试证$\;\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}e^{-nx}\ln x$ 在 $x\ge a(>0)$ 一致收敛. @ 基础数学

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elim
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题：试证$\;\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}e^{-nx}\ln x$ 在 $x\ge a(>0)$ 一致收敛.}BNC
证：$\because\;e^{-x/2}\ln x\to 0\;(x\to\infty),\;\exists M\in\mathbb{R}:|e^{-x/2}\ln x|\le M\;(\forall x\ge a)$ba
$\therefore\quad\displaystyle\sum_{k=m}^n|e^{-kx}\ln x|\le M\sum_{k=m}^n e^{-(k-1/2)x}\le M\sum_{k=m}^n e^{-(k-1/2)a}<\frac{e^{-(m-1)a}}{1-e^{-a}}$d7)
$\qquad{\large\rightrightarrows}\overset{\,}{\,0}\;(n\ge m\to\infty).\quad\small\square$MS

发贴时间 2020/12/25 02:27pm　IP: 已设置保密 [本文共549字节]　

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