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久闻二次曲线是圆锥与平面的截线.从未论证过. 今予一试.ZM)r4
记$\,\mathbf{n}_{\varphi}=(0,\cos\varphi,\sin\varphi).\;$设圆锥$\,\mathfrak{C}\,$顶角$2\alpha\in({\small0,\,\pi}).\,$圆锥轴向9F
$\mathbf{n}=\mathbf{n}_{\theta},\;\theta\in[{\small0,\,\frac{\pi}{2}}],\;$锥顶$\,\mathbf{v}=-\lambda\mathbf{n}_{(\alpha+\theta)}.\;\;$截锥平面为$\,\mathfrak{P}:z=\small 0.$5p^RO
(过$\small\,O$)主母线$\,\mathfrak{L}:\; t\cdot\mathbf{n}_{(\alpha+\theta)}\;\small(t\ge -\lambda).\;\;$锥截线$\;\Gamma:\;\mathfrak{C}_{(\alpha,\theta)}\cap\mathfrak{P}$Y4<Kh
$\because\quad\mathbf{u}=(x,y,0)\in\Gamma\iff(\mathbf{u}-\mathbf{v})\cdot\mathbf{n}=(\cos\alpha)|\mathbf{u}-\mathbf{v}|\iff$#JpLR{
$\qquad y\cos\theta{\small\,+\,}\lambda\cos\alpha=(\cos\alpha)\sqrt{\lambda^2{\small+}x^2{\small+}y^2{\small+}2\lambda y\cos(\alpha{\small+}\theta)}$}CZ
$\therefore\quad x^2{\small+}\big(1{\small-\ }{\large\frac{\cos^2\theta}{\cos^2\alpha}}\big)y^2{\small+}2\lambda y\big(\cos(\alpha{\small+}\theta)-{\large\frac{\cos\theta}{\cos\alpha}}\big)={\small0\quad}(^*)$q)cI
是一般的圆锥截线方程(至多差一个保距变换). 由此即知kp1M
$\begin{array}{|r|c|c|c|c|}W+z'I
\hline 截面,锥轴夹角 &\theta\in[\,{\small 0},\alpha)&\theta=\alpha &\theta\in(\alpha,\frac{\pi}{2})&\theta=\frac{\pi}{2}\\ RKxjv7
\hlineM
 圆锥截线类型 & 双曲线 & 抛物线 & 椭圆 & 圆 \\/-3
\hline\end{array}$F
注记:所论圆锥的中轴在$\small\,\overset{^{\,^{\,}}}{YOZ}\,$平面上,顶点$\,\mathbf{v}\,(|\mathbf{v}|=\lambda)$可3Pl
$\quad$视为主母线从与$Y$轴重合绕原点逆时针转$\,\alpha+\theta\,$角而得.w~fvd8


发贴时间2020/12/30 10:24am IP: 已设置保密[本文共1576字节]  

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