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  Thread Contents#R
©Elinkage数学论坛 -- Elinkage极酷超级论坛  ?4@W
1.记号与约定fdA<
$\,H< G,\;S\subset T\,$分别表示$H$是$G$的子群,$S$是$T$的子集(可相等)Qup<!


发贴时间2021/01/08 04:59am IP: 已设置保密[本文共133字节]  
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  2. 域扩张Xg
设$\;\sigma:F\to E\,$是(交换)域同态,一般可将$\,F\,$等同于$\sigma(F)\,$视作`]
$\,E\,$的子域(称$E$为$F$的扩域).以$\,F\subset_{\mathscr{F}}K\,\text{或}\,E/F\,$表示域扩张.VJ}
此时$E$是域$\underset{\,}{\,}F$上的向量空间. 其维数$[K:F]$也叫$E/F$的度.r03E-
命题2.3(Tower Law)对域扩张$\small\,K/E,\;E/F,\;K/F,\;$扩张$\small\,E/F$nv3E&
有限当且仅当扩张$\small\,K/E,\,E/F\,$皆有限:$[K:F]{\small=}[K:E][E:F].$$>x
证:若$K/F$有限,$\small\exists D=\{k_1,\ldots,k_l\}\subset K\,$使$\small\,E\subset F[k_1,\ldots,k_l]=K.$U Q+=
$\therefore\;K/E,\,E/F$的基可表为$D$关于$F$的线性组合.其维数均有限.Z
$\quad$设有限集$S\,\subset E,\,T\subset K$依次是$K/E,E/F$的基,不难验证wj,!sH
$\quad ST$是$\underset{\,}{\,}K/F$的基.b5bLv
引理 2.4 对域扩张$\,K/F$,若$\,F\subset E\subset K,\,E\,$关于$\,K\,$的加法)
乘法封闭,则$E$是$F$上的向量空间.若其维数有限,则$E$是$K$的9o^
子域,$E/F$是有限域扩张.0cOJm%
证:由所论封闭性及$F\subset E\,$知$E$是$F$上的向量空间.对任一iyG}!5
$\quad\alpha\in E-\{0\},\,M_{\alpha}:\beta\mapsto\alpha\beta\,$是$\,F\,$上$\,E\,$到自身的线性单射.a#nb]
$\quad$若$\,E\,$是$\,F\,$上的有限维向量空间,则$\,M_{\alpha}\,$是满射.$\,\exists\gamma\in E$,GMt
$\quad$使$\,M_{\alpha}\gamma=\alpha\gamma=1\in E.\underset{\,}{\,}$所以$E\,$是$K$的子域.+c
定义 2.5 设$\small\,F\subset_{\mathscr{F}}K,\,S\subset K,\,$称$\small\,F(S)=\bigcap\{E\mid F\cup S\subset E\subset_{\mathscr{F}}K\}$VYTv
$\quad$为$S$在$F$上的生成域. 简记$F(\{\alpha\})$为$F(\alpha)\;(\alpha\in K).$3T$@N
$\quad$若$K=F(\alpha),$ 则称$K/F$为简单扩张.V)
定义 2.6 设$\,E_j\subset_{\mathscr{F}}K\,(j=1,2),$Cpwf
$\quad$称$E_1E_2=E_1(E_2)=E_2(E_1)$为$E_1,E_2$的合成.h
系 2.7 设$F\subset_{\mathscr{F}}E_1\cap E_2\subset_{\mathscr{R}}E_j\subset_{\mathscr{F}}K\,(j=1,2).$@N3!w3
$\quad$若$\,E_1/F,\,E_2/F\,$皆有限,则$[E_1E_2:F]\le[E_1:F][E_2:F]$R$8w
证: 取$\,E_1\,$在$\,F\,$上的一组基$\,S,\,$令$\,E=\{\underset{s\in S}{\sum}\lambda_s s\mid \lambda_s\in E_2\}$v+#@Z
$\quad\exists\{\epsilon_s\}\subset F\big(\underset{s\in S}{\sum}\epsilon_s s = 1\in E_1\big)\implies x=\overset{\,}{\underset{s\in S}{\sum}}(x\epsilon_s)s\;(\forall x\small\in E_2)$g^F^
$\because\;E_1\,$是域$\,\forall t,u\in E_1\,\exists\{\mu_s^{t,u}\}\subset F\big(tu=\underset{s\in S}{\sum}\mu_s^{t,u}s\big)$&e
$\therefore\;\forall x,y\in E\,\big(x+y=\underset{s\in S}{\sum}(\lambda_{x,s}+\lambda_{y,s}\big)s\in E\big)\wedge$w
$\qquad\bigg(xy=\underset{t,u\in S}{\sum}\lambda_{x,s}\lambda_{u,s}tu=\underset{t,u\in S}{\sum}\lambda_{t,s}\lambda_{u,s}\big(\underset{s\in S}{\sum}\mu_s^{t,u}s\big)$`8#JY
$\qquad=\underset{s\in S}{\sum}\big(\underset{t,u\in S}{\sum}\lambda_{t,s}\lambda_{u,s}\mu_s^{t,u}\big)s\in E\bigg)\;\;(\mu_s^{t,u}\in F,\,\lambda_{w,s}\in E_2)$jv>Qv
$\quad$故$\,E\supset E_2,\,$对$\,+,\,\cdot\;$封闭$,E_2(S)=E\,$是$E_2$上的向量空间qgWP
$\quad$其维数至多是$|S|=[E_1:F]].\,$于是据引理2.4,$E\subset_{\mathscr{F}}K$.@
$\quad$据Tower Law 2.3, $E_1E_2/F$ 是有限扩张,且(P"?
$\quad[E_1E_2:F]=[E_1E_2:E_2][E_2:F]\le[E_1:F][E_2:F]\quad\small\square$Aq+N


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  3. 代数扩张.
本节假定$\,F\subset_{\mathscr{F}}K\ni\alpha$+Tqoaq
概念 3.1 设$\,f=\displaystyle\sum_{0\le i\le d}a_ix^i\in F[x],\,$用$\,f(\alpha)\,$表示$\displaystyle\,\sum_{0\le i\le d}a_i\alpha^i\,\small(\in K).\,$y%/w
$\quad$易见$\,(f\pm g)(\alpha)=f(\alpha)\pm g(\alpha),\;(fg)(\alpha)=f(\alpha)g(\alpha).\;(f,g\in F[x])$f0YV
$\quad$将$\,a\in F\,$等同于常数多项式$\,a\in F[x]:\;a(\alpha)=a$n
注记 3.2 严格地说$\,F[x]\ne F^F\,$例如对有限域$\,F=\mathbb{Z}_p,\,f=x^p,g=x$C
$\quad$在$\,F[x]\,$中不同, 但$\,f(\alpha)=g(\alpha)\;(\forall\alpha\in F).$"oA
定义 3.3 设$\,0\ne f\in F[x],\,\alpha\in K,\,f(\alpha)=0,\,$则称$\,\alpha\,$为$\,f\,$在$\,K\,$的根.x85,WC
命题 3.4 沿用前述记号,$\alpha\in K$是根$\iff\exists g\in F[x]\,(f=(x-\alpha)g).$/
证:取$\,g\in F[x],\,r\in F\,$使$\,f=(x-a)g+r.\quad\small\square$-F
定义 3.5 称$\,\alpha\in K\,$是$\,F\,$的代数元,如果$\,\exists f\in F[x]\,(f(\alpha)=0\ne f)$|
$\quad$若$\,K\,$的元均为$\,F\,$的代数元,则称$\,F\subset_{\mathscr{F}}K\,$为代数扩张.*?%q
命题 3.6 若$\,\alpha$是$\,F$的代数元,则有不可约的$\,m\in F[x]\,$使>,^^
$\qquad\forall f\in F[x]\,(f(\alpha)=0\iff m\mid f).\quad\small\square$E-
定义 3.7 称命题 3.6 中的多项式$\,m\,$为$\,\alpha$的最小多项式.h
$\quad$称$\,\deg(\alpha):=\deg(m)\,$为代数元$\,\alpha\,$(关于$F$)的度.;0Oh7
引理 3.8$\;\deg(\alpha)=d\in\mathbb{N}\implies F(\alpha)=\{\displaystyle{\small\sum_{i=0}^d} a_i\alpha^i\mid a_i\in F\}$|YeZ
证:考虑$\,\phi:F[x]\to K\,(\phi(f)\mapsto f(\alpha)).\,$令$\,E=\phi(F[x])$ ?>=


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