F$上的向量空间.对任一fJ'Rc
$\quad\alpha\in E-\{0\},\,M_{\alpha}:\beta\mapsto\alpha.\beta\,$是$F$上$\,E\,$到自身的线性单射]O
$\quad$若$\,E\,$是$\,F\,$上的有限维向量空间,则$\,M_{\alpha}\,$是满射.有某$\,\gamma\in E$TQ!inr
$\quad$使$\,M_{\alpha}\gamma=\alpha\gamma=1\in F\subset E.\underset{\,}{\,}$所以$E\,$是$K$的子域.^
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2021/01/08 04:59am 
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