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2. 域扩张Xg
设$\;\sigma:F\to E\,$是(交换)域同态,一般可将$\,F\,$等同于$\sigma(F)\,$视作`]
$\,E\,$的子域(称$E$为$F$的扩域).以$\,F\subset_{\mathscr{F}}K\,\text{或}\,E/F\,$表示域扩张.VJ}
此时$E$是域$\underset{\,}{\,}F$上的向量空间. 其维数$[K:F]$也叫$E/F$的度.r03E-
命题2.3(Tower Law)对域扩张$\small\,K/E,\;E/F,\;K/F,\;$扩张$\small\,E/F$nv3E&
有限当且仅当扩张$\small\,K/E,\,E/F\,$皆有限:$[K:F]{\small=}[K:E][E:F].$$>x
证：若$K/F$有限,$\small\exists D=\{k_1,\ldots,k_l\}\subset K\,$使$\small\,E\subset F[k_1,\ldots,k_l]=K.$U Q+=
$\therefore\;K/E,\,E/F$的基可表为$D$关于$F$的线性组合.其维数均有限.Z
$\quad$设有限集$S\,\subset E,\,T\subset K$依次是$K/E,E/F$的基,不难验证wj,!sH
$\quad ST$是$\underset{\,}{\,}K/F$的基.b5bLv
引理 2.4 对域扩张$\,K/F$,若$\,F\subset E\subset K,\,E\,$关于$\,K\,$的加法)
乘法封闭,则$E$是$F$上的向量空间.若其维数有限,则$E$是$K$的9o^
子域,$E/F$是有限域扩张.0cOJm%
证：由所论封闭性及$F\subset E\,$知$E$是$F$上的向量空间.对任一iyG}!5
$\quad\alpha\in E-\{0\},\,M_{\alpha}:\beta\mapsto\alpha\beta\,$是$\,F\,$上$\,E\,$到自身的线性单射.a#nb]
$\quad$若$\,E\,$是$\,F\,$上的有限维向量空间,则$\,M_{\alpha}\,$是满射.$\,\exists\gamma\in E$,GMt
$\quad$使$\,M_{\alpha}\gamma=\alpha\gamma=1\in E.\underset{\,}{\,}$所以$E\,$是$K$的子域.+c
定义 2.5 设$\small\,F\subset_{\mathscr{F}}K,\,S\subset K,\,$称$\small\,F(S)=\bigcap\{E\mid F\cup S\subset E\subset_{\mathscr{F}}K\}$VYTv
$\quad$为$S$在$F$上的生成域. 简记$F(\{\alpha\})$为$F(\alpha)\;(\alpha\in K).$3T$@N
$\quad$若$K=F(\alpha),$ 则称$K/F$为简单扩张.V)
定义 2.6 设$\,E_j\subset_{\mathscr{F}}K\,(j=1,2),$Cpwf
$\quad$称$E_1E_2=E_1(E_2)=E_2(E_1)$为$E_1,E_2$的合成.h
系 2.7 设$F\subset_{\mathscr{F}}E_1\cap E_2\subset_{\mathscr{R}}E_j\subset_{\mathscr{F}}K\,(j=1,2).$@N3!w3
$\quad$若$\,E_1/F,\,E_2/F\,$皆有限,则$[E_1E_2:F]\le[E_1:F][E_2:F]$R$8w
证： 取$\,E_1\,$在$\,F\,$上的一组基$\,S,\,$令$\,E=\{\underset{s\in S}{\sum}\lambda_s s\mid \lambda_s\in E_2\}$v+#@Z
$\quad\exists\{\epsilon_s\}\subset F\big(\underset{s\in S}{\sum}\epsilon_s s = 1\in E_1\big)\implies x=\overset{\,}{\underset{s\in S}{\sum}}(x\epsilon_s)s\;(\forall x\small\in E_2)$g^F^
$\because\;E_1\,$是域$\,\forall t,u\in E_1\,\exists\{\mu_s^{t,u}\}\subset F\big(tu=\underset{s\in S}{\sum}\mu_s^{t,u}s\big)$&e
$\therefore\;\forall x,y\in E\,\big(x+y=\underset{s\in S}{\sum}(\lambda_{x,s}+\lambda_{y,s}\big)s\in E\big)\wedge$w
$\qquad\bigg(xy=\underset{t,u\in S}{\sum}\lambda_{x,s}\lambda_{u,s}tu=\underset{t,u\in S}{\sum}\lambda_{t,s}\lambda_{u,s}\big(\underset{s\in S}{\sum}\mu_s^{t,u}s\big)$`8#JY
$\qquad=\underset{s\in S}{\sum}\big(\underset{t,u\in S}{\sum}\lambda_{t,s}\lambda_{u,s}\mu_s^{t,u}\big)s\in E\bigg)\;\;(\mu_s^{t,u}\in F,\,\lambda_{w,s}\in E_2)$jv>Qv
$\quad$故$\,E\supset E_2,\,$对$\,+,\,\cdot\;$封闭$,E_2(S)=E\,$是$E_2$上的向量空间qgWP
$\quad$其维数至多是$|S|=[E_1:F]].\,$于是据引理2.4,$E\subset_{\mathscr{F}}K$.@
$\quad$据Tower Law 2.3, $E_1E_2/F$ 是有限扩张,且(P"?
$\quad[E_1E_2:F]=[E_1E_2:E_2][E_2:F]\le[E_1:F][E_2:F]\quad\small\square$Aq+N
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