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  康托定理:$\;\;\forall A\,\forall f\in(\mathscr{P}(A))^A:\,(\mathscr{P}(A)-f(A)\ne\varnothing)$x
證:對$\,f:A\to\mathscr{P}(A),\;$令$\,B_f=\{x\in A:\,x\not\in f(x)\}.\;$若$\,B_f\in f(A),$-^rCeK
$\qquad$则有$\,\xi\in A\,$使$\,f(\xi)=B_f.\;\,$由$\,B_f\,$的定义, 这导致以下矛盾:E
$\qquad\qquad\qquad(\xi\in B_f)\iff(x\in f(\xi))\iff(\xi\not\in B_f)$s5\a3X
$\therefore\quad B_f\not\in f(A).\,$即$\,B_f\in\mathscr{P}(A)-P(A)\neq\varnothing.\underset{\,}{\quad}\small\square$2?B
注记:本定理表明,对任意集合$\,A,\;$不存在$\,A\,$到$\,\mathscr{P}(A)\,$的满射.{e
$\;\qquad\quad\forall A\,\forall f\in(\mathscr{P}(A))^A:\,(\{x\in A:\,x\not\in f(x)\}\in\mathscr{P}(A)-f(A))$-
推論:$\;\forall A:\,(|A|< |\mathscr{P}(A)|)\;\;$(不存在最大基数).$\small\quad\square$Z


发贴时间2020/05/21 02:11pm IP: 已设置保密[本文共806字节]  

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