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 elim 
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  题:计算积分\(\;\small\displaystyle\int_0^1\frac{\ln(1+x)}{1+x^2}dx\)cu>~
解:作变量代换\(\,x=\tan\theta,\,\)则原积分|]^=AR
\(\qquad I={\small\displaystyle\int_0^1\frac{\ln(1+x)}{1+x^2}dx=\int_0^{\large\frac{\pi}{4}}}\ln(1+\tan\theta)d\theta\)np,cp
\(\qquad\overset{\varphi={\large\frac{\pi}{4}}-\theta}{=}{\small\displaystyle\int_0^{\large\frac{\pi}{4}}}\ln(1+\tan(\frac{\pi}{4}-\varphi))d\varphi\)/=}p4f
\(\because\quad(1+\tan\theta)(1+\tan(\frac{\pi}{4}-\theta))=2,\,\)取末二积分之平均得i6
\(\qquad I=\frac{1}{2}{\small\displaystyle\int_0^{\large\frac{\pi}{4}}}\ln 2\,d\theta = {\large\frac{\pi}{8}}\ln 2.\small\quad\square\)(VX/wV


发贴时间2020/08/27 03:05am IP: 已设置保密[本文共658字节]  
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  令$\;I(a) =\small\displaystyle\int^1_0\frac{\log(ax+1)dx}{x^2+1}$J@
$\displaystyle\quad I'(a)=\small\int^1_0 \frac{xdx}{(ax+1)(x^2+1)}=\frac{1}{1+a^2}\int_0^1\big(\frac{x+a}{x^2+1}-\frac{a}{ax+1}\big)dx$A<z
$\qquad\quad\;=\small-\dfrac{\log(a+1)}{a^2+1}+\dfrac{\log 2}{2(a^2+1)}+\dfrac{\pi a}{4(a^2+1)}$Wc
$\therefore\;\;\small I(1)-I(0)=\displaystyle\,\int_0^1I'(a)da)=-I(1)+\dfrac{\pi\log 2}{4}\;\small(I(0)=0)$]yR}^|
$\therefore\;\;\overset{\,}{I(1)}={\small\dfrac{\pi}{8}}\log 2$oy


发贴时间2020/08/28 05:44pm IP: 已设置保密[本文共506字节]  

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快速回复主题: 计算积分\(\;\small\displaystyle\int_0^1\frac{\ln(1+x)}{1+x^2}dx\)
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