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 * 贴子主题: 令$\,G(r)=\underset{m,n\in\mathbb{Z}}{\min}|r-\sqrt{m^2+2n^2}|\quad\small(r>0).\quad$试求$\,\displaystyle\lim_{r\to\infty}G(r).$ 不分页显示此帖  保存该页为文件  本贴有问题,发送短消息报告给版主  加入个人收藏&关注本贴  显示可打印的版本  把本贴打包邮递  把本贴加入收藏夹  发送本页面给朋友   
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  题:令$\,G(r)=\underset{m,n\in\mathbb{Z}}{\min}|r-\sqrt{m^2+2n^2}|\quad\small(r>0).\quad$试求$\,\displaystyle\lim_{r\to\infty}G(r).$U
解:不妨设$\,r>1.\,$令$\,m_r=\lfloor r\rfloor,\,\theta_r=\arccos{\large\frac{m_r}{r}},\;n_r=\lfloor\frac{r}{\sqrt{2}}\sin\theta_r\rfloor,$P/89^b
$\qquad$则$\;\,m_r^2+2n_r^2\le r^2{\small\color{gray}{(=(r\cos\theta_r)^2+2(\frac{r}{\sqrt{2}}\sin\theta_r)^2)}}< m_r^2+2(n_r+1)^2\;$O%mnn\
$\therefore\underset{\,}{\quad} 0\le G(r)\le r-\sqrt{m_r^2+2n_r^2}< \sqrt{m_r^2{\small +2(}n_r\small+1)^2}-\sqrt{m_r^2+2n_r^2}$J?|5
$\qquad{\small<{\large\frac{2(2n_r+1)}{2\sqrt{m_r^2+2n_r^2}}}< {\large\frac{1+\sqrt{2}r\sin\theta_r}{r-1}}}\to 0\;(\theta_r\overset{r\to\infty}{\longrightarrow}0).\quad\square$D
©Elinkage数学论坛 -- Elinkage极酷超级论坛  fvF,"
注:$\;\lfloor x\rfloor\,$是$\,x\,$的整数部分.V,k,


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  注记:这种【整点问题】似曾相识,在如何解决上又总是不长记性.UxM1O
$\qquad$所以值得给个注记.首先让我想起的是$\,m^2+2n^2 = r^2\,$这种可k6
$\qquad$遇不可求的情形.但易见"靠近"椭圆$\;\mathbf{\psi}(r,\theta)=r(\cos\theta,\frac{1}{\sqrt{2}}\sin\theta)\,$ml[q=
$\qquad$的整点$(m,n)$使$\,r'{\small=}\sqrt{m^2{\small+\,2\,}n^2}\,$靠近$\,r\,$.为此考察$\,(m_r,n_r)\,$其中\
$\qquad\theta_r\ge 0\,$是使$\,m_r=\lfloor r\rfloor=r\cos\theta\,$的最小$\,\theta.\;$接下来的事情是估计uZReK
$\qquad r-\sqrt{m_r^2+2n_r^2}.$ 結果证实$\;\,G(r)= O(\theta_r)\;\;(\theta_r\overset{r\to\infty}{\longrightarrow}0).$iX
$\qquad$按此在新窗口浏览图片 F~


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  請問老師,這是什麼符號?$\lfloor\frac{r}{\sqrt{2}}\sin\theta_r\rfloor$9k7
elim: $\lfloor x\rfloor\,$是不超过$x$的最大整数($x$的整数部分).{
©Elinkage数学论坛 -- Elinkage极酷超级论坛  K-)Q
為何r取大於1? 題目不是 $r>0$.MDtykQ
elim: 为了使$m_r> 0.$ 这对所考察的极限没有妨碍.<
©Elinkage数学论坛 -- Elinkage极酷超级论坛  C
老師你可以大概說下解題思路嗎?$$
這是今年台灣大學數學系獨招題,類似大陸自主招生題。7Il
elim: 设$\,r'=\sqrt{m^2+2n^2},\,$则$\,(m,n)\,$在椭圆$x^2+2y^2=(r')^2$上.<P^Mg
$\qquad$所以$(m,n)$充分靠近$x^2+2y^2=r^2$时$r'$充分靠近$r$F0.9T
按此在新窗口浏览图片 這是為什麼?^qq\]!
elim: 弄懂$\,m_r,\,n_r\,$的定义就弄懂了这个不等式. 8Z=>=}


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  @樓主: 抱歉看不清你的問題. 能否把有關解的問題和有關解題Cw~C
思想的問題分開提出.請務必確定僅對沒有給出定義的記號提出xIE
定義問題.b,Y


发贴时间2020/05/24 04:47am IP: 已设置保密[本文共151字节]  

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