>> 欢迎您,客人登录 按这里注册 忘记密码 在线 搜索 论坛风格  帮助  插件   


>>> 数学分析,奇异积分,几何,代数,微分方程,群与环,数论
Elinkage数学论坛基础数学 [返回] → 浏览:简明极限论 标记论坛所有内容为已读 

 目前论坛总在线 8 人,本主题共有 1 人浏览。其中注册用户 0 人,访客 1 人。  [关闭详细列表]
发表一个新主题 回复贴子 开启一个新投票 ◆此帖被阅读 100 次◆  浏览上一篇主题  刷新本主题  树形显示贴子 浏览下一篇主题
 * 贴子主题: 简明极限论 不分页显示此帖  保存该页为文件  本贴有问题,发送短消息报告给版主  加入个人收藏&关注本贴  显示可打印的版本  把本贴打包邮递  把本贴加入收藏夹  发送本页面给朋友   
 elim 
 头衔: 论坛版主

 

等级: 新手上路
信息: 该用户目前不在线 此人为版主
威望: 0 积分: 0
现金: 160895 雷傲元
存款: 没开户
贷款: 没贷款
来自: 保密 blank
发帖: 2304
精华: 0
资料:  
在线: 48天18时33分27秒
注册: 2010/12/07 06:27am
造访: 2020/09/22 06:29am
消息 查看 搜索 好友 引用 回复贴子回复 只看我 [楼 主]
  记\(\,\mathbb{R}\,\)为实数域,\(\{a_n\}\)是实数序列\(\,a_1,a_2,a_3,\ldots,a_n,\ldots\)s
称\(\{a_n\}\)收敛,其极限为\(A\in\mathbb{R},\,\)记作\(\displaystyle\lim_{n\to\infty}a_n=A,\,\)如果N_'H~
任意给定\(\varepsilon>0,\,\)存在\(\,N\in\mathbb{N},\,|a_n-A|\,\)对任意\(\,n>N\)成立.]RM$*
上述定义可以表示为8
\(\displaystyle\lim_{n\to\infty}a_n=A\iff\forall\varepsilon>0\,\exists N\in\mathbb{N}\,\forall n>N:\,|a_n-A|< \varepsilon\)b
例1 \(\;\displaystyle\lim_{n\to\infty}{\small\frac{1}{n}}=0\)s7U
证:对\(\,\varepsilon>0\,\)取\(\,N=\lfloor\frac{1}{\large\varepsilon}\rfloor,\,\)MnQS
\(\qquad\)则\(\,n{\small >N\implies} n{\small\ge N+1>}\frac{1}{\large\varepsilon}{\small\implies}|\frac{1}{n}-0|=\frac{1}{n}< \varepsilon. \)k(-T
例2 \(\;\displaystyle\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{n}=1\)A
证:令\(\,h_n=\sqrt[n]{n}-1,\,\)则\(\,\frac{n(n-1)}{2}h_n^2< (1+h_n)^n=n\)-D
\(\therefore\quad h_n<\sqrt{\frac{2}{n-1}}\;\small(n>1).\,\)对\(\,\varepsilon>0,\,\)取\(\,N=1+\lfloor\frac{2}{\large\varepsilon^2}\rfloor,\,\)则}Tj
\(\qquad n>N\implies n\ge N+1>\frac{2}{\large\varepsilon^2}+1\implies\sqrt{\frac{2}{n-1}}<\varepsilon\)OJ
\(\quad\;\;\implies|\sqrt[n]{n}-1|=h_n<\varepsilon.\quad\small\overset{\,}{\square}\)Sz
定义:若\(\,A\in\mathbb{R},\,\)有无穷多个\(\,n\,\)使\(\,a_n\in(A-\varepsilon,A+\varepsilon),\,\)则*l
\(\qquad\)称\(\,A\,\)是序列\(\{a_n\}\)的一个聚点.}
例3\(\;\underset{\,}{\big\{\frac{n^{(-1)^n}}{1+n^{(-1)^n}}\big\}}\)有两个聚点\(\,\pm 1.\;\{\sqrt[n]{n}\}\,\)的聚点是\(\,1.\)Z&Ab.C
评注:从数列极限的定义及上面的例子知道,数列的极限}SR
是一个实数(定植),任意给定误差\(\,\varepsilon>0,\,\),当\(\,n\,\)充分大时数\XlKD5
列的项\(\,a_n\,\)与该实数\(\,A\,\)的误差均小于\(\,\varepsilon.\;\)从几何上看,收敛数7pHy
列的项在含其极限的任意开区间外至多只有有限项.r4\j>P
数列极限的定义不要求,甚至本质上是视"可达性问题"为伪[c<TOm
问题的.因为如果一个序列的某一项达到(等于)所需值,那s6aC{H
么就没有求极限的必要了.可达性问题之所以被提出,是因/~
为直觉主义者把数列视为一个运动过程的记录,把极限视为h
这个运动过程的终点.然而正是因为人们无法用过程的过渡[v]
性状态来定义"过程终点",极限方法才是必要的.数学史上r4L
的第二次(数学)危机的解决,就是给出了极限的严格定义,8&
把极限定义为序列的唯一聚点,改正了把极限视为过程的终_Vvg$}
点的错误\(\underset{\,}{.}\)zsh
定理0 设\(\,\{a_n\}\,\)收敛,则\(\,\{a_n\}\,\)有界,其极限唯一.[`K
证: 取\(\,\varepsilon=1,\,\)则有\(\,N\in\mathbb{N}\,\)使\(\,|a_n-A|< 1.\)W2a
\(\qquad\)令\(\,M=\max\{|A|+1,|a_1|,\ldots,|a_N|\}\in\mathbb{R}\),则<jU_%
\(\qquad|a_n|\le M\;(\forall n\in\mathbb{N}^+)\,\)即序列有界._B#RjC
\(\qquad\)若\(\,\{a_n\}\,\)趋于\(\,A,A'\in\mathbb{R},\,\delta=|A-A'|>0\)]:
\(\qquad\)取\(\,\varepsilon=\frac{\large\delta}{4},\;N\in\mathbb{N},\,\)使U?1m'
\(\qquad\delta\le|a_n-A|+|a_n-A'|< 2\varepsilon=\frac{\large\delta}{2}\;\small(n>N)\)+`
\(\qquad\)此为矛盾. 故必有\(\,A=A'.\)Ux
定理1 设\(\displaystyle\,\lim_{n\to\infty}a_n=A,\,\lim_{n\to\infty}b_n=B,\,c\in\mathbb{R}\)则U<5
\(\qquad\displaystyle\lim_{n\to\infty} ca_n = cA,\;\lim_{n\to\infty}(a_n\pm b_n)=A\pm B.\)EO]
\(\qquad\displaystyle\lim_{n\to\infty}a_nb_n=AB,\;\;(B\ne 0\ne b_n)\implies\lim_{n\to\infty}\small\frac{a_n}{b_n}=\scriptsize\frac{A}{B}\)+'-4:F
证:只证定理最后那个论断.取\(\small\,N_1\)使\(\,|b_n| >\frac{|B|}{2}\small\,(n >N_1)\)<
\(\qquad\)对\(\,\varepsilon>0,\)取\(\small\,N_2\,\)使\({\small\,|a_n-A|,|b_n-B|<} \frac{4^{-1}|B|^2\varepsilon}{\max(|A|,|B|)}\;\small(n>N_2)\)CQgF
\(\therefore\quad\big|\frac{a_n}{b_n}{\small-\frac{A}{B}}\big|\le\big|\frac{2(|a_n-A||B|+|b_n-B||A|)}{B^2}\big|<\frac{4\max(|A|,|B|)}{B^2}\frac{4^{-1}|B|^2\varepsilon}{\max(|A|,|B|)}\)sk=vJ
\(\qquad = \varepsilon\small\;\;(n>\max(N_1,N_2)).\quad\square\)E-7z1`


发贴时间2020/08/07 00:42pm IP: 已设置保密[本文共3776字节]  
 elim 
 头衔: 论坛版主

 

等级: 新手上路
信息: 该用户目前不在线 此人为版主
威望: 0 积分: 0
现金: 160895 雷傲元
存款: 没开户
贷款: 没贷款
来自: 保密 blank
发帖: 2304
精华: 0
资料:  
在线: 48天18时33分27秒
注册: 2010/12/07 06:27am
造访: 2020/09/22 06:29am
消息 查看 搜索 好友 引用 回复贴子回复 只看我 [第 2 楼]
  定理2 单调有界序列必收敛.;-Q
证:不妨设\(\{a_n\}\)单调升. 令\(\,E=\{a_n\mid n\in\mathbb{N}^+\},\;A=\sup E.\)E
\(\qquad\)任给\(\,\varepsilon>0,\;\,A-\varepsilon/2\,\)不是\(\,E\,\)的上界,存在某\(\,N\in\mathbb{N}\,\)使H
\(\qquad A-\varepsilon < a_N\le a_n\le A\small\;(n>N).\,\)即\(\,|a_n-A|< \varepsilon\;\small(n> N)\).GVx
例4 设\((a_1,b_1)=(3,2),\,(a_{n+1},b_{n+1})=(a_n+2b_n,a_n+b_n)\)d
\(\qquad\)试证\(\,\{\frac{a_n}{b_n}\}\)收敛, 并计算\(\,\displaystyle\lim_{n\to\infty}{\small\frac{a_n}{b_n}}\).95H0W
解:从递归关系得\(\,a_{n+1}=b_{n+1}+b_n=b_{n+2}-b_{n+1}.\,\)于是^uF^Z
\(\quad\)\(b_{n+2}-2b_{n+1}-b_n=0,\;\; b_n=\frac{1}{2\sqrt{2}}\big({\small(1+\sqrt{2})^{n+1}-(1-\sqrt{2})^{n+1}}\big)\)Y,3]"/
\(\quad\)进而得\(\,a_n=\frac{1}{2}\big({\small(1+\sqrt{2})^{n+1}+(1-\sqrt{2})^{n+1}}\big)\)8v
\(\quad\)注意\(\,\small(1+\sqrt{2})^n\,(\color{blue}{(1-\sqrt{2})^n}))\to\infty\,(\color{blue}{0})\;{\small(n\to\infty),}\;\,\displaystyle\lim_{n\to\infty}{\small\frac{a_n}{b_n}}=\sqrt{2}.\) (8@By


发贴时间2020/08/08 11:59am IP: 已设置保密[本文共1043字节]  
 elim 
 头衔: 论坛版主

 

等级: 新手上路
信息: 该用户目前不在线 此人为版主
威望: 0 积分: 0
现金: 160895 雷傲元
存款: 没开户
贷款: 没贷款
来自: 保密 blank
发帖: 2304
精华: 0
资料:  
在线: 48天18时33分27秒
注册: 2010/12/07 06:27am
造访: 2020/09/22 06:29am
消息 查看 搜索 好友 引用 回复贴子回复 只看我 [第 3 楼]
  极限定义注记6l
全称量词 \(\forall\varepsilon>0\,\)意即对每个正数\(\,\varepsilon\),不是对集\(\{\varepsilon{\small\,\in\mathbb{R}}:\,\varepsilon> 0\}\)=e
若对以某个集合的对象为参量的陈述作全称判断, 就会用到I^8!:`
全称量词而不是逐一写该参量的各种取值. "逐一写出"一般$
没有操作性,尤其当所论集合是无穷集合时.-6
©Elinkage数学论坛 -- Elinkage极酷超级论坛  :V6
全称量词反映的是数学的有限性原则,无穷的的东西要用有-f1"q
限形式表达.否则被视为没有意义.所以"写不到底","算不b7
到底",这类说词都没有确切的数学意义,更没有应用价值.h
人类数学关于这类对数学的弱智虚无化的谬论的有力回应 6
是以下定理:kHEMyi
\(\,\forall x\in\mathbb{R}\,\exists\{d_n\}\in([0,9]\cap\mathbb{N})^{\mathbb{N}}:\,x=\text{sgn}(x)\big(\lfloor|x|\rfloor{\small+{\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}}}d_n 10^{-n}\big)\)8
这个定理保证了任何实数都有十进制值,并且可以被一个有=4~
限十进小数升序列任意逼近.3


发贴时间2020/08/09 09:39am IP: 已设置保密[本文共864字节]  
 elim 
 头衔: 论坛版主

 

等级: 新手上路
信息: 该用户目前不在线 此人为版主
威望: 0 积分: 0
现金: 160895 雷傲元
存款: 没开户
贷款: 没贷款
来自: 保密 blank
发帖: 2304
精华: 0
资料:  
在线: 48天18时33分27秒
注册: 2010/12/07 06:27am
造访: 2020/09/22 06:29am
消息 查看 搜索 好友 引用 回复贴子回复 只看我 [第 4 楼]
  在实分析中,序列通常指映射(函数)\(\{a_n\}:\mathbb{N}^+\to\mathbb{R}\small\,(n\mapsto a_n)\)(OOp
序列极限式\(\,\displaystyle\lim_{n\to\infty}a_n=A\,\)被定义为k
\((\dagger)\quad\qquad\forall\varepsilon>0\,\exists N\in\mathbb{N}\,\forall n>N:\,|a_n-A|< \varepsilon\){p~$7Q
陈述\(\small\,(\dagger)\,\)可用普通语言重述为: 对任给正数\(\,\varepsilon,\)存在正整数\(\,N,\)"bATS
对任意\(\,n>N\,\),\(|a_n-A|< \varepsilon\,\)均成立.
直观地就是说,当\(\,n\,\)充_,'t.m
分大后\(\,a_n\,\)与\(\,A\,\)的差均小于事先任意给定的误差\(\,\varepsilon>0.\) 可见TG
这样定义序列极限是很合情理的.G0
我们更乐意说,当\(\,n\,\)趋于\(\infty\)(无穷大)时\(\,a_n\,\)趋于\(\,A.\) 记作?G%7Ub
\(a_n\to A\;(n\to\infty).\)但此说法的可证伪(可检验)形式还是\((\dagger).\)a&
jzkyllcjl认为极限是过程的终点. 所以对于无法定义终点Pr&u
的过程的极限无法信任. 换句话说,他希望说\(\,n\,\)等于无穷大zVwXv(
时序列的极限等于\(A.\,\)这就过程达到了极限(终点).当这种f{l
"终点"成见具有某种非法性时(例如\(\,a_n\,\)是\(\,\frac{0}{0},\,或\,0\infty\)不定式Xcy3
时,也就是过程状态有了质变时,jzkyllcjl倾向于问责极限gMR,52
理论.其实真正应该放弃的是极限的这种过程终点解读.[/
©Elinkage数学论坛 -- Elinkage极酷超级论坛  /
用形式语言定义数学概念和关系的又一好处是逻辑运算可以+Mu
用命题代数实现.例如\(\,\displaystyle\lim_{n\to\infty}a_n\ne A\,\)的定义是u
\((\ddagger)\quad\qquad\exists\varepsilon>0\,\forall N\in\mathbb{N}\,\exists n>N:\,|a_n-A|\ge \varepsilon\)wSs}L
换句话说,要否证\(\,\displaystyle\lim_{n\to\infty}a_n= A,\,\)只要找到一个正数\(\,\varepsilon>0,\)i>Y;
并证明存在无穷多正整数\(\,n\,\)使得\(\,|a_n-A|\ge\varepsilon\underset{\,}{.}\)R~
\(\small(\dagger),(\ddagger)\,\)的关系,就是将全称量词与存在量词互换,把所有量词)*Z)=
后的命题与其否命题互换.":


发贴时间2020/08/14 07:49am IP: 已设置保密[本文共1679字节]  
 elim 
 头衔: 论坛版主

 

等级: 新手上路
信息: 该用户目前不在线 此人为版主
威望: 0 积分: 0
现金: 160895 雷傲元
存款: 没开户
贷款: 没贷款
来自: 保密 blank
发帖: 2304
精华: 0
资料:  
在线: 48天18时33分27秒
注册: 2010/12/07 06:27am
造访: 2020/09/22 06:29am
消息 查看 搜索 好友 引用 回复贴子回复 只看我 [第 5 楼]
  定义 称\(\,\{a_n\}\,\)发散,如果\(\,\forall A\in\mathbb{R}:\lnot(\displaystyle\lim_{n\to\infty}a_n=A).\iff\)s
\((^*)\quad\forall A\in\mathbb{R}\,\exists\varepsilon>0\,\forall N\in\mathbb{N}\,\exists n>N:\,|a_n-A|\ge\varepsilon.\)OY7
©Elinkage数学论坛 -- Elinkage极酷超级论坛  yk`^
例5\(\;\;\big\{\frac{(-1)^nn}{n+1}\big\}\,\)发散.=v;l
证:取$\,\varepsilon=\frac{1}{2},\;N\in\mathbb{N}^+,\,A\in\mathbb{R}.\;$当$\,A\le 0\,$时取$\,n=2N,\,$则dZ
$\qquad|a_n-A|\ge\frac{n}{n+1}>\frac{1}{2}=\varepsilon.\;\;A>0\,$时取$\,n=2N+1$51
$\qquad|a_n-A|=\frac{n}{n+1}+A\ge\frac{3}{4}>\varepsilon.\quad\therefore\;\big\{\frac{(-1)^nn}{n+1}\big\}\,$发散.fjl


发贴时间2020/08/20 02:44am IP: 已设置保密[本文共634字节]  

 该主题只有一页

快速回复主题: 简明极限论
您目前的身份是: 客人 ,要使用其他用户身份,请输入用户名和密码。未注册客人请输入网名,密码留空。
输入用户名和密码: 用户名: 没有注册? 密码: 忘记密码?
上传附件或图片 (最大容量 10000KB)
目前附件:(如不需要某个附件,只需删除内容中的相应 [UploadFile ...] 标签即可) [删除]
选项

使用 LeoBBS 标签?
显示您的签名?
有回复时使用邮件通知您?

使用字体转换?

    快速引用第 楼层的回复
 顶端 加到"个人收藏夹" 主题管理总固顶 取消总固顶 区固顶 取消区固顶 固顶 取消固顶 提升 沉底
加重 取消加重 精华 取消精华 锁定 解锁 删除 删除回复 移动


© 中文版权所有: 雷傲科技
程序版权所有: 雷傲超级论坛  版本: LeoBBS X Build051231
 

本论坛言论纯属发表者个人意见,与 Elinkage数学论坛 立场无关