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* 贴子主题： 试证\(\;\displaystyle{\small\int_0^{\infty}}e^{-nx}\ln x dx=\small-\frac{\gamma+\ln n}{n}.\)                 默认小略大较大很大最大

elim   头衔: 论坛版主   等级: 新手上路 信息: 威望: +5　积分: 0 现金: 167145 雷傲元 存款: 没开户 贷款: 没贷款 来自: 保密　 发帖: 2389 篇 精华: 0 篇 资料: 　 在线: 50天22时26分21秒 注册: 2010/12/07 06:27am 造访: 2021/01/27 03:35am 消息　查看　搜索　好友　引用　回复　只看我　 [楼 主]   题：试证\(\;\displaystyle{\small\int_0^{\infty}}e^{-nx}\ln x dx=\small-\frac{\gamma+\ln n}{n}.\).gT6 解：易见\(\,\displaystyle\lim_{n\to\infty}\int_0^n\big(1-{\small\frac{x}{n}}\big)^{n-1}\ln xdx=\int_0^{\infty}e^{-x}\ln xdx\);(}"U \(\qquad\displaystyle\int_0^n\big(1-{\small\frac{x}{n}}\big)^{n-1}\ln xdx\overset{u=1-\frac{\large x}{n}}{=}n\int_0^1 u^{n-1}\ln(n(1-u))du\)5 \(\displaystyle\qquad=n\ln n\int_0^1 u^{n-1}du+n\int_0^1 u^{n-1}\ln(1-u)du\){.."F \(\displaystyle\qquad=\ln n-n\int_0^1\sum_{k=1}^{\infty}{\small\frac{1}{k}}u^{k+n-1}du=\ln n-\sum_{k=1}^{\infty}{\small\frac{n}{k(k+n)}}\)]tc5T \(\displaystyle\qquad=\ln n-\sum_{k=1}^n{\small\frac{1}{k}}=\ln n-H_n\overset{n\to\infty}{\longrightarrow}-\gamma.\)) \(\therefore\quad\displaystyle\underset{\,}{\int_0^{\infty}}e^{-nx}\ln xdx\overset{s=nx}{=}{\small\frac{1}{n}}\int_0^{\infty}e^{-s}(\ln s-\ln n)ds\)?&W/n \(\qquad\boxed{\int_0^{\infty}e^{-nx}\ln xdx=\small-\frac{\gamma+\ln n}{n}\quad(n\in\mathbb{N}^+)}\qquad\small\square\)f/0@Y 2020/12/13 02:04pm　IP: 已设置保密 [本文共1024字节]

elim   头衔: 论坛版主   等级: 新手上路 信息: 威望: +5　积分: 0 现金: 167145 雷傲元 存款: 没开户 贷款: 没贷款 来自: 保密　 发帖: 2389 篇 精华: 0 篇 资料: 　 在线: 50天22时26分21秒 注册: 2010/12/07 06:27am 造访: 2021/01/27 03:35am 消息　查看　搜索　好友　引用　回复　只看我　 [第 2 楼]   这个计算非常初等,非常漂亮. 其数学思想值得关注.atCJ_! 2020/12/16 11:41am　IP: 已设置保密 [本文共70字节]

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