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 elim 
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  题:试证若$\,m\in\mathbb{N},\sqrt{m}\not\in\mathbb{N},\;$则$\sqrt{m}\not\in\mathbb{Q}.$O$2
证:若有某$\,p,q\in\mathbb{N}\,$使$\sqrt{m}=p/q,\,$可设$\,q\,$是使之成立的最小正整数.U-HN
$\qquad$此时必有$\,\gcd(p,q)=1,\,p>q>1.\;$有$\,k,r\in\mathbb{N}\,$使$\,p=kq+r$z/
$\qquad(q>r>0).\;$由$\,\sqrt{m}q=p\,$得$\,\sqrt{m}p=mq\,$后一式减去$k\times$前一式j(:
$\qquad$得$\,\sqrt{m}r=\sqrt{m}(p-kq)=mq-kp,\;\sqrt{m}={\small\dfrac{mq-kp}{r}},\,q\,$非所称Z<^
$\qquad$最小. 此为矛盾. 故$\,\sqrt{m}\not\in\mathbb{Q}.\quad\small\square$mhQ}<


发贴时间2020/12/25 05:30am IP: 已设置保密[本文共556字节]  
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  注记:上述证法叫作【无穷递降法】Infinite descent method.Y
$\qquad$在毕达哥拉斯的古希腊时代已有使用.之所以称为无穷递降,拿o
$\qquad$主贴为例,不假定$q$的最小性,就没有矛盾,于是从$\,q\,$得$\,r\,$的过程|H0u
$\qquad$可以不断重复,这就产生了无穷递降现象.&_8


发贴时间2020/12/25 05:35am IP: 已设置保密[本文共286字节]  

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