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题：试证\(\;\;\;\;\displaystyle\lim_{x\to 0}\small\frac{1-\cos x\cos 2x\cdots\cos nx}{x^2}=\frac{n(n+1)(2n+1)}{12}\)g
证：记所论极限为\(\,L_n,\;\;P_0(x)=1,\,P_n(x)=P_{n-1}(x)\cos nx,\,\)则lF
\(\qquad L_0=0,\;\;P_{k}\sim 1,\;\;\;\;\therefore\;\;L_n=\displaystyle\lim_{x\to 0}{\small\frac{1-P_{n-1}(x)(1-(1-\cos nx))}{x^2}}\)s19aoC
\(\qquad=L_{n-1}+\displaystyle\lim_{x\to 0}{\small P_{n-1}(x)\frac{1-\cos nx}{x^2}}=L_{n-1}+{\small\frac{1}{2}}n^2=\small\frac{1}{2}\sum_{k=1}^n k^2\)e3!$
\(\therefore\quad\boxed{\lim_{x\to 0}\small\frac{1-\cos x\cos 2x\cdots\cos nx}{x^2}=\frac{n(n+1)(2n+1)}{12}}\)DO
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2020/12/08 03:03am 
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