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 elim 
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发贴时间2020/06/24 02:41am IP: 已设置保密[本文共181字节]  
 elim 
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  题:试证$\;(\delta_{i\le j})_{m\times m}^n = (\delta_{i\le j}C_{n-1+j-i}^{j-i})_{m\times m}$q{Gh%
证:固定$\,m>1,\,$定义${\small\,C_k^{-1}=0,\,C_k^0=}\delta_{0\le k},\,\delta_{i\le j}{\small=}\scriptsize\begin{cases}1& j\le j,\\0& i>j\end{cases},$^gBN
$\qquad A=(\delta_{i\le j})_{m\times m}=(\delta_{i\le j}C_{j-i}^{j-i}).\,$假定题断对某$n$成立,则h=Mg
$\qquad A^{n+1}=A^nA\,$的$\small(i,j)$元素是$\small\;\displaystyle{\sum_{k=i}^j}C_{n-1+k-i}^{k-i}=\sum_{k=0}^{j-i}C_{n-1+k}^k$gngQ
$\qquad{\small\displaystyle=\underset{\,}{\sum_{k=0}^{j-i}}\big(C_{n+k}^k-C_{n-1+k}^{k-1}\big)=}\delta_{i\le j}\small C_{n+j-i}^{j-i}.\quad\scriptsize\square$#
例:$\small\begin{bmatrix}1&1&1&1&1\\0&1&1&1&1\\0&0&1&1&1\\0&0&0&1&1\\0&0&0&0&1 \end{bmatrix}^n=\begin{bmatrix}1&C_n^1&C_{n+1}^2&C_{n+2}^3&C_{n+3}^4\\0&1&C_n^1&C_{n+1}^2&C_{n+2}^3\\0&0&1&C_n^1&C_{n+1}^2\\0&0&0&1&C_n^1\\0&0&0&0&1 \end{bmatrix}$:#101
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$\qquad\small\begin{bmatrix}1&1&1&1&1\\0&1&1&1&1\\0&0&1&1&1\\0&0&0&1&1\\0&0&0&0&1 \end{bmatrix}^7=\begin{bmatrix}1&7&28&84&210\\0&1&7&28&84\\0&0&1&7&28\\0&0&0&1&7\\0&0&0&0&1 \end{bmatrix}.$=)r>aw
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$\qquad\big(C_{m+1}^{k+1}=\frac{m+1}{k+1}C_m^k\big)$V(u


发贴时间2020/06/25 04:04am IP: 已设置保密[本文共1186字节]  

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