>> 欢迎您,客人登录 按这里注册 忘记密码 在线 搜索 论坛风格  帮助  插件   


>>> 数学分析,奇异积分,几何,代数,微分方程,群与环,数论
Elinkage数学论坛基础数学 [返回] → 浏览:计算$\,\displaystyle\lim_{x\to 1^-}\prod_{n=1}^{\infty}\big({\small\frac{1+x^{n+1}}{1+x^n}}\big)^{x^n}$ 标记论坛所有内容为已读 

 目前论坛总在线 23 人,本主题共有 1 人浏览。其中注册用户 0 人,访客 1 人。  [关闭详细列表]
发表一个新主题 回复贴子 开启一个新投票 ◆此帖被阅读 27 次◆  浏览上一篇主题  刷新本主题  树形显示贴子 浏览下一篇主题
 * 贴子主题: 计算$\,\displaystyle\lim_{x\to 1^-}\prod_{n=1}^{\infty}\big({\small\frac{1+x^{n+1}}{1+x^n}}\big)^{x^n}$ 不分页显示此帖  保存该页为文件  本贴有问题,发送短消息报告给版主  加入个人收藏&关注本贴  显示可打印的版本  把本贴打包邮递  把本贴加入收藏夹  发送本页面给朋友   
 elim 
 头衔: 论坛版主

 

等级: 新手上路
信息: 该用户目前在线 此人为版主
威望: +5 积分: 0
现金: 167145 雷傲元
存款: 没开户
贷款: 没贷款
来自: 保密 blank
发帖: 2389
精华: 0
资料:  
在线: 50天22时26分21秒
注册: 2010/12/07 06:27am
造访: 2021/01/27 03:35am
消息 查看 搜索 好友 引用 回复贴子回复 只看我 [楼 主]
  题:计算$\,\displaystyle\lim_{x\to 1^-}\prod_{n=1}^{\infty}\big({\small\frac{1+x^{n+1}}{1+x^n}}\big)^{x^n}$;<^
解:\(\displaystyle\prod_{n=0}^{\infty}{\small\left(\frac{1+x^{n+1}}{1+x^n}\right)^{x^n}}=\lim_{N\to\infty}{\small\frac{1}{2}}\cdot\prod_{j=1}^N(1+x^j)^{(x^{j-1}-x^j)}\cdot (1+x^{N+1})^{x^N}\). X
\(\qquad\)令 \(F(x,N)=\displaystyle\prod_{j=1}^N(1+x^j)^{(x^{j-1}-x^j)}\cdot (1+x^{N+1})^{x^N}\), 则o]=o
\(\qquad\displaystyle\ln F(x,N)=\sum_{j=1}^N(x^{j-1}-x^j)\ln(1+x^j)+x^N\ln(1+x^{N+1})\)Xx#{+
\(\qquad\)对\(\,x\in(0,1),\,\)易见\(\;\ln F(x,N)\overset{N\to\infty}{\longrightarrow}\displaystyle\int_0^1\ln(1+x)dx+o(1-x)\)qp
\(\qquad=2\ln 2-1+o(1-x)\quad(o(1-x)\overset{x\to 1}{\longrightarrow}\small 0)\).es/
\(\therefore\;\;\;\displaystyle\lim_{x\to 1^-}\prod_{n=0}^{\infty}{\small\left(\frac{1+x^{n+1}}{1+x^n}\right)^{x^n}}=\lim_{x\to 1^-}{\small\frac{1}{2}}\lim_{N\to\infty}F(x,N)={\small\frac{1}{2}}e^{2\ln2-1}=\small\frac{2}{e}\)}4Ri;
©Elinkage数学论坛 -- Elinkage极酷超级论坛  \ZwY)J
注记:这里用到了连续函数黎曼积分的性质。3


发贴时间2020/12/27 10:56am IP: 已设置保密[本文共1031字节]  

 该主题只有一页

快速回复主题: 计算$\,\displaystyle\lim_{x\to 1^-}\prod_{n=1}^{\infty}\big({\small\frac{1+x^{n+1}}{1+x^n}}\big)^{x^n}$
您目前的身份是: 客人 ,要使用其他用户身份,请输入用户名和密码。未注册客人请输入网名,密码留空。
输入用户名和密码: 用户名: 没有注册? 密码: 忘记密码?
上传附件或图片 (最大容量 10000KB)
目前附件:(如不需要某个附件,只需删除内容中的相应 [UploadFile ...] 标签即可) [删除]
选项

使用 LeoBBS 标签?
显示您的签名?
有回复时使用邮件通知您?

使用字体转换?

    快速引用第 楼层的回复
 顶端 加到"个人收藏夹" 主题管理总固顶 取消总固顶 区固顶 取消区固顶 固顶 取消固顶 提升 沉底
加重 取消加重 精华 取消精华 锁定 解锁 删除 删除回复 移动


© 中文版权所有: 雷傲科技
程序版权所有: 雷傲超级论坛  版本: LeoBBS X Build051231
 

本论坛言论纯属发表者个人意见,与 Elinkage数学论坛 立场无关