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 elim 
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  题:$\exists! x\in\mathbb{R},\{a_n\}\in\mathbb{Z}_{\small<}^{\mathbb{N}}\,\big( 3r^5+7r-3=0,\;\;\frac{3}{7}=\sum r^{a_n}\big)\,$src['
证:奇函数$\,f(x)=3x^5+7x\,$在$[0,\infty)\,$上,因而在$\,\mathbb{R}$严格增.C(
$\because\quad f(0){\small-3< 0},\;f(\frac{1}{2}){\small-3=}\frac{1}{2}\small>0,\quad\therefore\;\;f(x)\small-3=0\;$恰有一$
$\qquad$实根$\,r\in(0,\frac{1}{2}):\;\;3r^5+7r-3=0.$'1
$\therefore\quad\frac{3}{7}=\large\frac{r}{1-r^{{\small\,}5}}={\small\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}}\,r^{1+5n}.\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\small(^{\star})$OT-~Mg
$\qquad$设$\small\,\{a_n\},\{b_n\}\in\mathbb{Z}_{<}^{\mathbb{N}}=\{\varphi:\mathbb{N}\to\mathbb{Z}:\varphi(m)< \varphi(m+1)\;(\forall m)\}$,3ZDc
$\qquad\,a_k=b_k\,(\forall k< m),\;a_m < b_m,\,$则$\;r^{b_m}+r^{b_{m+1}}+\cdots$d/I
$\qquad\,\le{\large\frac{r^{\,b_m}}{1-r}}< 2r^{b_m}=(2r)r^{b_m -1}< r^{a_m}< r^{a_m}+r^{a_{m+1}}+\cdots.${
$\therefore\quad\displaystyle{\forall \small\,\{a_n\},\{b_n\}\in\mathbb{Z}_{\small<}^{\mathbb{N}}}:\,\big(\big({\small\sum_{n=1}^{\infty}}\,r^{a_n}{\small=}{\small\sum_{n=1}^{\infty}}\,r^{b_n}\big){\small\implies}({\small\{a_n\}=\{b_n\}})\big)$_8Tl,*
$\therefore\quad a_n\small = 1+5n\,(\forall n\in\mathbb{N})\,$是唯一使$\small\,(^{\star})\,$成立的严格增整数列.#


发贴时间2020/05/30 11:53am IP: 已设置保密[本文共1388字节]  

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