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 elim 
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  题:求\(\,|5x+6y|+|9x+11y|\le 1\) 确定的区域面积.^e
解:\(|5x+6y|+|9x+11y|\le 1\iff(\max|5x+6y\pm(9x+11y)|\le 1)\)mS;WW
\(\Longleftrightarrow(|14x+17y|\le 1)\wedge(|4x+5y|\le 1)\Longleftrightarrow\begin{bmatrix}14&17\\4&5 \end{bmatrix}\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}\in[-1,1]^2\)!
所求面积\(\,|\Omega|=m\bigg({\small\begin{bmatrix}14&17\\4&5\end{bmatrix}^{-1}}([-1,1]^2)\bigg)={\large\frac{\overset{\,}{|[-1,1]^2|}}{\left|\det\begin{bmatrix}14&17\\4&5\end{bmatrix}\right|}}=2.\quad\small\square\)>[9


发贴时间2020/09/14 07:50am IP: 已设置保密[本文共536字节]  
 elim 
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  一般地,当\(\,(a,b),(c,d)\,\)线性无关时,所论区域\(\,\Omega\,\)由下述条件确定:"D,W!1
\(|ax+by|+|cx+dy|\le c>0 \iff \begin{bmatrix}a+c& b+d\\a-c& b-d\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}\in[-c,c]^2\)b)
令\(\,\Phi(x,y)=\begin{bmatrix}a+c&b+d\\a-c&b-d\end{bmatrix}^{-1}\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}\), 则\(\,[-c,c]^2\overset{\Phi}{\longrightarrow}\Omega\) 是满秩变换7
\(\therefore\;\;\displaystyle|\Omega|=\color{blue}{{\small\int_{\Omega}}={\small\int_{\Phi^{-1}(\Omega)}}|J_{\Phi}|}={\small\int}_{[-c,c]^2}|J_{\Phi}|=\small\frac{2c^2}{|ad-bc|}.\quad\small\square\)F@1*


发贴时间2020/09/14 08:35am IP: 已设置保密[本文共596字节]  

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