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 elim 
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  [这个贴子最后由elim在 2021/01/12 11:44pm 第 1 次编辑]4j
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题:分析 \(\ln x=2\sum \limits _{n=0}^\infty \frac{1}{2n+1} (\frac{x-1}{x+1})^{2n+1}\) 是否成立,何时成立.LtN
解:易见\({\small\;x\,\overset{\varphi(t)}{=\hspace{-5px}=}\,}\frac{1+t}{1-t}{\small\,\big(t\,\overset{\varphi^{-1}(x)}{=\hspace{-3px}=}}\frac{x-1}{x+1}\big)\)是\(\small(-1,1)\)到\(\small(0,\infty)\) 的双射.Km|Q@
\(\therefore\;\;\small\ln(x)=\ln(1+t)-\ln(1-t)=\sum\limits_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^{n-1}}{n}t^n+\sum\limits_{n=0}^{\infty}\frac{1}{n}t^n\)oJ7
\(\quad=\sum\limits_{n=0}^{\infty}\frac{2}{2n+1}t^{2n+1}=\sum\limits_{n=0}^{\infty}\frac{2}{2n+1}(\frac{x-1}{x+1})_.^{\small 2n+1}\scriptsize(x>0)\)p


发贴时间2021/01/04 00:58am IP: 已设置保密[本文共712字节]  

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