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 elim 
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  题:试证$\quad{\small\displaystyle\sum_{k=0}^n(-1)^{n-k}\binom{n}{k}}(a+kh)^n = h^nn!\qquad(^*)$cf!!C0
$\qquad\qquad\quad{\small\displaystyle\sum_{k=0}^n(-1)^{n-k}\frac{(a+kh)^n}{k!(n-k)!}=\,}h^n\,\qquad\qquad\quad(\ddagger)$6%P:M
证:令$\;F(a,h,n)={\small\displaystyle\sum_{k=0}^n(-1)^{n-k}\binom{n}{k}}(a+kh)^n$(
$\qquad$则$\;F(a,h,2)=a^2-2(a+h)^2+(a+2h)^2=h^22!$'
$\qquad$与$\,a$无关.假定$(^*)$对$\,n< m$成立,则$\,{\large\frac{d}{da}}F(a,h,m)$.rtG@
$\qquad=m{\small\displaystyle\sum_{k=0}^m(-1)^{m-k}\binom{m}{k}}(a+kh)^{m-1}$} wW
$\qquad=m{\small\displaystyle\sum_{k=0}^m(-1)^{m-k}}(\binom{m-1}{k}+\binom{m-1}{k-1})(a+kh)^{m-1}$%~4m]Q
$\qquad=m(F(a,h,m-1)-F(a+h,h,m-1))=0\underset{\,}{\,}$09H6
$\therefore\quad F(a,h,n)=F(0,h,n)=h^nF(0,1,n).\;$故归纳地便有gQ,_
$\qquad F(0,1,n)={\small\displaystyle\sum_{k=1}^n(-1)^{n-k}\binom{n}{k}}k^n=n{\small\displaystyle\sum_{k=1}^n(-1)^{n-k}}\binom{n-1}{k-1}k^{n-1}$Z
$\qquad=nF(1,1,n-1)=nF(0,1,n-1)=n(n-1)!=n!$#gNuLw
$\qquad$综上$,\,(\dagger)$得证,而$(\dagger)\iff(\ddagger)$显然.$\small\quad\square$U


发贴时间2020/05/19 05:21pm IP: 已设置保密[本文共1075字节]  

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