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 elim 
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  题:试证\(\;\displaystyle{\small\int_0^{\infty}}e^{-nx}\ln x dx=\small-\frac{\gamma+\ln n}{n}.\).gT6
解:易见\(\,\displaystyle\lim_{n\to\infty}\int_0^n\big(1-{\small\frac{x}{n}}\big)^{n-1}\ln xdx=\int_0^{\infty}e^{-x}\ln xdx\);(}"U
\(\qquad\displaystyle\int_0^n\big(1-{\small\frac{x}{n}}\big)^{n-1}\ln xdx\overset{u=1-\frac{\large x}{n}}{=}n\int_0^1 u^{n-1}\ln(n(1-u))du\)5
\(\displaystyle\qquad=n\ln n\int_0^1 u^{n-1}du+n\int_0^1 u^{n-1}\ln(1-u)du\){.."F
\(\displaystyle\qquad=\ln n-n\int_0^1\sum_{k=1}^{\infty}{\small\frac{1}{k}}u^{k+n-1}du=\ln n-\sum_{k=1}^{\infty}{\small\frac{n}{k(k+n)}}\)]tc5T
\(\displaystyle\qquad=\ln n-\sum_{k=1}^n{\small\frac{1}{k}}=\ln n-H_n\overset{n\to\infty}{\longrightarrow}-\gamma.\))
\(\therefore\quad\displaystyle\underset{\,}{\int_0^{\infty}}e^{-nx}\ln xdx\overset{s=nx}{=}{\small\frac{1}{n}}\int_0^{\infty}e^{-s}(\ln s-\ln n)ds\)?&W/n
\(\qquad\boxed{\int_0^{\infty}e^{-nx}\ln xdx=\small-\frac{\gamma+\ln n}{n}\quad(n\in\mathbb{N}^+)}\qquad\small\square\)f/0@Y


发贴时间2020/12/13 02:04pm IP: 已设置保密[本文共1024字节]  
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  这个计算非常初等,非常漂亮. 其数学思想值得关注.atCJ_!


发贴时间2020/12/16 11:41am IP: 已设置保密[本文共70字节]  

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